Способы решения систем уравнений

Разделы: Математика

Класс: 11

Тип урока: введение нового материала.

Продолжительность урока: 2 часа.

Цели урока:

1. Сформировать навыки и умения решения систем уравнений, используя различные методы.

2. Привить интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширить кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

3. Развить логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

4. Воспитать самостоятельность и активность учащихся.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска.

Форма предъявления информации: презентация.

Ход урока

Этап урока Слайд Деятельность учителя Деятельность учащихся
Организационный момент Слайд №1 Формулирует тему и цели урока. Знакомятся с темой и целями урока.
Актуализация опорных знаний   Учитель задаёт вопросы учащимся:

Что является решением системы с двумя неизвестными;

Что значит решить систему с двумя неизвестными;

Какие вы знаете способы решения систем уравнений;

Какие системы называются равносильными.

 Ответы учащихся:

Решением системы с двумя неизвестными называется пара чисел х0 и у0 , при подстановке которых каждое уравнение системы становится верным числовым равенством;

Решить систему значит найти все её решения или установить, что система не имеет решений;

Графический способ; способ подстановки; способ сложения;

Системы называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Введение нового материала Слайд №2-4 Формирует основные способы решения систем уравнений с двумя неизвестными. Учащиеся внимательно слушают учителя, анализируют информацию.
Применение нового материала Слайд №5.1 Пошагово совместно с учащимися решаем систему №1. Работают совместно с учителем.
Слайд №5.2 Учитель предлагает, какой способ решения здесь можно применить. Работают совместно с учителем.
Слайд №5.3 Возведём левую и правую часть первого уравнения в третью степень. Работают совместно с учителем.
Слайд №5.4 Введём замену.

Какой вид примет система?

Закончите решение системы. (К доске вызывается ученик, который продолжает решение системы)

Таким образом, данная система равносильна совокупности двух систем относительно х и у:

Ответ:
Слайд №6.1 Решаем систему №2.

Умножим первое уравнение на 2.

 Работают совместно с учителем.
Слайд №6.2 Сложим получившиеся уравнения системы. Работают совместно с учителем.
Слайд №6.3 Что можно сказать про левую часть второго уравнения? Ответ: это формула сокращенного умножения - квадрат суммы двух выражений.
Слайд №6.4 Тогда в каком виде можно представить второе уравнение системы?
Чему равносильна данная система? Ответ: данная система равносильна совокупности двух систем:

Ответ:

Устно закончите решение данной системы.  
Введение нового материала Слайд №7 Многочлен Р(х; у) называется однородным многочленом степени n, если

P(tx; ty)=tnP(x; y). Например, многочлен Р(х;у)=2х3+3х2у+4у3 является однородным многочленом третьей степени.

Система двух уравнений с двумя неизвестными является однородной, если левые части обоих уравнений представляют собой однородные многочлены.

Система вида где f и g – многочлены, которые не изменяются при замене х на у, а у на х. Такие системы называются симметрическими.

Рассмотрим способы решения таких систем на конкретных примерах.

 Учащиеся внимательно слушают учителя, анализируют информацию.
Применение нового материала Слайд №8.1

 

Слайд №8.2

 Разделим почленно уравнения данной системы.

Разделим числитель и знаменатель в левой части полученного уравнения на у2. В результате уравнение примет вид: .

Пусть , тогда уравнение примет вид: .

Продолжить решение уравнения системы.

 Работают совместно с учителем.

 

 

 

 

 

 

 

Данная система равносильна совокупности двух систем:

Ответ:

Слайд №9 При решении симметричных систем уравнений используют замену: a=xy; b=x+y

Какая будет замена выражения x2+y2?

Какой вид примет система?

Закончите решение системы дома самостоятельно.

  

 

 

(x+y)2=b2; x2+2xy+y2=b2; x2+y2=b2-2a.

Система примет вид:

Постановка домашнего задания Слайд №10 Продолжите решение системы используя подсказку.

Закончите решение системы №4.

 Внимательно слушают учителя. Записывают задание в дневник. Если есть вопросы, задают их учителю.
Итог урока   Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили основные методы решения систем уравнений, познакомились с новыми способами.

Думаю, что у вас сложилось более полное представление по данной теме.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении заданий?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе методов решения систем?

- Какие из способов решения систем уравнений, из рассмотренных, оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Дорогие ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!