Решение неравенств методом интервалов

персидско-таджикского поэта Рудаки “ С тех пор как существует мирозданье, такого нет, кто б не нуждался в знанье. Какой мы не возьмем язык и век, всегда стремится к знанью человек”.

На этом уроке мы познакомимся с некоторыми видами неравенств, которые решаются методом интервалов , большое внимание неравенствам уделяется на ЕГЭ, так восхитимся сначала своими знаниями теории.

Какими свойствами обладает непрерывная функция?

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I.

Если на интервале (а; в) функция непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Преподаватель обращается к выступающим с вопросом:

- сформулировать правило чередования знаков;

- что означает – выражение записано в каноническом виде?

Преподаватель просит уточнить, что значит учитывать кратность корней?

Итак, посмотрим, что приготовила нам 3 группа ребят.

Выполняются записи на доске, но лучше, если группа подготовит презентацию для своего выступления. Во время выступления групп остальные учащиеся делают соответствующие записи в тетрадях.

Рассмотрим неравенство

2х² -7х+5< 0

1) Пусть f(x)=2х²-7х+5

2) D(x)= R

3) f(x)=0, 2x² – 7x +5=0,2( х-1) (х- 2,5)=0, х=1, х=2,5

4) Т.к. в записи выражения f(x) все двучлены записаны в каноническом виде, то на промежутке (2,5; оо) выражение f(x) положительно. На остальных промежутках расставляем знаки по правилу чередования знаков

Следовательно, f(x)?0 при х € [1; 2,5]

При переходе через значение х₀ = а/в знак выражения ах+ в меняется на противоположный.

При решении неравенств методом интервалов, можно обойтись без промежуточных вычислений, если выражение f(x) или Р(х)/Q(х) содержит все линейные двучлены с положительными старшими коэффициентами или записано в каноническом виде:

(х-а₁) ( х-а₂) … (х-а_n) или

(х-а₁) (х-а₂)… (х-а_n)
(х-в₁) (х- в₂)… ( х-в_n)

В этом случае на самом правом промежутке двучлены положительны, значит выражение f(x) или Р(х)/Q(х) положительно. Далее на промежутках расставляют знаки в соответствии с правилом знакочередования.

Решим неравенство:

(х-2) (х-3)² х    _{> 0}
(х+1)⁴(х+5)

1) Пусть f(x) =

(x-2) (x-3)² x
(x+1)⁴ ( x+5)

2) D(x)= (-оо; -5), (-5; -1), (-1; +оо)

3) f(x)=0, (x-2) (x-3)²x=0 найдем корни: 2; 3; 0, которые принадлежат области D(x)

4) Так как в записи выражения f(x) все двучлены записаны в каноническом виде, то на промежутке (3; +оо) выражение f(x) положительно. На остальных промежутках расставляем знаки, учитывая кратность корней.

Так как множители (х-3) и (х+1) возведены в четную степень, то при переходе через точки 3 и -1 знак выражения f(x) не меняется.

Отсюда f(x) >0 при х € (-5; -1),  ( -1;0),  (2;3), (3; +оо)

Решим неравенство:

(х-4)²(х-V5)(х-2,24) < 0

1) Рассмотрим выражение f(x) =( x-4)² (x-V5) (x-2,24).

2) D(x)= R.

3) Решим уравнение f(x)=0, x=4, x=v5, x=2,24

Сравним полученные числа.

4=v16 и 2,24²=5,0176, значит V5 < 2,24<4

Расставляем знаки, учитывая кратность корней.

Отсюда f(x) < 0 при х € [V5; 2,24] и {4}.

а) х² ( х-3)    _{< 0} 
      х-1

Ответ:  (1;3)

б) (х+2) Vх²-1 >0 Ответ: (-2; -1), ( 1; +оо)

в) (х-2)³(х+1)(х²+2х+5)< 0, Ответ: (-1;1), (1;3)

а) х²( х +2)  < 0
       х+1

Ответ: (-2; -1)

б) (х-3) Vх² -1 < 0

Ответ: (-оо;-1), (1;3)

в) 7х -12 –х² <0
     2х²-х-3

Ответ:(-оо;-1), (1,5;3), (4;+?)

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

Итак, подведем итог сегодняшнего урока.

Кто оценил себя на “5”? на “ 4” ? на “3”?

Какой метод решения неравенств мы применяли на уроке?

Что получилось? Что не получилось?

Д/з: Найти в сборниках заданий для подготовки к ЕГЭ 5 неравенств разных видов и решить их методом интервалов.