Важное средство обучения школьников решению задач – систематическое и целенаправленное формирование тех операций, из которых складывается процесс решения. Геометрическим задачам на вычисление, к которым относятся и задачи на решение треугольников, присущи операции выявления зависимостей (соотношений) между элементами фигуры и непосредственным отыскание искомых величин из этого соотношения.
Решение треугольников – одна из самых интересных тем в курсе геометрии 9 класса. Мой опыт показывает, что решение задач на нахождение неизвестных элементов в треугольнике вызывает у ребят особый интерес. Объясняю это тем, что теоремы, которые даются в данном разделе, доказываются доступно и просто; для учащихся становится настоящим открытием, что теорема Пифагора – это частный вид теоремы косинусов. Немаловажным является и то, что на уроках используются таблицы, где нужно отыскивать значения синусов и косинусов, а также использование калькулятора. При правильном понимании учащимися способов решения различных типов задач, решение треугольников по-настоящему захватывает их и увлекает. Поэтому так важно добиться этого правильного понимания.
В разделе рассматриваются теорема косинусов, теорема синусов и основанные на них способы решения произвольных (непрямоугольных) треугольников. Попутно рассматриваются следствие из теоремы косинусов для тупоугольного, прямоугольного и остроугольного треугольников, которое является небольшой модификацией теоремы косинусов, удобное для использования в решении некоторых задач; из теоремы синусов выводится соотношение между сторонами и углами треугольника.
Нетрадиционно доказывается теорема косинусов. Привлечение векторного аппарата позволяет сразу доказать эту теорему во всей общности, не рассматривая по отдельности случаи для острого , тупого и прямого углов. Благодаря этому доказательство выглядит весьма изящно и компактно.
Теоремы косинусов и синусов используются далее в курсе планиметрии при выводе формул для вычисления площадей некоторых простых фигур и в решениях сопутствующих задач. Вопрос о решении треугольников связан с двумя важными вопросами курса, изучавшимися ранее: это – решение прямоугольных треугольников и построение треугольников. Выявление этих связей помогает учащимся, как в изучении нового материала, так и в осмыслении курса в целом, что особенно важно для девятиклассников ввиду близкого завершения изучения курса планиметрии.
Функции пособия.
В классно-урочной системе одной из наиболее сложных проблем является управление самостоятельной учебной деятельностью учащихся. Это и сложности в обратной связи с учеником, в коррекции его деятельности, в проверке усвоения материала, с задачами, соответствующими его уровню. Если же кто-то из учеников не может решить очередную задачу, даже не получив необходимые указания, надо выяснить причину создавшейся ситуации и найти пути ее исправления. Ясно, что такая работа требует больших физических и интеллектуальных усилий. Вот тут-то на помощь приходит компьютер, позволяя оптимизировать труд учителя и ученика.
Для более быстрого и качественного решения треугольников, после изучения всей теоретической части, я предлагаю учащимся воспользоваться методическими рекомендациями в виде электронного пособия, которое включает в себя теоретический материал (без доказательств), практические советы по решению треугольников и рассматриваются все виды задач на отыскание элементов в треугольнике.
Использование пособия позволяет учащимся систематизировать весь необходимый “аппарат” для решения треугольников. Визуальное представления решения в общем виде позволяет решать задачи более осмысленно для конкретных примеров.
В данном электронном пособии для учащихся имеются справочные материалы, “Четырехзначные математические таблицы Брадиса”, калькулятор для вычислений, приложения для отыскания значений синуса и косинуса и угла. Также предложены 9 задач для решения, и материал для составления задач самостоятельно. Пособие доступно для восприятия, простое в использовании и выполняет следующие функции:
- повышает уровень усвоения теоретического материала,
- позволяет корректировать деятельность учащегося по решению задач,
- осуществляет у учащихся систематизацию полученных знаний по теме “Решение треугольников”
- позволяет сократить время на уроке при повторении и построении чертежей и может быть использован как демонстрационный материал,
- дифференцирует деятельность учащихся в зависимости от степени подготовленности,
- может использоваться, начиная с первого урока раздела “Решение треугольников”
Рекомендации по использованию пособия.
Решение непрямоугольных треугольников естественно связать с решением прямоугольных треугольников из курса геометрии 8 класса. При этом полезно отметить, что теорема косинусов и теорема синусов, будучи соответственно обобщениями теоремы Пифагора и соотношений между сторонами и синусами (косинусами) углов прямоугольного треугольника, позволяют решать любые треугольники по заданным тройкам элементов, их определяющим.
Рассматривается четыре типа задач на решение непрямоугольных треугольников:
- По данной стороне и двум углам,
- По двум сторонам и углу между ними,
- По двум сторонам и углу, противолежащему одной из них,
- По трем сторонам.
Задача третьего типа повышенной трудности. Ее не следует рассматривать на уроках в общем виде с полным исследованием, достаточно дать схему решения и рассмотреть задачи с числовыми данными. Подробный разбор в общем виде целесообразно провести на факультативных занятиях.
В результате учащиеся должны уметь для каждой из трех основных задач проводить решение в общем виде и для конкретных треугольников, то есть по данным длинам или градусным мерам трех элементов треугольника вычислять остальные его элементы, иначе – решать треугольники.
Решение всех типов задач сопровождается предъявлением чертежа. Теорема синусов позволяет решить задачи первого типа.
Теорема косинусов определяет задачи второго и четвертого типов.
Теорема синусов дает возможность вычислить
синус любого из этих углов . Однако, один и тот же
синус имеют два угла – острый и тупой: 
,а задача
имеет единственное решение. Как же найти именно
те углы, которые являются элементами искомого
треугольника? Здесь помогут известные факты – в
треугольнике против большей стороны лежит
больший угол; сумма углов треугольника равна 180о.
Разберем возможные случаи:
После рассмотрения каждого из типов задач и их способов решения в общем виде, решаются задачи с конкретными данными. Необходимо при решении конкретных задач выбирать данные, варьируя ими.
Оценить важность и полезность данного пособия можно по результатам контрольной работы.
Нельзя говорить, что это универсальный продукт, позволяющий масштабно рассмотреть целый раздел, но активизировать познавательную деятельность учащихся, оптимизировать учебный процесс он, несомненно, помогает. Тем более, что сами учащиеся указали на его целесообразность.
При использовании данного пособия может не сработать калькулятор. Для устранения этого недостатка необходимо в папку с пособием скопировать калькулятор из C:\WINDOWS\system32\calc.exe.