Разложение многочлена на множители

Цели урока:

• формирование представления о разложении многочлена на множители
• формирование способности к разложению многочлена на множители в простейших случаях
• развитие логического мышления, алгоритмической культуры на уровне, необходимом для дальнейшего обучения;
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для решения задач различного типа;
• воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры.

Задачи урока:

• повторить и закрепить формулы сокращенного умножения, алгоритм умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен;
• тренировать вычислительные навыки, способность к анализу и решению задач;
• сформировать способность к разложению многочлена на множители;
• приобретение математических знаний и умений;
• овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей;
• освоение компетенций: учебно-познавательной, коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития, ценностно-ориентированной и профессионально-трудового выбора.

Тип урока: “открытие нового” знания

Оборудование: компьютер, интерактивная доска

Ход урока

1. Самоопределение к деятельности (организационный момент).

Приветствие, пожелание успеха в работе на уроке.

Учащиеся высказывают пожелания себе и друг другу перед уроком.

2. Изучение нового материала.

На последних уроках мы говорили о преобразованиях выражений.

С какими преобразованиями мы работали на последнем уроке?

(раскрытие скобок)

Какие приемы (правила) мы при этом использовали?

• формулы сокращенного умножения
• умножение одночлена на многочлен
• умножение многочлена на многочлен

Для подготовки к изучению новой темы я провожу:

Актуализацию знаний, умений и навыков.

№1

Вместо многоточия запишите букву, число или одночлен.

1. ...² – b² = (a - ...)(a + ...)
2. (a + ...)² = ...² + 2...b + b²
3. (m - ...)² = m² – 20m + ...²
4. (5 + ...)² = ... + ... + 81
5. 47² – 37² = (47 - ...)(... + 37)
6. (... - 3m)(... + 3m) = a² – 9m²
7. 61² = 360 + ... + 1
8. 71² + 29² + 2•71•29 = (... + ...)² = ...²

Проверяем работу (слайд №2).

№2

Работа в парах.

У вас на столах лежат карточки, на которых написаны выражения. Составьте из них верные равенства (найдите пары равных выражений). Можно делать вспомогательные записи в тетрадях.

1. 3x + 3y = 3(x +y)
2. ab – a²b = ab(a – b)
3. 9 – 36a² = (3 – 6a)(3 + 6a)
4. m² – 4 = (m – 2)(m + 2)
5. a² – 12a + 36 = (a – 6)²
6. m² + 4m + 4 = (m + 2)²
7. a⁴ – 1 = (a – 1)(a + 1)(a² + 1)
8. 2ax + 2ay + 3bx + 3by = (2a + 3b)(x + y)
9. (x² + 2x + 4) – b² = (x + 1 – b)(x + 1 + b)
10. x² + 4x – y² + 6y – 5 = (x + y – 1)(x – y + 5)

Проверяем получившиеся равенства.

Организую затруднения в индивидуальной деятельности.

На интерактивной доске выписаны получившиеся равенства. По какому принципу вы можете сгруппировать полученные равенства?

Учащиеся разбивают получившиеся равенства на три группы.

• 1 группа: умножение одночлена на многочлен
• 2 группа: применение формул сокращенного умножения
• 3 группа: умножение многочлена на многочлен

Найдите выражение, которое можно записать в разные группы.

Выражение №9

Почему?

Можно умножить многочлен на многочлен, а можно применить формулы сокращенного умножения.

Итак, одно и тоже выражение мы можем преобразовать используя разные приемы.

Можно ли поменять местами левую и правую части этих равенств?

Да.

Учащиеся на доске меняют местами части равенств.

Как называются выражения, записанные в левом столбике?

Многочлены.

А в правом?

Произведение многочленов.

Как мы можем назвать действие, которое надо выполнить, чтобы перейти от многочлена к произведению многочленов?

Разложение многочлена на множители.

Запишите в тетрадях тему урока “Разложение многочлена на множители”.

Что значит разложить многочлен на множители?

Преобразовать многочлен в произведение двух или нескольких многочленов.

Включаю детей в ситуацию выбора метода решения.

Существует целый ряд приемов для разложения многочленов на множители. С некоторыми из них мы уже знакомы. Но есть и новые для вас.

Начнем с уже известных вам приемов (слайд №3).

1. Вынесение за скобки общего множителя.

• 3x + 3y = 3(x +y)
• ab – a²b = ab(a – b)

2. Применение формул сокращенного умножения.

• 9 – 36a² = (3 – 6a)(3 + 6a)
• m² – 4 = (m – 2)(m + 2)
• a² – 12a + 36 = (a – 6)²
• m² + 4m + 4 = (m + 2)²
• a⁴ – 1 = (a – 1)(a + 1)(a² + 1)

Постановка учебной задачи.

Сегодня мы будем говорить об уже известных преобразованиях, но для более сложных выражений.

В чем же будет сложность, а значит и что-то новое.

Подойдут ли известные нам приемы для преобразования выражения 8.

Нет.

Можем вынести за скобки общий множитель у всех четырех слагаемых?

Нет.

Построение проекта выхода из затруднения.

А что же делать? Какие будут у вас предложения? (слайд №4)

Можно вынести общий множитель у первого и второго слагаемых, а затем у третьего и четвертого слагаемых.

• 2ax + 2ay + 3bx + 3by = 2a(x + y) + 3(x + y) =

А теперь можно еще раз вынести общий множитель

• = (x + y)(2a + 3b)

Говорят, что мы выполнили группировку слагаемых и способ так и называется – группировка членов многочлена.

Обратите внимание на то, что нам пришлось выносить за скобки не только одночлены, но и многочлен.

Добавим еще один пример в новый прием.

• 15ac + 15bc + 8a + 8b = 15c(a + b) + 8(a + b) = (a + b)(15c + 8)

Что же новое добавилось?

Вынесение за скобки общего множителя, если этот множитель многочлен.

В каком новом приеме разложение многочлена на множители это используется?

В разложении многочлена на множители с помощью группировки членов многочлена.

Рассмотрим теперь пример 9. Чтобы разложить на множители это выражение надо увидеть, что три слагаемых можно свернуть по формуле квадрат суммы

• x² + 2x + 1 – b² = (x + 1)² – b² =

затем применить формулу разность квадратов

• = (x + 1 – b)(x + 1 + b)

Какие же преобразования мы выполняли для разложения этого многочлена на множители?

Группировка

Формулы сокращенного умножения

Для того чтобы разложить данный многочлен на множители мы выполнили уже не одно преобразование. Такой прием так и называется – применение различных способов разложения многочленов на множители.

Давайте еще раз перечислим приемы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители (слайд №5)

Вынесение общего множителя за скобки

Применение формул сокращенного умножения

Способ группировки

Применение нескольких приемов

3. Физкультминутка. (слайд №6)

Вверх рука, вниз рука
Потянулись мы слегка
Быстро поменяли руки,
Нам сегодня не до скуки.
Крутим-вертим головой.
Разминаем шею....стой.
А теперь встряхнулись лихо
И на стул садимся тихо.

4. Первичное закрепление.

Никаких общих правил, помогающих установить, какие способы и в каком порядке применять, не существует. Более того, разложение многочлена на множители не всегда возможно.

Сегодня на уроке мы остановимся на первых двух приемах.

№3 (слайд №7)

Представьте выражение в виде произведения

• (a + b)a + (a + b)c = (a + b)( )
• б) (a + b)x - (a + b)y = (a + b)( )
• в) 2x(a + b) + (a + b) = (a + b)( )
• г) (a + b)3x – 2y(a + b) = (a + b)( )
• №459авд
• №460авд
• №469авд

5. Самостоятельная работа с самопроверкой. (слайды №8, 9)

А теперь проверим, как вы поняли новую тему. Я предлагаю вам сыграть в игру “Найди код”.

№4

Побывал Басик у Баба Яги. Говорила Яга, что не выберется Басик из её избушки, потому что поставила она на дверь замок кодовый. Нужно набрать на замке шесть цифр. А чтобы найти эти цифры на выписать номера заданий на новую тему. Помогите Басику открыть кодовый замок.

• 3b² – 3b
• 3x(a + b) + y(a + b)
• a(b – c) + 3(c – b)
• 21a + 28y
• a(2a – b)(a + b) – 3a(a + b)²
• x²y² – 1
• 225 – 144d²
• 64 + 16z + z²
• (a + 4)² – (b + 2)²
• (t – 7)² – 100

Найдите задания, в которых встречается новое понятие. Выпишите номера выбранных ответов.

235910

При воспроизведении интерактивной лекции акцентирую внимание на ключевых моментах. Останавливаю воспроизведение для фиксации учащимися необходимого теоретического материала.  При необходимости проигрываю часть интерактивной лекции заново.

Организую фронтальную работу класса, используя задания модуля как задачи для закрепления изученного материала.

При выполнении заданий модуля акцентирую внимание на теоретических аспектах.

Организую выполнение заданий учащимися. Задаю учащимся вопросы, связанные с ходом выполнения заданий. При необходимости  корректирую ответы учащихся.

После выполнения всех заданий, анализирую решения с точки зрения ключевых моментов.

6. Итог урока.

• Сегодня на уроке я узнал...
• Сегодня на уроке я был удивлен...
• Сегодня на уроке я открыл для себя...
• Сегодня на уроке я пришел к выводу...
• Сегодня на уроке я не понял...

7. Домашнее задание.

• п.6.10;
• №458(2);
• №459(2);
• №460(2);
• №469(2).