Переходные процессы в электрических цепях постоянного тока

Время от времени на экзаменах и олимпиадах встречаются задачи, в которых речь идёт о перераспределении (перетекании) электрических зарядов вследствие различных видов коммутаций (переключений) в электрических цепях. Чаще всего имеются в виду электрические цепи, содержащие конденсаторы и катушки индуктивности. Сложность подобных задач заключается в том, что рассматриваемые в них процессы, возникающие при переключениях, вызывают у школьников затруднения как в понимании физических явлений, так и в построении математической модели, позволяющей решить данную проблему. Даже если модель задачи и была построена, решение полученных уравнений выходит за рамки школьной программы. Тем не менее, ещё совсем недавно аналогичные задачи предлагались на вступительных экзаменах по физике в ведущие физические ВУЗы или факультеты.  А теперь задания с подобного рода содержанием «перекочевали» в контрольно-измерительные материалы на ЕГЭ.

Примером такой задачи является, например, следующая:

Катушка индуктивности подключена к источнику тока с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением через резистор R = 60 Ом (рисунок 1). В момент t = 0 ключ К замыкают. Значения силы тока в цепи, измеренные в последовательные моменты времени с точностью ±0,01 А, представлены в таблице.

В других вариантах катушку индуктивности может заменить конденсатор.
При этом надо ответить на ряд вопросов. Например, чему равно значение ЭДС источника тока, каково значение напряжения на резисторе или катушке в некоторый момент времени и т.п.

Нестандартность заданий заключается в том, что вопросы касаются не статического состояния (например, конденсатор уже заряжен или разряжен), а относятся к мгновенным значениям ещё  неустановившихся значений силы тока (напряжения).

Разумные ученики по первой подсказке (помощи) учителя в дальнейшем обычно легко справляются с подобного рода задачами. Однако, некоторые наиболее любознательные школьники, «смотря в корень» проблемы, начинают интересоваться происхождением магического ряда чисел во второй строчке таблицы изменения силы тока (напряжения). После решения нескольких задач, содержащих подобные таблицы, в конце концов приходится назначать дополнительное занятие по изучению так называемых переходных процессов в цепях постоянного тока, содержащих конденсаторы или катушки индуктивности.

Переходный процесс в цепи, содержащей конденсатор.

Пусть дана схема (рисунок 2), в которой в некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается, в результате чего напряжение источника тока подаётся на остальную часть схемы. Для простоты будем считать, что внутреннее сопротивление источника тока мало. Это допущение не повлияет на искомый результат.

Школьники, понимающие, что конденсатор является цепью фактически разомкнутой для постоянного тока, с некоторым недоумением воспринимают информацию, что сразу после замыкания цепи в ней возникает, правда, очень быстро заканчивающийся, процесс протекания тока. В результате конденсатор переходит от незаряженного состояния в заряженное.

Длительность этого процесса составляет десятые, сотые, а иногда и миллионные доли секунды; сравнительно редко время переходных процессов может составлять секунды и десятки секунд.
Что же происходит в результате замыкания ключа К? Конденсатор C вначале не заряжен, а потому потенциалы его обкладок одинаковы. Примем потенциал нижнего по рисунку вывода источника тока равным нулю, тогда верхний вывод имеет потенциал Е. Замыкание ключа приводит к обнулению потенциала как нижней, так и верхней пластины конденсатора. Таким образом, между верхним полюсом источника тока и верхней обкладкой конденсатора возникает разность потенциалов, что приведёт к перемещению заряженных частиц (электронов), то есть к возникновению электрического тока. Значение силы тока по закону Ома пропорционально разности потенциалов. Следовательно, сразу после замыкания ключа К на резисторе R напряжение будет равно  E. При этом сила тока в нем равна Процесс протекания тока приведёт к росту заряда на обкладках конденсатора, а, следовательно, и росту потенциалов на его обкладках. В результате, верхняя обкладка заряжается положительным зарядом, а нижняя — отрицательным. Так как на левом выводе резистора потенциал не изменяется, а на правом растёт, разность потенциалов (напряжение) на резисторе снижается, что приводит к уменьшению силы зарядного тока, а, следовательно, и к уменьшению скорости заряда конденсатора.

Для замкнутой цепи (рисунок 2) можно записать уравнение E = U_R + U_C, так как резистор и конденсатор включены в ней последовательно. Здесь U_R = iR — напряжение на резисторе, а  — напряжение на конденсаторе, а  — сила зарядного тока. Тогда  Так как , то

Заряд на конденсаторе изменяется постепенно, хотя и очень быстро. Это прямо вытекает из уравнения (1). В самом деле, мгновенный (скачком) рост заряда на конденсаторе делал бы дробь очень большой, что противоречило бы этому уравнению, так как все остальные члены имеют конечное (не бесконечно большое) значение. Получив из (1) выражение

заметим, что по мере увеличения заряда q на конденсаторе уменьшается скорость  процесса заряда этого конденсатора. Для малых интервалов времени то есть при , значение производная заряда как функции от времени. Таким образом, в уравнение  неизвестная величина (заряд) входит еще и со своей производной. Решить его — означает найти вид функции q(t) зависимости заряда на конденсаторе от времени. Решение этого, так называемого дифференциального, уравнения выходит за рамки школьной программы.

Тем не менее, попробуем всё-таки определить характер зависимости заряда (напряжения) на конденсаторе другим способом. Для этого представим исходное уравнение в виде

Время заряда конденсатора разобьём на малые одинаковые интервалы времени t и посмотрим, как будет меняться значение заряда и напряжения по истечении первого интервала t₁ от начала заряда, затем второго — t₂ и т.д. При этом как уже было сказано

Таким образом, есть возможность последовательно, шаг за шагом, рассчитывать напряжения на конденсаторе через одинаковые промежутки времениt, получая последовательность чисел.

Выражения типа (3) называют рекуррентным, так как для вычисления последующего члена последовательности надо знать её предыдущий член. При этом, разумеется, значения величин E, R и C должны быть известными. Обратим внимание, что в выражениях (2) и (3) дробь  безразмерна, то есть RC имеет размерность времени (докажите это.)

Выведем формулу общего члена последовательности. В соответствии с выражением (3) проследим, как изменяется напряжение на конденсаторе, учитывая, что вначале U0=0 В (конденсатор не заряжен).

В последнем выражении видно, что в скобках стоит сумма конечного количества членов геометрической прогрессии со знаменателем . Так как конденсатор заряжается только до напряжения источника тока, то сумма её не может быть бесконечно большой, и эта прогрессия является убывающей, а потому . По формуле суммы геометрической прогрессии имеем

Отсюда

И, наконец,

Какими взять интервалы времени t и каково их количество? Анализируя выражение (4), приходим к выводу, что из бесконечного увеличения числа интервалов следует асимптотическое приближение В самом деле, сумма членов той же, но уже не ограниченной количеством n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Этот чисто математический вывод означает, что полный заряд конденсатора до напряжения источника тока E происходит за бесконечно большой интервал времени. В реальности же вследствие ограниченной точности (чувствительности) измерительных приборов ждать «бесконечно» долго не приходится. Конденсатор считается заряженным, если напряжение на нём достигло такого значения, при котором визуально оно уже не изменяется. Поэтому  будем считать, что конденсатор «практически» заряжен за n = N шагов, если напряжение на нём будет составлять, например,  доли от напряжения источника E, то есть . Тогда из (4)

Откуда

Если T — время, за которое конденсатор будет «практически» заряжен, то понятно, что

Тогда

Отсюда

Величина RC, имеющая размерность времени, характеризует электрическую цепь. Можно сказать, что от величины RCзависит время заряда конденсатора. Соотношение  показывает, во сколько раз отличается время «полного» заряда конденсатора от RC. Посмотрим, как это соотношение зависит от количества N интервалов времени  при различных значениях . Лучше всего проанализировать выражение (5) с помощью табличного процессора MS Excel. Расчёты по формуле (5) были проведены для трёх значений . На графике (рисунок 3) показаны результаты этих расчётов.

Из графиков видно, что при N > 100 соотношение  «стабилизируется», то есть мало зависит от N. Это означает, что конденсатор можно считать заряженным, например, с точностью = 0,95, если время T будет в 3 раза больше величины RC при условии, что число интервалов N > 100.

Теперь ясно, что для расчётов по формуле (4) значений напряжений U_n берётся , где в соответствии с рисунком 3 при  значение , при = 0,95 — T = 3 ^. RC, при = 0,99 — T = 4,6 ^. RC  при = 0,9 — T = 2,3 ^. RC, а N выбирается во всех случаях большим 100.

Если нас интересует практически полный заряд конденсатора ( = 0,99), то это произойдёт за T = 4,6 ^. RC. Тогда Опять же воспользуемся табличным процессором MS Excel. График показан на рисунке 4. Расчёты были произведены для E = 5В, RC = 0,001с. И при N = 100 имеем t = 0,000046c.

Переходный процесс в цепи, содержащей катушку индуктивности

Рассмотрим теперь электрическую цепь, содержащую катушку индуктивности (рисунок 5).

Пусть катушка обладает малым электрическим сопротивлением, меньшим, чем сопротивление резистора R. Внутренним сопротивлением источника тока пренебрежём. В момент времени t = 0 ключ К замыкается, и по цепи начинает протекать электрический ток. Если бы в цепи не было  катушки индуктивности, то значение тока сразу бы установилось равным . Из-за явления самоиндукции нарастание тока в катушке будет постепенным. При этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции . Здесь L — индуктивность катушки,  — скорость изменения тока.

Так как резистор R и катушка L соединены последовательно, то E = U_R + U_L.

Но U_R = iR, а U_L = - E_si. Тогда

При малых изменениях тока за малые промежутки времени () дробь  превращается в производную силы тока как функции времени . Тогда уравнение (6) превращается в дифференциальное уравнение

решение которого заключается в нахождении вида функции силы тока i(t) в катушке индуктивности от времени. Поступим так, как и в предыдущем случае. Представим уравнение (6) в виде

Время нарастания тока разобьём на малые одинаковые интервалы времени  и посмотрим, как будет меняться его значение по истечении первого интервала  от начала процесса, затем второго —   и т.д. При этом, как уже было сказано,

Несложное преобразование даёт следующее

Выражение (7) также является рекуррентным и позволит определить изменение значения силы тока в катушке индуктивности через одинаковые промежутки времени . При известных величинах E, R и L. Самостоятельно выведите формулы (8)

Можно также показать что при  установившееся значение силы тока в цепи

Обратим внимание, что в выражении (7) дробь  безразмерна (докажите это).

Для определения количества интервалов времени n, а также самого интервала  можно воспользоваться результатами предыдущего анализа. Время, за которое сила тока практически установится при точности амперметра, соответствующей

Пусть, например, E = 18В, R = 60Ом, L = 80Гн. Тогда T = 6,1с и при N = 100 имеем 0,061с. Эти данные соответствуют условию задания, приведённого в начале этой работы. Построим график, используя табличный процессор MS Excel (рисунке 6).

Красные маркеры поставлены в соответствии с таблицей к заданию, приведенному в начале работы. Как видно, теоретические расчёты хорошо согласуются с результатами измерений.

Придумаем задачу с переходным процессом!

Пусть конденсатор уже заряжен (рисунок 7). В некоторый момент времени t = 0 ключ К замыкается, и конденсатор начинает разряжаться через резистор R. Составьте задание для участников экзамена, где приведён ряд значений силы тока (или напряжения) в последовательные моменты времени. В условии может быть задано, например, начальное значение напряжения на конденсаторе (начальное значение силы разрядного тока), а также сопротивление резистора и ёмкость конденсатора.

Из уравнения (9) видно, что скорость разряда конденсатора  уменьшается по мере уменьшения остаточного заряда на конденсаторе. Весь процесс разряда также разобьём на одинаковые интервалы времени t. Проделайте рассуждения самостоятельно и получите рекуррентную формулу

От рекуррентной формулы переходим к формуле для общего члена последовательности Un(выведите самостоятельно).

Здесь U₀ — начальное напряжение на конденсаторе.

Здесь напряжение уменьшается асимптотически до нуля. Будем считать, что конденсатор практически разрядится, если напряжение на нём будет составлять  (например, ). Пусть значение U_n =  достижимо за n = N шагов. Тогда

Если n = N соответствует длительности T процесса «практически полного» разряда конденсатора, то, учитывая , получим

Формулы (11) и (5) идентичны, так как  соответствует .

Пусть конденсатор заряжен до напряжения U₀ = 5В, RC = 0,001с. И, если N = 100, то T = 4,6 ^. RC и t = 0,000046c Используя табличный процессор MS Excel, рассчитаем по формуле (10) значения U_n и построим график (рисунке 8).

Из таблицы возьмём только 7-10 последовательных моментов времени из 100, относительно равномерно распределенных по всему графику. Так как на начальном участке графика скорость изменения напряжения больше, чем в конце, то и в таблице более подробно отразим именно начальный участок. Следующая задача вполне могла бы занять место в экзаменационных материалах.

Электрическая цепь (рисунок 9) состоит из конденсатора C, резистора R =50 Ом и ключа К. Конденсатор заряжен до напряжения U0. В момент времени t = 0 ключ К замыкают, и  начинается разряд конденсатора. Значения напряжения, измеренные в последовательные моменты времени с точностью ±0,05В, приведены в таблице

Из приведённых ниже пяти утверждений только два верных. Используя данные таблицы, найдите и укажите их номера.

1. Сила тока в цепи постоянна и равна 0,5 А и только в конце равна нулю;
2. Сила тока минимальна в момент времени t = 0;
3. Напряжение на резисторе R в момент t = 2,0 мc равно 4,35 В;
4. Сила тока в резисторе R в момент t = 2,0 мc равна 13 мА;
5. Напряжение на резисторе R в момент t = 2,0 мc равно 0,65 В.