Урок-лекция по теме «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции»

Ключевые слова: интеграл, криволинейная трапеция, площадь фигур, ограниченных лилиями

Оборудование: маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор

Тип урока: урок-лекция

Цели урока:

• воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
• развивающие: формирование самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, умения анализировать и делать выводы, развитие логики, развитие умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствование формирования вычислительных, расчётных навыков, развитие мышления учащихся в ходе выполнения предложенных заданий, развитие алгоритмической культуры.
• образовательные: сформировать понятия о криволинейной трапеции, об интеграле, овладеть навыками вычисления площадей плоских фигур

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Ход урока

В предыдущих классах мы научились вычислять площади фигур, границами которых являются ломаные. В математике существуют методы, позволяющие вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Такие фигуры называются криволинейными трапециями, и вычисляют их площадь с помощью первообразных.

Криволинейная трапеция (слайд 1)

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции , (щ.м.), прямыми x = a и x = b и осью абсцисс

Различные виды криволинейных трапеций (слайд 2)

Рассматриваем различные виды криволинейных трапеций и замечаем: одна из прямых вырождена в точку, роль ограничивающей функции играет прямая

Площадь криволинейной трапеции (слайд 3)

Зафиксируем левый конец промежутка а, а правый х будем менять, т. е., мы двигаем правую стенку криволинейной трапеции и получаем меняющуюся фигуру. Площадь переменной криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , является первообразной F для функции f

И на отрезке [a; b] площадь криволинейной трапеции, образованной функцией f, равна приращению первообразной этой функции:

S к. т.

Задание 1:

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции: f(x) = х² и прямыми у = 0, х = 1, х = 2.

Решение: (по алгоритму слайд 3)

Начертим график функции и прямые

Найдём одну из первообразных функции f(x) = х² :

F(x) = ,

Значит

Самопроверка по слайду

Интеграл

Рассмотрим криволинейную трапецию, заданную функцией f на отрезке [a; b]. Разобьём этот отрезок на несколько частей. Площадь всей трапеции разобьётся на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. (слайд 5). Каждую такую трапецию можно приближённо считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников даёт приближённое представление о всей площади криволинейной трапеции. Чем мельче мы разобьём отрезок [a; b], тем точнее вычислим площадь.

Запишем эти рассуждения в виде формул.

Разделим отрезок [a; b] на n частей точками х₀ =а, х1,… ,хn = b. Длину k-го обозначим через хk = xk – xk-1. Составим сумму

Геометрически эта сумма представляет собой площадь фигуры, заштрихованной на рисунке (щ.м.)

Суммы вида называются интегральными суммами для функции f. (щ.м.)

Интегральные суммы дают приближённое значение площади. Точное значение получается при помощи предельного перехода. Представим, что мы измельчаем разбиение отрезка [a; b] так, что длины всех маленьких отрезков стремятся к нулю. Тогда площадь составленной фигуры будет приближаться к площади криволинейной трапеции. Можно сказать, что площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральных сумм, Sк.т. (щ.м.) или интегралу, т. е.,

Определение:

Интегралом функции f (х) от a до b называется предел интегральных сумм

= (щ.м.)

Формула Ньютона- Лейбница.

Помним, что предел интегральных сумм равен площади криволинейной трапеции, значит можно записать:

Sк.т. = (щ.м.)

С другой стороны, площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

S к. т. (щ.м.)

Сравнивая эти формулы, получим: