Цели урока:
- обобщить знания по теме “Применение производной к исследованию функций, к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке”;
- формирование умения применять теоретические знания к работе с графиком функции, производной и касательной;
- развитие интереса и внимания при решении задач по готовым чертежам.
Задача: отработка навыка работы с производной при подготовке к ЕГЭ.
План урока:
- Организационный момент. Постановка цели урока. Мотивация учебно-познавательной цели.
- Теоретический материал по теме “Производная и её применение”.
- Устная работа на вычисление производных.
- Решение заданий на применение производной.
- Динамическая пауза.
- Самостоятельное решение типовых заданий ЕГЭ.
- Подведение итогов урока.
- Рефлексия.
Оборудование: Мультимедиа установка.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент. Постановка цели урока. Мотивация учебно-познавательной цели.
Учитель: Сегодня урок начну с одной поучительной притчи.
“Однажды молодой человек пришёл к мудрецу.
“Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь”. Но радости в моей жизни нет”, - сказал он. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, - ответил юноша. “Произнеси это пять раз”, - сказал мудрец. “Я выбираю ложку”, - сказал юноша. “Вот видишь, - сказал мудрец, повторяй хоть 1000000 раз в день, она не станет твоей. Надо...”
Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и сегодня надо взять свои знания и применить их на практике. А вспомнить нужно всё по теме “Производная и её применения”.
2. Теоретический материал по теме “Производная и её применение”.
1) Что нужно знать для нахождения производной функции. Уравнение касательной.
Нужно знать таблицу и правила вычисления производных
Y = f (а) + f ' (а) (х-а) - уравнения касательной, где а- абсцисса точки касания, f(а) –значение функции в точке касания, f?(а)-значение производной в точке касания.
2) Физический смысл производной.
Если материальная точка движется по закону Х (t), то:
1). Производная от координаты по времени есть скорость, т.е. V (t)= Х '(t).
2). Производная от скорости – ускорение a (t) = V ' (t), то есть ускорение равно второй производной от функции a (t) = V' (t) = S'' (t).
3) Геометрический смысл производной.
Если к графику функции y = f (x) в точке с абсциссой
х = а можно провести касательную, непараллельную
оси у, то k = tg(a) = F' (x). Угловой коэффициент
касательной равен тангенсу угла наклона
касательной или значению производной функции в
точке касания. Если угол a острый, то k = tg(a)
= F' (x). Если a тупой, то a = 180-
, тогда то k = tg(a) = F' (x) = -
tg ()
4) Связь свойств функции с её производной.
Признак постоянства функции: Если f'(х) = 0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) постоянна.
Признак возрастания функции: Если f'(х) > 0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.
Признак убывания функции:
Если f'(х)<0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) убывает.
Признак максимума функции: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума функции.
Признак минимума функции: Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.
5) Наибольшее и наименьшее значения функции.
Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b).
Если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значении функции.Если функция возрастает (убывает) на отрезке [a;b],то f(в) наибольшее значение, f (а) – наименьшее значение; (f (в) наименьшее значение, f (а) – наибольшее значение) функции.
Теоретический материал для учащихся
| Сжатый справочный материал Физический смысл производной: V (t)=Х '(t); a (t) =V‘(t); V‘'(t) =S''( t) Геометрический смысл производной. k = tg(a) = F' (x); угол a острый, то f'(х) > 0; угол a тупой, то f'(х)<0; угол a =0, то f'(х)=0. Общий вид уравнения касательной. Y=f (а) + f '(а) (х-а) - Общий вид уравнения касательной. где а - абсцисса точки касания, f(а) – значение функции в точке касания, f'(а) - значение производной в точке касания. Связь производной и самой функции 1).Y= f(x) на промежутке – возрастающая - f'(х) > 0, – убывающая , f ' (х)<0; – постоянная - f ' (х) = 0 2). Точка
3). Y= f(x) на [а; в]
|
3. Задания для устной работы.
1. Найдите производную
4. Решение заданий на применение производной.
Разбор заданий ЕГЭ по образцу
Задание №1. Образец (для учащихся)
На рисунке изображён график функции y = f (x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой хo. Найдите значение производной функции y = f (x) в точке хo (рисунок 1).
Рис. 1
Решение:
Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, или тангенсу угла, образованного данной касательной с положительным направлением оси абсцисс: f ' (x) = k = tg(a). Значение тангенса угла можно легко найти из прямоугольного треугольника (тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему,- катеты же этого треугольника очень хорошо выделены на рисунке): tg(a) = 2/4 = 1/2 = 0,5
Задание №2 Образец (для учащихся)
Функция у = f(x) определена на интервале (-7; 6). На рисунке изображен график ее производной.
1). Исследовать функцию на монотонность и экстремумы по графику производной.
2). В какой точке отрезка [-1;4] функция принимает наибольшее значение.
3). В какой точке отрезка [-4;-1] функция принимает наибольшее значение.
4) Определите, сколько существует касательных к графику функции, которые параллельны прямой у=3х-5 или с не совпадают (рисунок 2).
Рис. 2
Решение:
1).Производная y = f (x) заданной функции определена и непрерывна в каждой точке интервала (-8;8). По графику легко определить промежутки её знакопостоянства, т.е. положительные значения производная имеет на интервалах (-7;-4), (-1;3) и (6;8), следовательно, функция при этих значениях аргумента – возрастает. Длина наибольшего из выбранных промежутков равна 4.
Ответ: 4.
2) К=0, значит значение производной равна 0.Производная равна 0 в 5 точках.
4.2. Задания по теме “Механический смысл производной”
| Точка движется прямолинейно по закону | |
| Х(t) = 3t3-2t2+4 | x(t) = 6t3-2t2+7 |
| (Х измеряется в метрах, t – в секундах) | |
| а) Найти скорость в момент времени | |
| t = 3c | t = 2c |
| б) Найти ускорение в момент времени | |
| t = 2c | t = 3c |
| в) Через сколько секунд точка остановится? | |
| Ответы: | |
| а) 69м/с | а) 64м/с |
| б) 32м/с? | б)104м/с? |
| в) 4/9с | в) 2/9с |
4.3. Задания по теме “Геометрический смысл производной”.
а) Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой Хо, если
| f(x)=x2-х- 20 Xо=2 |
f(x)= -x2 +9х- 20 Хо=4 |
б) Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке его с абсциссой Хо. f(x)=x2+9x, Xo=2
3 балла f(x)=-x2+4x, Xo=-2
Ответы:
| а) 3 | а) 1 |
| б) y = 13x-4 | б) y = 8x+4 |
4.4. Задание на нахождение наибольшее и наименьшее значений функции
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке 
Ответ: 4
на отрезке 
Ответ:9
5. Динамическая пауза.
Плотно закрывать и широко открывать глаза 4-6 раз подряд с интервалом 15 секунд.
- Вращать глазами по кругу: вниз, вправо, вверх, влево и в обратную сторону.
- Быстро моргать в течение 1 минуты.
- Смотреть вдаль перед собой 2-3 сек. Перевести взгляд на кончик носа на 3-5 сек. Повторить 6-8 раз.
- Стоя взглянуть в правый верхний угол комнаты, затем в нижний левый 10-12 раз. Затем 10 раз движение глазами из верхнего левого в нижний правый угол комнаты.
6. Самостоятельное решение типовых заданий ЕГЭ (приложение 1).
7. Подведение итогов урока.
8. Рефлексия.
Ребята по кругу отвечают на вопрос:
- Что я научился делать сегодня на уроке?
- Какие задания я смогу решить на ЕГЭ?