«Обучение одаренных детей математике». 5-й класс

В предыдущих очерках, [1], [2, [3], [4] рассказывалось о реализуемой в ГБОУ «школа-интернат Интеллектуал» авторской программе углублённого интенсивного обучения математике одарённых детей, начиная с первого класса. В этой статье мы продолжим рассказ о ходе этого эксперимента, описывая процесс обучения 4-классников, впоследствии 5-классников, за период с января 2014 по январь 2015.

Итак, год назад мы остановились на решении систем из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Весь 4-ый год обучения можно назвать «годом дробей».

Под знаком изучения дробей, операций с ними, их применения при решении уравнений, арифметических задач, преобразования выражений, доказательства тождеств, в геометрии прошёл, по сути дела, весь этот год.

Вот как выглядело типичное задание в январе 2014:

Решить систему уравнений:

В то же время уделялось внимание и заданиям олимпиадного характера, позволяющим разнообразить несколько рутинную атмосферу механического выполнения алгоритмизуемых действий, вроде решения систем уравнений (методом умножения на соответствующие коэффициенты так, чтобы при последующем сложении этих уравнений оставалось одно неизвестное). В качестве материала для них была выбрана продолжавшася с октября по февраль Интернет-олимпиада для 5-8 классов.

Вот характерный пример задания из этой олимпиады:

«В компании из 10 человек любые два незнакомых имеют, как минимум, одного общего друга. На новый год каждый человек послал каждому своему другу письмо. Сколько всего могло быть отослано писем?»

Не дожидаясь 100%-го усвоения темы «решение систем линейных уравнений», мы перешли к математическому моделированию текстовых задач, сводимых к системах этих уравнений. Почему мы не дожидались этого, а перешли к теме, которая предполагает умение решать такие уравнения? Точно так же мы поступали, переходя от первоначальных сведений о выполнении арифметических операций (сложение и умножение, в том числе, вычитание и деление через нахождение противоположного (обратного) элемента) к решению одного уравнения с одним неизвестным, а от него – к решению систем. Дело в том, что на каждом последующем из указанных этапов происходит повторение предыдущего, и оно «доусваивается» так же, как запоминается известная песенка про «дом, который построил Джек».

Этот принцип построения материала можно условно назвать «принципом наложения». Мы, с одной стороны, проходим что-то новое, и это вносит элемент свежести и разнообразия (а уж разнообразие текстовых задач вообще практически безгранично) в атмосферу урока, и в то же время, как минимум 50% времени при этом уходит на повторение предыдущего этапа, хотя теперь он вытеснен уже из области основной цели в область побочной, вспомогательной задачи.

На решение текстовых задач мы отвели много времени, больше двух месяцев, учитывая важность этих умений и сложность в приобретении навыков моделирования, нахождения неизвестных и обозначений, рисования к задачам вспомогательных рисунков и схем, составления, собственно, самих уравнений.

Подтемами к этой теме служили обычные темы – задачи на движение, совместную работу, проценты. Мы не считаем целесообразным их как-то выделять, потому что с математической точки зрения все они моделируются линейными уравнениями, а значит, решаются одинаково. Вот образчик задач, решавшихся нами на протяжении двух с половиной месяцев, с февраля по середину апреля, составлявших содержание соответствующего «конспекта» (весь материал курса разбит на тематические «конспекты», которые заменяют детям учебники и задачники одновременно).

«Упражнение 76. За 4 мин. через первую трубу поступило воды на 1 л меньше, чем за 3 мин. через вторую трубу. Если первую трубу открыть на 5 мин., а вторую на 1 мин., то поступит 32 л воды. Сколько л воды поступает за 1 мин. через каждую трубу?

Упражнение 77. К приезду начальника на станцию присылают машину. Однажды он приехал на станцию на час раньше и пошёл пешком. По дороге он встретил едущий за ним автомобиль, сел в него и приехал на место работы на 10 минут раньше обычного. Во сколько раз скорость машины больше скорости начальника?

Упражнение 79. Бассейн заполняют горячей и холодной водой, текущей из двух кранов. Оба крана заполняют бассейн за 1 час 20 минут. Если кран с горячей водой работает 10 мин, а кран с холодной водой 12 мин, то заполняется бассейна. За какое время наполнит бассейн кран с холодной водой?

Упражнение 80. Путник вышел из А в В. Первую половину времени, затраченного им на переход он шёл со скоростью 5км/ч, а затем пошёл со скоростью 4км/ч. Второй путник вышел из А в В одновременно с первым, но половину пути он шёл со скоростью 4км/ч, а затем пошёл со скоростью 5км/ч. Кто из них первым придёт в В?

Упражнение 81. Лодка проплыла расстояние между пристанями на реке за 3,5ч, а обратно за 2,5 ч. Во время движения собственная скорость лодки (относительно воды) была постоянна. За какое время эта лодка с этой же скоростью пройдёт это же расстояние по озеру?

Упражнение 83. Половина дороги, соединяющей два горных селения, проходит по ровной местности. Автобус едет в гору со скоростью 30км/ч, под гору со скоростью 60км/ч, а по ровной местности скоростью 50км/ч. Каково расстояние между горными селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает 2ч 15мин?

Упражнение 84. Продолжительность рабочего дня составляет 8 часов. Первая бригада выполняет задание за 56 часов, а вторая за 112 часов. Мастер рассчитал, что работу можно организовать так, что сначала над выполнением задания будет работать первая бригада, а затем вторая, при этом задание будет выполнено за 8 дней. Сколько дней должна работать каждая бригада?

Упражнение 85. Брат и сестра одновременно начали сбор малины. Брат собирал ягоды в четырехлитровую корзину, а сестра в трёхлитровую. Брат собирал ягоды в 1,5 раза быстрее сестры. В какой-то момент они поменялись корзинами и закончили сбор ягод одновременно. Сколько литров ягод собрал брат за всё это время? Сколько литров ягод собрала сестра до обмена корзинами?

Упражнение 104. В каком отношении нужно смешать 3%-ый и 30%-ый растворы, чтобы получить 12%-ый раствор»

Уделили мы внимание и дробям со знаменателями, являющимися степенями (из дробей, относящихся к ним, обычно проходят только десятичные). При этом выполнение перевода из одной системы счисления в другую, с одной стороны, напоминало (и вызывало повторение на новом уровне) о переводах натуральных чисел из системы в систему в первом классе, а, с другой стороны, позволяло глубже понять особенности и отличия именно рациональных чисел, как классов эквивалентности пар целых чисел с пропорциональными числителями и знаменателями. Вот типичные примеры:

1. Записать число 0,231₄, записанное в четверичной системе счисления, в восьмеричной системе счисления;
2. Записать число 0,32₄, записанное в четверичной системе счисления, в шестеричной системе счисления;
3. Записать число 0,201₃, записанное в троичной системе счисления, в девятеричной системе счисления;

Далее, мы вновь вернулись к знакомым уже нам многочленам, вспомнили (точнее, заново вывели) формулы сокращённого умножения и поупражнялись в их применении для оптимизации вычислений (в специально подобранных примерах, где использование этих формул приводило к значительному их облегчению, вплоть до устного выполнения в противоположность длительным и утомительным выкладкам). Вывели мы также и теорему Виета (доказали как её, так и обратную к ней). Ну, а затем уже потренировались в разложении многочленов на неприводимые множители. Вот образчик из наших заданий:

Разложить следующие многочлены на множители (до конца, в произведение неразложимых многочленов!):

1. Х²+5Х-24;
2. Х⁴-13Х²+36;
3. Х⁶+7Х³-8;
4. Х⁴-41Х²+400.

Эти задания подчас требовали изрядной изобретательности, ибо лишь вначале выполнялись «в одно действие», а затем уже состояли из комбинированных упражнений, в которых необходимо было применить последовательно две формулы, или Виета + формулу сокращённого умножения. Не сразу и не все справлялись с этими заданиями успешно, но вызывали они повышенный интерес, занятия проходили на высоком эмоциональном накале, проходило в каком-то смысле соревнование по умению разлагать многочлены на множители. Чтобы не дать детям забыть о целочисленных задачах, в частности, о признаках делимотси, время от времени давались и такие, например, задачи: «Трёхзначное число, две первые цифры которого одинаковы, а третья равна 5, разделили на однозначное число, и в остатке получили 8. Найдите делимое, делитель и частное».

Ну, и последнее, чем мы занимались, в последнем, 6-ом модуле – это геоментрия. Она у нас традиционно заканчивает учебный год. На этот раз её темой стала, естественно, геометрия. Точнее, преобразование, непосредственно связанное с темой всего года – дробями. Привожу выдержки из конспекта №7 «Гомотетия»:

Упражнение №1.

1. Пусть на одной стороне угла отложены равные отрезки ОA₁=A₁A₂=A₂A₃=...= A_n-1A_n-Пусть через точки A₁,A₂,A₃,...,A_n-1,A_n проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла в точках B₁,B₂,B₃,...,B_n-1,B_n. Тогда и на другой стороне угла получатся равные отрезки: ОB₁=B₁B₂=B₂B₃=...= B_n-1B_n.
2. Пусть на каждой стороне угла от их общей вершины отложены равные отрезки:
   ОA₁=A₁A₂=A₂A₃=...= A_n-1A_n и ОB₁=B₁B₂=B₂B₃=...= B_n-1B_n. Тогда прямые, проведённые через концы этих отрезков, параллельны: A₁B₁||A₂B₂||A₃B₃||…||A_n-1B_n-1||A_nB_n-
3. То же самое верно, если равные отрезки отложены не от самой вершины, а где угодно на одной стороне и через их концы проведены параллельные прямые. Тогда напротив них, на другой стороне угла тоже будут равные отрезки.

Hint: remember theorems about mean line.

Упражнение №2.

1. Пусть имеется гомотетия h(O,k) с целым коэффициентом k∈Z. Пусть образом точки А при этой гомотетии является точка А’, а образом точки B является точка B’: h(A)=A’, h(B)=B’. Тогда AB||A’B’.
2. Пусть имеется гомотетия h(O,k) с коэффициентом k=, где n – целое и не равно нулю: n∈Z (n≠0). Тогда также AB||A’B’.
3. Пусть теперь имеется гомотетия h(O,k) с коэффициентом k – произвольное, не равное нулю рациональное число (дробь); k=, где m и n – целые и не равные нулю числа, m,n∈Z (m,n≠0). Тогда также AB||A’B’.

Упражнение №3. Пусть a, b, c, d∈Z и a:(a+b)=c:(c+d). Докажите, что тогда d:c=b:a.

Упражнение №4.

Пусть имеется гомотетия h(O,k) с произвольным рациональным коэффициентом k∈Q. Пусть образом точки А при этой гомотетии является точка А’, а образом точки B является точка B’: h(A)=A’, h(B)=B’.

Докажите,: |A’B’|=|k||AB|. Дополнительное построение, показанное на рисунке, подскажет вам доказательство этой важной теоремы. Что произойдёт с векторами  и при отрицательных k? Докажите, что из этой теоремы вытекает следующее важное следствие.

Пусть и - два произвольных вектора, а - произвольное рациональное число.

Тогда .

Упражнение №5. Сформулируйте и докажите утверждения, аналогичные утверждениям, содержащимся в предыдущем упражнении, для случаев, когда

• k=, n∈Z (n≠0) и когда
• k∈Q – произвольное, не равное нулю, рациональное число.

Упражнение №6. При гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую. Обратите внимание, что в этом упражнении содержатся два утверждения:

• Образом прямой при гомотетии является прямая; и
• Эта прямая параллельна прямой-прообразу.

Упражнение №7. Для любых двух параллельных отрезков существуют ровно две гомотетии, переводящие один отрезок в другой.

Упражнение №8. Пусть отрезок А'В' является образом отрезка АВ при гомотетии h(O,q) и точка С делит отрезок АВ в отношении m:n. Тогда точка C'=h(C) делит отрезок А'В' в отношении m:n. Рассмотрите случаи q>0 и q<0.

Упражнение №9. Пусть дана трапеция ABCD, BC||AD. Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке Е: E∈AB∩CD, а АС и BD - в точке F: F∈AC∩BD. Докажите, что четыре точки: E, F и середины сторон ВС и AD лежат на одной прямой.

Упражнение №10. Пусть имеется отрезок АВ и ещё на нарисована прямая линия а, параллельная этому отрезку. У вас имеется только линейка, циркуля нет. Как разделить отрезок АВ пополам?

Таким образом, можно разделить любой отрезок пополам, имея только двустороннюю линейку: линейку с параллельными краями.

Упражнение №11. Найдите способ с помощью циркуля и линейки разделить данный отрезок на сколько угодно равных частей.

Упражнение №12*. Имеется треугольник АВС. Найдите способ с помощью циркуля и линейки «вписать» в этот треугольник квадрат: две вершины его должны лежать на одной стороне треугольника, а две другие – на двух других его сторонах.
Указание. Нетрудно построить квадрат, три точки которого лежат на сторонах треугольника. Проследите за положением четвёртой точки.

Упражнение №13. Имеется треугольник АВС и в нём отмечены середины сторон А', В' и С'. Найдите центр и коэффициент гомотетии, преобразующей треугольник АВС в треугольник А'В'С'.

Упражнение №14. Докажите, что у любых двух неравных окружностей существуют ровно два центра гомотетии, оба они лежат на их линии центров. Один из этих центров, называемый «внешним», соответствует гомотетии с положительным коэффициентом, а другой, называемый, соответственно, «внутренним» – гомотетии с отрицательным коэффициентом.

Этим мы закончим беглый обзор второй половины учебного года в 4-ом классе и перейдём к ещё более беглому, чтобы не нарушать регламент, обзору первого полугодия 2014/2015 учебного года в 5-ом классе. В нём к бывшим 7 моим 4-классникам, поступившим в 5-ый класс нашей школы и пожелавшим продолжить своё обучение математике у меня, присоединились ещё трое мальчиков, поступившим в нашу школу из других школ.

Первой темой наших занятий были графические и геометрические методы решения задач, которым был посвящён Конспект №12 и первые полтора учебных модуля.

Привожу некоторые задачи из этого конспекта:

1. “В семье у мальчика сестёр столько же, сколько и братьев, а у его сестры сестёр вдвое меньше, чем братьев. Сколько детей в семье?
2. Коля уплатил в столовой за 3 блюда, а Саша – за два. Все блюда – одинаковой стоимости. Только они сели за стол, как к ним подсел Юра, и они втроём съели поровну все 5 блюд. Юра внёс за себя 5 рублей. Как должны разделить их между собой Коля и Саша?
3. В первом бидоне вдвое больше молока, чем во втором. Когда из обоих бидонов отлили по 20л молока, то в первом бидоне молока стало втрое больше, чем во втором. Сколько л молока было первоначально в каждом бидоне?
4. Артели косцов надо было скосить два луга – один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг, а вторую половину дня одна половина артели осталась докашивать большой луг (и докосила-таки его к вечеру), а вторая половина пошла косить малый луг. На следующий день один косец, работая весь день, докосил этот луг. Все косцы работали с одинаковой производительностью. Сколько всего было косцов в артели?
5. Сестре втрое больше лет, чем было брату, когда ей было столько лет, сколько ему сейчас. Когда ему будет столько лет, сколько ей сейчас, им обоим вместе будет 28 лет. Сколько им лет сейчас?
6. Из Ливерпуля в Рио-де-Жанейро в полдень уходит ежедневно пароход компании «С.Маршак & Сo». В полночь из Рио-де-Жанейро в Ливерпуль ежедневно отправляется пароход этой же компании. Пароходы идут в обе стороны 2 недели. Сколько пароходов своей компании повстречает пароход, вышедший в четверг в полдень из Ливерпуля?
7. Скорость течения реки в два раза больше скорости течения лодки. Под каким углом надо грести, чтобы выйти на берег как можно ближе к месту, напротив которого стоит лодка?
8. По шоссе мимо наблюдателя с постоянными скоростями проехали автомобили «Волга», «Нива»,и навстречу им - «BMW».
   Когда «Волга» проезжала мимо наблюдателя, она была равноудалёна от «Нивы» и «BMW». Когда «BMW» проезжал мимо наблюдателя, он был равноудалён от «Нивы» и «Волги». Докажите, что когда «Нива» проезжала мимо наблюдателя, она была равноудалёна от «BMW» и «Волги»”.

Важность использования образов, привлечение правого полушария к выработке решений, трудно переоценить. К тому же привлечение геометрии к решению текстовых, казалось бы, чисто арифметических задач, решаемых алгебраическими методами, демонстрирует целостность математики, взаимосвязь её различных ветвей.

Следующая тема как бы продолжала тему предыдущую: она тоже была посвящена теме линейных уравнений, но подход к их решению был уже пропедевтикой к последующему в будущем изучению линейной алгебры. Название у этого конспекта - «Линейные преобразования плоскости». В нём вводятся матрицы второго и третьего порядка, понятия линейной зависимости систем векторов, ядра и образа линейных операторов, базиса и размерности линейного пространства, выясняются условия при которых система из двух линейных уравнений имеет одно, ни одного или бесконечное множество решений. Приведу выдержки из этого конспекта:

“Упражнение №5. Решите систему уравнений:

Выражение, стоящее в знаменателях, называется определителем или детерминантом матрицы . Перепишите полученные результаты в виде отношения детерминантов двух матриц. Интерпретируйте результаты и сформулируйте правило для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Упражнение №6. Проверьте для матриц 2-го порядка, что определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц.

Упражнение №8. В каких случаях графики решений отдельно уравнений A₁x+B₁y=C₁ и A₂x+B₂y=C₂ не пересекаются?

Это означает, что у них, как у системы уравнений нет совместных решений!

А в каких случаях они совпадают (т.е., у них бесконечно много решений)?

Упражнение №9. А теперь вернёмся к упражнению №5. Мы получили там ответ. Всегда ли формулы дают нам решение? От чего это зависит? В каком случае нет? Что это означает? Переведите соотношение равенства произведений в равенство пропорций. А теперь рассмотрите отдельно случаи, когда делители равны нулю. Сравните результаты с результатами предыдущего упражнения.

Упражнение №10*. Найдите вид матриц 2-го порядка, которые коммутируют со всеми матрицами.

Упражнение №20. В стандартном базисе е₁=(1,0), е₂=(0,1) запишите матрицы следующих линейных операторов:

1. Гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом a;
2. поворот на прямой угол вокруг начала координат;
3. (х,у)→(х+у, у);
4. (х,у)→(2х,у);
5. симметрия относительно оси абсцисс;
6. симметрия относительно оси ординат;
7. симметрия относительно прямой у=х;
8. симметрия относительно прямой у=-х;
9. проектирование: (х,у)→(х,0), (х,у)→(0,у).

Упражнение №22. Пусть e={e₁,e₂} система линейно независимых векторов, а f={f₁,f₂,f₃} - система линейно зависимых от них векторов: f₁=A₁₁e₁+A₂₁e₂; f₂=A₁₂e₁+A₂₂e₂; f₃=A₁₃e₁+A₂₃e₂. Тогда система векторов f={f₁,f₂,f₃} – линейно зависима. Точно так же, из трёх линейно независмых векторов нельзя получить четыре линейно независимых вектора.

(hint: from the first equation express e₁ as linear combination of f₁ and e₂ and follow on)

Следствие. Все базисы одного и того же пространства имеют один и тот же размер (число базисных векторов в них одно и то же).

Таким образом, число векторов в базисах пространства служит его характеристикой, называемой размерностью. Поэтому говорят, что точка нуль-мерна, прямая одномерна, плоскость двумерна, а пространство трёхмерно. Разумеется, ничто не мешает нам формально рассматривать векторные пространства и с большим числом базисных векторов, и так, собственно, и происходит.

Упражнение №25. Ядро и образ линейного оператора – подпространства. Первое – исходного пространства, второе – того пространства, в которое отображаем вектора.

Упражнение №26. Любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса.

Упражнение №27. Сумма двух подпространств – подпространство.

Линейный оператор действует на вектора, т.е, на стрелочки, исходящие из начала координат (нуля). Но если отождествить точки плоскости с концами этих стрелочек, то получится, что он действует на точках плоскости, т.е., вообще любую фигуру, нарисованную на плоскости, переводит в другую фигуру. Например, прямые, не обязательно проходящие через начало координат.

Упражнение №28.

1. Линейный оператор переводит прямые в прямые,
2. *Линейный оператор переводит параллельные прямые в параллельные прямые (hint: take advantage of the picture below and properties of dilatation)
3. Образами параллелограммов при линейном отображении являются параллелограммы (возможно, вырожденные, т.е., лежащие на одной прямой).

Упражнение №30*. Пусть в векторном пространстве Е размерности n, dimE=n, задан линейный оператор А:Е→Е ядро которого имеет размерность m, а образ – k:

dim kerA=m, dim ImA=k. Тогда n=m+k.

(hint: complete base in kerA to make base of E according to ex.26)

Упражнение №35. Определитель является линейной функцией по каждому из (двух) своих аргументов-столбцов. То есть, он аддитивен по сложению и перестановочен с умножением на число по каждому переменному при фиксированном другом переменном.

То же самое, естественно, относитсяк нему и как функции от его строк.

Функция от двух аргументов, линейная по каждому из них называется билинейной.

Если эти аргументы (переменые) являются, как в нашем случае, векторами, то тогда билинейная функция называется скалярным произведением этих векторов.

Таким образом, определитель матрицы является скалярным произведением векторов, являющихся её столбцами (равно, как и векторов, являющихся её строками).

Упражнение №36.

Det(x,y)=-det(y,x).

Таким образом, определитель меняет знак при перестановке его столбцов (или строк).

Определитель матрицы второго порядка не меняется при её транспонировании. Так что утверждения относительно строк просто следуют из утверждений относительно столбцов.

Упражнение №37.

1. Вывести прямо из предыдущего упражнения: det(х,x)=0 ∀х.
2. Доказать, что и обратно, для любой билинейной функции тождество f(х,x)=0 ∀х влечёт за собой тождество f(x,y)=-f(y,x) ∀x,y.

Свойство менять знак при перестановке аргументов называется знакопеременностью.

Таким образом, определитель матрицы второго порядка является билинейной, знакопеременной функцией своих столбцов (и строк).

Рассмотрим теперь, что происходит с площадями фигур при линейном преобразовании плоскости (линейным преобразованием называется отображение плоскости в себя, производимое невырожденным линейным оператором).

Мы уже знаем (см. упр. 28с), что при линейном преобразовании плоскости каждый единичный квадратик превратится в соответствующий параллелограммчик. Но их число внутри каждой фигуры не изменится. Поэтому площадь всех фигур изменится во столько же раз, во сколько изменится площадь одного единичного квадратика, превратившегося в параллелограмм”.

Вы, наверное, обратили уже внимание, что подсказки к некоторым упражнениям написаны по-английски. Это сделано в надежде на то, что, вследствие естественной лени, ученик сначала попытается решить задачу сам, без подсказки, чтоб не мучиться с переводом. На самом деле, в реальном тексте конспекта они ещё выполнены мелким шрифтом для затруднения чтения.

К сожалению, я уже превысил регламент, предусмотренный для размера статей в этом конкурсе, поэтому обзор следующего конспекта, «Многочлены и Ряды», который мы как раз и проходим я эти январские дни (и находимся уже ближе к его окончанию, чем к началу), придётся перенести уже на будущий год, в следующий выпуск этого сериала.

Посмотреть укороченный видеоролик, показывающий моих учеников в апреле 2014 года можно в YouТube по ссылке youtu.be/voKvbhOtyu0.

Литература: 

1. Абрамсон Я.И.,Обучение одаренных детей математике. 1-й класс(2010/2011 уч/год) urok.1sept.ru/articles/602405/
2. Абрамсон Я.И., Обучение одаренных детей математике. 2-й класс (2011/2012 уч/год) urok.1sept.ru/articles/619698/
3. Абрамсон Я.И.,Обучение одаренных детей математике. 3-й класс(2012/2013 уч/ год) urok.1sept.ru/articles/631585/]
4. Абрамсон Я.И.,Обучение одаренных детей математике. 4-й класс(2013/2014 уч/ год) urok.1sept.ru/articles/644130/
5. Абрамсон Я.И. Математика. 1 класс. Книга для учителя. Спб, 2012.
6. Абрамсон Я.И., Берёзкина С.Г. Уроки математики в первом классе. Спб, 2013.
7. Абрамсон Я.И., Авторская программа по математике для высокомотивированных школьников. Материалы открытой школы-семинара для учителей математики в сборнике «Учим математике-4», М, 2014.