Решение неравенств методом интервалов

Разделы: Математика


Предварительная подготовка к уроку: обучающиеся должны знать: определение непрерывной функции, ее свойства, алгоритм решения неравенств методом интервалов. Предварительно все учащиеся разделены на группы, каждая группа получила задание – найти неравенство, решить его и объяснить классу.

Цели урока.

  1. Образовательная: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанных с применением метода интервалов при решении неравенств.
  2. Воспитательная: содействовать развитию общей культуры, активной жизненной позиции, создать условия для реальной самооценки учащегося, реализации его как личности.
  3. Развивающая: развитие у школьников самостоятельности мышления в учебной деятельности; развитие навыков самоконтроля; научить рационально распределять время выполнения заданий ЕГЭ.

Оборудование: доска, проектор, компьютер.

Тип урока: обобщения и систематизации знаний.

Форма: повторительно-обобщающий урок.

Ход урока

Деятельность учителя Деятельность ученика
I. Организационный момент. Постановка цели урока.
Наш урок я хочу начать со слов

персидско-таджикского поэта Рудаки “ С тех пор как существует мирозданье, такого нет, кто б не нуждался в знанье. Какой мы не возьмем язык и век, всегда стремится к знанью человек”.

На этом уроке мы познакомимся с некоторыми видами неравенств, которые решаются методом интервалов , большое внимание неравенствам уделяется на ЕГЭ, так восхитимся сначала своими знаниями теории.

 
II. Актуализация опорных знаний.
Итак, какая функция называется непрерывной на промежутке I?

Какими свойствами обладает непрерывная функция?

Ответы учащихся:

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I.

Если на интервале (а; в) функция непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

III. Оперирование знаниями и способами деятельности. Выступления учащихся. Первичное закрепление знаний.
Преподаватель осуществляет контроль, оказывает помощь выступающим.

Преподаватель обращается к выступающим с вопросом:

- сформулировать правило чередования знаков;

- что означает – выражение записано в каноническом виде?

Преподаватель просит уточнить, что значит учитывать кратность корней?

Итак, посмотрим, что приготовила нам 3 группа ребят.

Ответы учащихся 1 группы.

Выполняются записи на доске, но лучше, если группа подготовит презентацию для своего выступления. Во время выступления групп остальные учащиеся делают соответствующие записи в тетрадях.

Рассмотрим неравенство

2 -7х+5< 0

1) Пусть f(x)=2х2-7х+5

2) D(x)= R

3) f(x)=0, 2x2 – 7x +5=0,2( х-1) (х- 2,5)=0, х=1, х=2,5

4) Т.к. в записи выражения f(x) все двучлены записаны в каноническом виде, то на промежутке (2,5; оо) выражение f(x) положительно. На остальных промежутках расставляем знаки по правилу чередования знаков

Следовательно, f(x)?0 при х € [1; 2,5]

Свойство чередования знака линейного двучлена ах+в:

При переходе через значение х0 = а/в знак выражения ах+ в меняется на противоположный.

При решении неравенств методом интервалов, можно обойтись без промежуточных вычислений, если выражение f(x) или Р(х)/Q(х) содержит все линейные двучлены с положительными старшими коэффициентами или записано в каноническом виде:

(х-а1) ( х-а2) … (х-аn) или

(х-а1) (х-а2)… (х-аn)
(х-в1) (х- в2)… ( х-вn)

В этом случае на самом правом промежутке двучлены положительны, значит выражение f(x) или Р(х)/Q(х) положительно. Далее на промежутках расставляют знаки в соответствии с правилом знакочередования.

Ответы учащихся 2 группы.

Решим неравенство:

(х-2) (х-3)2 х    > 0
(х+1)4(х+5)

1) Пусть f(x) =

(x-2) (x-3)2 x
(x+1)4 ( x+5)

2) D(x)= (-оо; -5), (-5; -1), (-1; +оо)

3) f(x)=0, (x-2) (x-3)2x=0 найдем корни: 2; 3; 0, которые принадлежат области D(x)

4) Так как в записи выражения f(x) все двучлены записаны в каноническом виде, то на промежутке (3; +оо) выражение f(x) положительно. На остальных промежутках расставляем знаки, учитывая кратность корней.

Так как множители (х-3) и (х+1) возведены в четную степень, то при переходе через точки 3 и -1 знак выражения f(x) не меняется.

Отсюда f(x) >0 при х € (-5; -1),  ( -1;0),  (2;3), (3; +оо)

Ответы учащихся 3 группы:

Решим неравенство:

(х-4)2(х-V5)(х-2,24) < 0

1) Рассмотрим выражение f(x) =( x-4)2 (x-V5) (x-2,24).

2) D(x)= R.

3) Решим уравнение f(x)=0, x=4, x=v5, x=2,24

Сравним полученные числа.

4=v16 и 2,242=5,0176, значит V5 < 2,24<4

Расставляем знаки, учитывая кратность корней.

Отсюда f(x) < 0 при х € [V5; 2,24] и {4}.

IV. Проверка знаний учащихся.
Учащимся предлагаются неравенства из материалов ЕГЭ.

Самостоятельная работа.

1 вариант

а) х2 ( х-3)    < 0 
      х-1

Ответ:  (1;3)

б) (х+2) Vх2-1 >0 Ответ: (-2; -1), ( 1; +оо)

в) (х-2)3(х+1)(х2+2х+5)< 0, Ответ: (-1;1), (1;3)

2 вариант

а) х2( х +2)  < 0
       х+1

Ответ: (-2; -1)

б) (х-3) Vх2 -1 < 0

Ответ: (-оо;-1), (1;3)

в) 7х -12 –х2 <0
     2х2-х-3

Ответ:(-оо;-1), (1,5;3), (4;+?)

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

V. Итог урока. Рефлексия. Домашнее задание.

Итак, подведем итог сегодняшнего урока.

Кто оценил себя на “5”? на “ 4” ? на “3”?

Какой метод решения неравенств мы применяли на уроке?

Что получилось? Что не получилось?

Д/з: Найти в сборниках заданий для подготовки к ЕГЭ 5 неравенств разных видов и решить их методом интервалов.