Цели урока:
Тип урока: комбинированный.
Форма организации познавательной деятельности: групповая.
Педагогическая технология: технология сотрудничества.
Оборудование: компьютер, интерактивная доска SMART, проектор, диск серии “Наглядная математика. Графики функций”, презентация SMART Notebook.
Подготовительная работа. Разбить учащихся на группы по 4-5 человек.
Ход урока
Организационный момент. Здравствуйте, ребята! Наш урок мы посвятим решению уравнений высших степеней. Запишите тему в тетради. Вы будете работать по группам, а эпиграфом к нашему занятию будут следующие слова “Помогая другим, учимся сами”. Давайте вместе вспомним, что вы знаете об уравнениях.
Актуализация знаний. Проводится в форме беседы. Примерные вопросы:
- Что такое уравнение?
- Что такое корень уравнения?
- Какие виды уравнений вы знаете?
- Какие уравнения относят к уравнениям высших степеней?
- Какие способы решения уравнений вы знаете?
Изучение материала. Ребята, вы владеете немалыми знаниями об уравнениях. Сегодня мы расширим ваш багаж знаний. В этом нам помогут ученые-математики, которые занимались решением уравнений несколько веков назад. Посмотрите на доску.
Рисунок 1 – Ученые-математики
Каждая группа по очереди выбирает ученого, который предлагает вам решить уравнения. Мы обсуждаем способ решения данных уравнений и заносим результаты в итоговую таблицу.
Рисунок 2 – Итоговая таблица
Первого ученого, которого вы все хорошо знаете по теме “Квадратные уравнения”, выберу я. Это Франсуа Виет.
Рисунок 3 – Франсуа Виет
Историческая справка. Франсуа Виет (1540-1603) - французский математик, основоположник символической алгебры. По образованию и основной профессии - юрист. Был советником королей Генриха III и Генриха IV. Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов, за что был обвинен в использовании "черной магии". Широкому кругу знаком, как автор теоремы о корнях квадратного уравнения.
Посмотрите на уравнения. Как они называются? Каков алгоритм решения биквадратного уравнения? Решите совместно в каждой группе эти уравнения и занесите результаты в итоговую таблицу.
Далее группы по очереди выбирают ученых. Идет обсуждение способа решения предлагаемых уравнений. Совместное решение в группах и занесение ответов в таблицу. Возможен совместный разбор наиболее сложных уравнений на доске.
Джероламо Кардано
Рисунок 4 – Джероламо Кардано
Историческая справка. Джероламо Кардано (1501-1576) - итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог. В 1534 году стал профессором математики в Милане. Параллельно занимался врачеванием и составлением астрологических прогнозов. По одной из легенд он рассчитал дату свой смерти. Кардано является автором формул для вычисления корней кубического уравнения.
Показать учащимся формулы Кардано, расположенные на слайде под портретом. Учащиеся либо пытаются использовать формулы для решения уравнений, либо предлагают другие более рациональные способы. В ходе совместного обсуждения следует прийти к способу разложения на множители левой части уравнения.
Лодовико Феррари
Рисунок 5 – Лодовико Феррари
Историческая справка. Лодовико Феррари (1522-1565) - итальянский математик. Был учеником у миланского математика Кардано. В 1540 году восемнадцатилетний Феррари стал профессором Миланского университета. Затем вернулся в родную Болонью, где тоже стал профессором математики. Нашел общее решение уравнения четвертой степени.
Показать учащимся формулы Феррари, расположенные на слайде. Учащиеся с помощью учителя приходят к способу подбора целых корней уравнения как делителей свободного члена и понижения степени уравнения.
Одним из корней данного уравнения является число 2. Разделим уголком многочлен, стоящий в левой части уравнения на (х – 2):
Исходное уравнение примет вид: 
. Откуда 
или 
. Одним из корней получившегося
уравнения третьей степени является число 3. После
деления многочлена 
на 
получим квадратное уравнение 
. Его корни 
. Значит корнями исходного
уравнения являются числа -5, 2, 3, 4.
Ответ:-5, 2, 3, 4.
Ответ: -3, -2, 1, 2.
Уильям Горнер
Рисунок 6 – Уильям Горнер
Историческая справка. Уильям Горнер (1786-1837) - британский математик. В возрасте 16 лет стал помощником директора в Кингсвудской школе и директором 4 года спустя. Затем основал свою собственную школу в Бате. В 1819 году опубликовал способ приближенного вычисления действительных корней многочлена.
Со способом решения данных уравнений учащиеся знакомы с уроков алгебры. Самостоятельно или с помощью учителя учащиеся приходят к способу введения новой переменной.
Эварист Галуа
Рисунок 7 – Эварист Галуа
Историческая справка. Эварист Галуа (1811-1832) - французский математик, основатель современной высшей алгебры. Учился в Королевском колледже. За 20 лет жизни успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Галуа пытался найти общее решение уравнения произвольной степени, т.е. выразить его корни через коэффициенты.
Обратить внимание учащихся на коэффициенты уравнения. Сообщить, что предложенные уравнения называются возвратными (или симметричными). Объяснить способ решения на примере первого уравнения. Предложить решить совместно в группах второе уравнение.
Нильс Абель
Рисунок 8 – Нильс Абель
Историческая справка. Нильс Абель (1802-1829) - норвежский математик. Основатель общей теории алгебраических функций, внес большой вклад в математический анализ. Впервые доказал неразрешимость в общем случае в радикалах алгебраического уравнения пятой степени и более высоких степеней.
Сообщить учащимся, что кроме аналитического способа для решения уравнений можно применять и графический способ. Для актуализации знаний о графиках функций можно использовать интерактивное учебное пособие “Графики функций”.
Рисунок 9 – Тема “Степенная функция” пособия “Графики функций”
Подбираем для уравнения x5 + x – 2 = 0 корень x=1. С помощью графического способа убеждаемся, что других действительных корней уравнение не имеет.
В одной системе координат строим графики функций у1 = x5 и у2 = x + 2.
Рисунок 10 – Графический способ решения уравнений
Прямая убывает на всей области определения, кривая возрастает на всей области определения. Графики имеют одну общую точку, значит исходное уравнение имеет один корень.
Ответ: 1.
Подведение итогов. Ребята, сегодня мы рассмотрели несколько способов решения уравнений высших степеней. Давайте вместе проверим ваши ответы. Вернемся к итоговой таблице и откроем затемненные ячейки последнего столбца. Если у вас есть ошибки, не огорчайтесь. Вы приложили много усилий, чтобы достичь результата. И помните, что научиться решать задачи и примеры можно только решая их.
Домашнее задание. Решить примеры, в которых допущены ошибки.