Тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств графическим способом. 10-й класс

Оборудование: ПК, проектор, экран, аудиторная доска.

Тип занятия: изучение нового материала.

Цели:

Задачи:

• повторить следующие темы по математике: решение квадратных неравенств графическим способом, преобразование графиков тригонометрических функций, понятие arcsin, arccos, arctg и arcctg числа, решение тригонометрических уравнений;
• научить применять графический метод для решения тригонометрических неравенств;
• отработать навыки построения графиков тригонометрических функций;
• расширить кругозор учащихся об истории развития Тригонометрии;
• для активизации познавательной деятельности учащихся применять различные формы и методы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная и групповая (работа в парах) формы работы, использование игровых технологий.

Структура занятия:

1. Организационный момент, проверка домашнего задания (3 мин.);
2. Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (5 мин.);
3. Объяснение нового материала (10 мин.);
4. Экспертная работа (5 мин.);
5. Самостоятельная работа в парах (10 мин.);
6. Домашнее задание (2 мин.);
7. Игра “Поле чудес” (6 мин.);
8. Рефлексия деятельности (итог урока) (4 мин.).

Пояснение к уроку: во время урока учащиеся выставляют баллы в “Рабочую карту урока” согласно правилам, описанным в данной карте. В конце урока подводится итог работы учащихся по количеству набранных баллов.

1. Организационный момент, проверка домашнего задания

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.”.

Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, проверим домашнее задание на сегодня.

Никольский С. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс – М.: Просвещение, 2013.

Приложение № 1 “Проверка домашнего задания”

За каждое правильно выполненное задание – 1 балл в рабочую карту занятия в колонку “Домашняя работа”.

2. Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности

Тема нашего урока – Тригонометрические неравенства. Решение тригонометрических неравенств графическим способом.

Давайте запишем дату и тему урока в тетрадь.

Перед Вами на сегодня стоит задача – научиться применять графический метод для решения тригонометрических неравенств.

Поработаем сначала устно, чтобы вспомнить те понятия и приемы, которые нам понадобятся для изучения новой темы.

<Рисунок 1>, <Рисунок 2>, <Рисунок 3>, <Рисунок 4>, <Рисунок 5>,

<Рисунок 6>, <Рисунок 7>, <Рисунок 8>, <Рисунок 9>, <Рисунок 10>.

3. Объяснение нового материала

Если вспомнить определение тригонометрического уравнения – это уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, тогда легко можно дать определение тригонометрического неравенства – это неравенство, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции.

Для решения тригонометрических неравенств мы будем использовать графический метод.

Рассмотрим решение неравенства

Построим график функции: и проведём прямую .

Определим точки пересечения данных графиков:

Заштрихуем область, при которой значения функции больше

, если, например,

Так как функция периодическая (Т=), значит, ,

Ответ: ,

Рассмотрим решение неравенства

Пусть . Получим неравенство

Рассмотрим графики функций и Множество решений неравенства составляют абсциссы точек графика расположенных выше точек графика

Получим неравенство

Следовательно,

Ответ: , [2].

4. Экспертная работа

К доске приглашаются двое учащихся, хорошо разобравшихся в материале и желающих ответить у доски, они будут выступать в роли экспертов, остальные учащиеся могут поправлять их решение по мере надобности с места.

Решить неравенства:

1. Ответ: ,

2. Ответ: ,

За работу у доски учащиеся получают 1-3 балла, за работу с места 1 балл.

5. Самостоятельная работа в парах

Прежде чем перейти к выполнению самостоятельной работы, необходимо заметить, что при решении более сложных тригонометрических неравенств, их с помощью преобразований сводят к простейшим тригонометрическим неравенствам, используя при этом те же приёмы, что и при решении тригонометрических уравнений.

Учащиеся выполняют задание, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа по парте, выставляя соответствующие баллы, ответы представлены на экране, подробное решение неравенств под номером 3 необходимо заранее подготовить на аудиторной доске.

Для решения тригонометрических неравенств графическим методом можно использовать Приложение № 2 к данному уроку.

Вариант № 1 Решить неравенства	Вариант № 2 Решить неравенства
1.	1.
2.	2.

За каждое верное задание № 1,2-1 балл, № 3 – 3 балла.

Подведение итогов изучения новой темы. Учащимся необходимо ответить на вопросы учителя.

Вопросы:

• Какой метод мы использовали для решения тригонометрических неравенств?
• Что необходимо предпринять, чтобы решить тригонометрическое неравенство графическим способом?
• Как влияет периодичность тригонометрических функций на ответ при решении тригонометрических неравенств?

За каждый правильный ответ учащиеся получают 1 балл в рабочую карту занятия в колонку “Устная работа”.

6. Домашнее задание

Решить неравенство

7. Игра “Поле чудес”

Игра построена по принципу одноименной телевизионной игры. Учитель читает задание, учащиеся могут открыть любую букву, если выполнят скрытое в данной ячейке задание.

Инструкция по работе с презентацией: при подведении курсора к ячейке, за которой скрывается буква, и нажатии левой кнопки мыши: появляется задание, которое необходимо выполнить, при повторном нажатии левой кнопки мыши в данную область появляется скрытая там буква.

Задание № 1

Древнегреческий астроном, географ и математик II века до н.э., часто называемый величайшим астрономом античности. Главной заслугой его считается то, что он привнёс в греческие геометрические модели движения небесных тел предсказательную точность астрономии Древнего Вавилона.

При разработке теорий Луны и Солнца он использовал античный вариант тригонометрии. Возможно, он первым составил таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.

Ответ: Гиппарх

Задание № 2

Швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С.К. Котельников) и астрономы (С.Я. Румовский) были его учениками.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана этим выдающимся математиком XVIII века. Именно он первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.

Ответ: Леонард Эйлер

Задание № 3

Наука об измерении треугольников. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса, а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре..

Раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

Ответ: Тригонометрия

Рефлексия деятельности (итог урока)

• 16 и более баллов – оценка “5”
• 11 - 15 баллов – оценка “4”
• 6 - 10 баллов – оценка “3”

Литература:

1. Никольский, С.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ С. М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2013.
2. Чулков, П.В. Материалы курса “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”: Лекции 5-8./ П.В. Чулков. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2010.
3. Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: учеб. пособие/ В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев и др.; Под ред. М.И. Сканави. – М.: “Столетие”, 1997.