Моделирование является одним из способов изучения окружающей действительности. Человек сможет мыслить образами, приближенно отражающими реальность. Любое абсолютное знание, абсолютная истина познаются через бесконечную цепочку относительных приближенно отражающих те или иные черты объективной реальности истин – моделей.
Моделирующими методами ныне широко пользуются представители самых разных, как естественнонаучных, так и гуманитарных областей знания.
Математические знания необходимы и будущим биологам, и филологам, экономистам и юристам, агрономам и инженерам.
В последнее десятилетие жизнь выдвинула на первый план проблемы производства, планирования народного хозяйства, автоматизации промышленности и управления всеми отраслями. Все это сделало понимание путей использования математического аппарата при нематематических исследованиях, чуть ли не одним из важнейших элементов общей культуры, а владения терминами “математическая структура” и “математическая модель” – необходимыми атрибутам образованного человека.
Таким образом, наряду с изучением основных разделов математики, становится актуальным вопрос о приложении математики.
Основная часть математических моделей, рассматриваемых в данном курсе, базируется на материале, не входящем в школьную программу 10-11 классов. Это простейшие задачи линейного программирования, транспортные задачи, а также задачи экономического содержания. Вместе с тем они основываются на традиционном материале курса математики (функциях, уравнениях, неравенствах, последовательностях), что способствует развитию математических знаний и умений по темам “Неравенства”, “Функция”, “Прогрессия”.
Основная цель курса: сформировать умения решать основные задачи линейного программирования основными методами математического исследования.
Задачи, представленные в данном курсе, демонстрируют практическую ценность математики, активизируют учебную деятельность, формируют знания и способности к деятельности, востребованной на рынке труда.
Задачи курса.
- Познакомить обучающихся с методами математического исследования.
- Сформировать умения и навыки:
- решения основных задач линейного программирования;
- математического исследования явлений и процессов народного хозяйства;
- анализа, обобщения результатов и прогнозирования;
- самостоятельного изучения специальной литературы.
3. Способствовать:
- формированию положительной мотивации к предмету;
- развитию исследовательских способностей, логического мышления, самообразованию и самоопределению старшеклассников.
Данный элективный курс предполагает 34 часа программно-тематических занятий (рис.1). Особое внимание уделяется самостоятельной, творческой работе обучающихся.
Рис.1. Планирование курса
Категория обучаемых: обучающиеся 10-11 классов, интересующиеся математическими методами решения экономических, производственных и управленческих задач.
Лекционно-семинарская форма занятий позволяет обучающимся адаптироваться к вузовскому изложению материала и помогает ему получить основные навыки вузовской учебной деятельности.
Учитывая самостоятельную и творческую работу обучающихся при изучении элективного курса, необходимо обеспечить их методической, дидактической и учебной литературой. С этой целью подготовлено методическое пособие, рекомендованное к использованию в учебном процессе Волгоградским институтом повышения квалификации работников образования. Пособие включает краткое содержание основных тем курса и примеры решения задач, а также дидактический материал.
В результате обучения (таблица 1) итоговым контролем является дифференцированный зачет, заключающийся в выполнении индивидуальных заданий или творческой работы по применению методов линейного программирования к исследованиям в различных областях жизни.
Таблица 1
| Результаты обучения | |
| Знания | Умения |
| Определение моделирования Этапы математического моделирования Типология и основные способы решения производственных задач Основная задача ЛП и методы ее решения |
Реализовать этапы построения моделей
при решении производственных задач Решать задачи линейного программирования различными способами (графическим, симплексным, диагональным, М-методом, минимального элемента). |
Для более успешного усвоения материала данного курса целесообразно провести входное тестирование, отражающее знания и умения учащихся по основным разделам математики, а также определить уровень сформированности их мотивации.
Оценка “5” демонстрирует сознательное и ответственное отражение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению, освоение теоретического материала и получение навыков решения основных задач линейного программирования, определяет умение работать самостоятельно.
Оценка “4” показывает, что обучающийся может справиться со стандартом, выполнить данные задачи прилежно (без проявления творческих способностей).
Оценка “3” определяет освоение наиболее простых идей и методов курса, умение выполнять простые задания.
Содержание курса
Введение
Тема 1. Математические модели. Задачи линейного программирования.
Понятие математических моделей. Определение математического моделирования. Этапы математического моделирования в процессе решения задач. Особенности моделирования основных типов производственных задач. Определение линейного программирования. Понятие целевой функции. Каноническая и неканоническая модель задачи линейного программирования.
Графический метод
Тема 2. Определение оптимального плана выпуска изделий.
Задача оптимального производства продукции. Геометрическое решение задачи. Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом.
Тема 3. Экономический анализ задачи.
Активные и пассивные неравенства системы ограничений. Понятие дефицитных и недефицитных ресурсов. Влияние увеличения или уменьшения запасов на оптимальное решение.
Симплексный метод
Тема 4. Симплекс-таблицы и алгоритм решения.
Идея симплексного метода как метода последовательного улучшения. Понятие опорного решения. Фундаментальная теорема линейного программирования. Блок схема последовательного улучшения опорных решений. Алгоритм решения задач симплексным методом. Симплексная таблица. Формулы нахождения индексной строки и свободного члена. Определение ключевого элемента. Правило “прямоугольника”. Блок-схема получения исходного опорного решения.
Тема 5. Применение симплекс-метода в задачах линейного программирования.
Решение производственных задач симплекс-методом:
- экономических;
- сельскохозяйственных;
- агрономических;
- биологических и др.
Исследовательские задачи. Составление математической модели. Введение балансовых переменных.
Двойственные задачи
Тема 6. Виды математических моделей двойственных задач.
Определение двойственной задачи по отношению к исходной. Связь между единой парой двойственных задач. Понятие симметричных, несимметричных и смешанных двойственных задач. Математическая модель двойственной задачи. Теорема об оптимальном решении одной их двойственных задач. Необходимое и достаточное условие для оптимальности допустимых решений двойственных задач.
Тема 7. Решение двойственных задач.
Решение симметричных задач. Метод взаимооднозначного соответствия. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Решение несимметричных и смешанных двойственных задач.
Тема 8. Экономический анализ задачи оптимального использования ресурсов.
Математическая модель оптимального использования ресурсов. Теорема о значениях переменных в оптимальных решениях двойственных задач и степень их влияния на значения целевой функции.
Тема 9. Применение теории двойственности в экономических приложениях.
Алгоритм применения теории двойственности при решении экономических задач. Решение экономических задач.
Транспортная задача
Тема 10. Закрытая транспортная задача.
Понятие транспортной задачи и ее цели. Понятие однородного груза, тарифа. Виды транспортных задач. Определение открытой и закрытой транспортной задачи. Математическая модель закрытой транспортной задачи. Этапы специального метода решения транспортной задачи. Метод северо-западного угла (диагональный). Метод наименьшей стоимости. Метод минимального тарифа. Вырожденная транспортная задача.
Тема 11. Открытая транспортная задача. Два варианта решения открытой транспортной задачи. Понятие фиксированного потребителя и фиксированного поставщика. Модель решения открытой транспортной задачи. Применение транспортных моделей в экономических задачах. М-метод.
Список литературы
- Красс, М.С. Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер, 2004.
- Любимов, Л. . Основы экономических знаний: учебник для 10 и 11 классов школы и классов с углубленным изучением экономики /Л.Л. Любимов, Н.А. Раннева. – М.: Вита-Пресс, 2002.
- Солодовников, А.С. Математика в экономике: учебник /А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов и др. – М.: Финансы и статистика, 1999.
- Шапкин, А.С. Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию: учебное пособие / А.С. Шапкин. – М.: Издательско-торговая корпорация “Дашков и К”, 2006.