Цели и задачи:

Предлагаемый курс рассчитан на учащихся 10-11-х классов, имеющих хороший уровень математической подготовки, предназначен для расширенного изучения алгебры и ориентирован на подготовку учащихся к сдаче экзамена в форме ЕГЭ. Курс составлен, исходя из следующих целей обучения решению уравнений в школе:

• обобщение и дополнение школьного материала, связанного с решением уравнений различного вида;
• систематизация способов решения уравнений;
• ознакомление  учащихся с нестандартными способами решения;
• помощь при подготовки к экзамену на повышенном уровне;
• развитие логического мышления учащихся;
• выявление наиболее способных и одаренных детей;
• создание условий для развития индивидуальных способностей каждого учащегося;

Формы отчета:

Блочно-модульная система данного курса позволяет оценивать результаты успешного усвоения каждого блока, используя зачетную систему в виде контрольной или тестовой работы.

Ожидаемые результаты:

В результате изучения курса учащиеся должны:

• анализировать условие задания и находить оптимальный способ решения;
• применять различные способы решения заданий;
• используя полученные знания успешно решать задания повышенной сложности из ЕГЭ.
• применять полученные навыки на практике.

Учебно-методическое сопровождение:

1. И.Ф.Шарыгин. Факультативный курс по математике 10 класс. Москва, 1991год.
2. С.А.Шестаков. Сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы. Москва, 2006 год
3. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. Алгебра и начала анализа 10-11 класс, Москва, 2001 год.

Основные модули программы:

Курс рассчитан на 34 часа, делится на три основных модуля, каждый из которых содержит по 11-12 занятий.

1 модуль: Дробно-рациональные уравнения
2 модуль: Иррациональные уравнения
3 модуль: Логарифмические и показательные уравнения

Учебно-тематический план (34 часа)

Содержание курса

В последние годы издано достаточно много пособий и справочников, посвященных задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующими нестандартных методов решения. Однако примеры, приводимые в пособиях и справочниках, сами имеют нетрадиционный вид. Это создает дополнительные психологические трудности при усвоении данных примеров. В то же время имеется класс уравнений, который позволяет естественным образом превратить эти приемы из нестандартных в традиционные.

Модуль № 1 Рациональные уравнения, приводящиеся с помощью преобразований к линейным уравнениям

Введение в теорию уравнений

На первом уроке необходимо обобщить полученные учащимися знания на уроках математики: напомнить определения уравнения, дробно-рационального уравнения, иррационального уравнения, показательного и логарифмического уравнений, рассмотреть различные уравнения, решаемые стандартными способами.

Цель данного модуля – на примере решений дробно – рациональных уравнений показать учащимся достаточно простые приемы, за счет которых можно избежать громоздких преобразований и вычислений.

Удачная группировка
Данный способ заключается  в «выгодном» объединение алгебраических дробей в пары и выполнению действий сначала внутри пар. Удачная группировка позволяет далее применить способ разложения на множители, что существенно упрощает вычисления.

Выделение целой части в неправильной алгебраической дроби

Данный прием сложнее. Решение данного типа уравнения «в лоб» приводит к непомерным, не для всех преодолимым вычислительным трудностям. Однако можно эти трудности обойти. Для этого следует каждую дробь, входящую в данное уравнение преобразовать, выделяя целую часть. Дальнейшие преобразования сводят уравнение к линейному.

Замена переменной

Введение нового неизвестного, относительно которого имеет более простой, легко приводимый к стандартному вид или даже просто упрощающее вид уравнения – важнейший метод решения уравнений любых видов и типов. Необходимо помнить следующее:
–  новое неизвестное следует вводить сразу, при первой возможности;
–  после введения нового неизвестного получившееся уравнение следует полностью решить с этим неизвестным, отбросить, если таковые появились, лишние корни и лишь затем вернуться к первоначальному неизвестному.
           
Возвратные уравнения

Уравнения вида  называются возвратными уравнениями четвертой степени. Решение уравнений данного вида производится по следующей схеме:
–  делим почленно уравнение на
–  получаем   
–  поскольку  то относительно   получаем уравнение

Модуль № 2 Решение иррациональных уравнений возведением в степень обеих частей уравнения

Одним из наиболее распространённых преобразований при решении иррациональных уравнений является возведение в квадрат обеих частей уравнения, но не единственный. Если таких радикалов несколько, то уравнение приходится возводить в квадрат неоднократно. Если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве, то возведение в квадрат обеих частей такого уравнения  не приводит ни к потере, ни к приобретению решений на этом множестве, т.е. является равносильным преобразованием. Поэтому
При этом способе решения можно обойтись без рассмотрения области допустимых значений. При решении такой смешанной системы достаточно решить уравнение системы и проверить, удовлетворяют ли его корни неравенству системы.
Очень часто, решая иррациональные уравнения возведением обеих частей уравнения в квадрат, получаем выражение, требующее сложных алгебраических преобразований. Поэтому существуют различные способы решения иррациональных уравнений. 

Решение иррациональных уравнений, с использованием анализа области допустимых значений.

В данных примерах решение начиналось с рассмотрения области определения уравнения или области допустимых значений, т.е. множества тех значений неизвестного, при которых имеют смысл его левая и правая части. Но, во введении понятия ОДЗ особой надобности нет, поскольку как это следует из самого определения, при решении любого уравнения мы не имеем права рассматривать значения неизвестного, не входящие в ОДЗ. Очень часто встречаются решения, в которых большая часть посвящена нахождению тех значений неизвестного, которые оно не может принять, и откуда очень трудно понять, а чему же оно всё-таки равно. Уравнение может быть правильно решено, если в решении отсутствует даже упоминание об ОДЗ. И наоборот, верно найденная ОДЗ и последующий отбор корней по ней не гарантируют от ошибок. Универсальных «рецептов» здесь нет и быть не может. Более того, любая, даже в принципе полезная рекомендация, которая может быть истолкована как универсальная, превратившись в догму, принесёт лишь вред, о чём, в частности, свидетельствует следующий пример:    №9

Разберём ещё два примера, показывающие, что в одних случаях нахождение ОДЗ полезно при решении уравнения, в других задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно ненужной (при нахождении ОДЗ надо  неравенства и системы неравенств).
№10       №11

В последнем уравнение ОДЗ приносит несомненную пользу, т.к. состоит всего лишь из двух значений.

Конечно, данные примеры специально подобраны и отражают две крайние ситуации, а истина, как всегда, находится посередине.

Решение уравнений методом разложения на множители входящих в него выражений (с учётом ОДЗ)

Решение уравнений вида f(x)g(x)=0 сводится к решению уравнений f(x) = 0, g(x) = 0 и проверке полученных корней.

Решение иррациональных уравнений с использованием замены переменной

 

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится алгебраическим относительно новой переменной.

Решение иррациональных уравнений, используя формулы сокращённого умножения

В данном разделе рассматриваются примеры, показывающие, как иногда можно избавляться от радикалов, не возводя уравнение в нужную степень.

Нестандартные способы решения уравнений

Рассмотрим различные способы решений:
–  использование двойной замены (№ 2, 3);
–  приведение уравнения к однородному (№1):
, такое уравнение называется однородным относительно u и v второй степени, поскольку все его члены имеют одну и ту же суммарную степень, равную двум. Делением на  оно приводится к квадратному уравнению относительно ;
–  использование возрастания и убывания функций(№ 5, 6,);
–  метод подбора корней (№8);
–  оценка левой и правой части уравнений (№9, 10)

Модуль №3 Решение уравнений вида

В данном модуле рассматриваются уравнения вида f (g(x)) = f(h(x)),   (1)
где f(x), g(x) – некоторые функции. Действительно, если функция f(x) либо ,  либо a^x, а g(x), h(x) – квадратные или линейные функции, то уравнения вида (1) являются традиционными для учащихся. Во всех школьных учебниках  разъясняется, что в этих случаях решение уравнения (1) сводится к решению уравнения g(x) = h(x),       (2)
Но не во всех учебниках и учебных пособиях это разъяснение проведено должным образом. Однако равносильность уравнения (1) и (2) на области допустимых значений уравнения (1) легко доказать, используя строгую монотонность функции f(x).

Заметим, что разбираемые в работе уравнения встречаются как среди олимпиадных задач, так и среди заданий, предлагаемых на ЕГЭ.

При решении  уравнений вида (1) справедливы следующие утверждения:

• Решения уравнения (2), содержащиеся в области допустимых значений уравнения (1), являются решениями уравнения (1).
• Если f(x) – строго монотонная функция, то уравнения (1)и (2) равносильны на области допустимых значений уравнения (1).
• Если f(x), g(x) и h(x) многочлены, то полином f(g(x) – f(h(x)) делится на многочлен g(x) – h(x).

1. Если функция f (x) четная, то решения совокупности уравнений f(x) = h(x), g(x) = – h(x),          (3) содержащиеся в области допустимых значений уравнения (1), являются корнями уравнения (1).
2 . Если функция  f(x) четная и строго монотонная при х > 0, то на области допустимых значений уравнения (1 ) равносильно совокупности уравнений (3).

Заметим что утверждение 2 справедливо и в случае, если функция f(x) четная и строго монотонная как при положительных значениях функций g(x) и h(x), так и при отрицательных значениях этих функций.

1. Если функция f(x) нечетная, то  решение уравнения вида f ( g (x) ) + f ( h(x) ) = 0         (4) сводится к решению уравнения  f ( g(x) ) = f( – h(x) ).
Если функция f(x) в уравнении (1) периодическая, то справедливы утверждения:

1. Если функция f(x) периодическая с периодом Т, то решения бесконечной совокупности уравнений g(x) = h(x) + kT,      (5), где k – целое число, содержащееся в области допустимых значений уравнения (1). Являются решениями уравнения (1).
2. Если функция f(x) периодическая с периодом Т и строго монотонная совокупность уравнений (5) и уравнение (1) эквивалентны.

Класс уравнений вида

Класс уравнений вида  f(f(x)) = x.   (6). Данный класс уравнений так же удобен для отработки нестандартных приемов решений. Они интересны тем(в отличии от уравнений (1)), что при решении некоторых уравнений данного класса можно воспользоваться свойством непрерывности функции f(x) .Отметим следующие утверждения, полезные при решении уравнений данного вида:

1. Корни уравнения f (x) = x    (7) являются решениями уравнения (6).
2. Если функция f (x) строго возрастающая, то уравнения (6) и (7) эквивалентны. Заметим, что в пособии В. Г. Чирского, Шавгулидзе  «Уравнения элементарной математики » (М.: Наука 1992) ошибочно утверждается, что уравнения (6) и (7) эквивалентны на области допустимых значений (6) и при условии строго убывания f (x) . Легко видеть. Что опровергающий пример доставляет функция f (x) = –  x.
3. Пусть функция f (x) непрерывна на области определения, которая является промежутком. Если уравнение (7) не имеет корней то уравнение (6) не имеет решений.
4. Если функция f (x) является многочленом, то полином f (f(x)) – x делится  на многочлен f (x) – x.

Заметим, что на занятиях учащиеся при решении этих уравнений не ссылаются на утверждение 3 , а фактически воспроизводят его в процессе решения. Например, при решении уравнения a  сперва убеждаются, чтоf (x) > x при всех действительных числах.
Обобщениями класса уравнений (4) можно считать уравнения вида f (f (x) /g (x)) = x g(x) ,
где f(x), g(x) –некоторые функции. При g(x) = 1 уравнение (8) примет вид (6). Для этого класса уравнений справедливы следующие утверждения, полезные при их решении.

1. Корни уравнения f (x) = x g (x), входящие в область допустимых значений уравнения (8) , являются решениями уравнения (8).
2. Если функция f(x) возрастающая и g(x) > 0,или функция f(x)убывающая и g(x)<0 на области допустимых значений уравнения (8), то уравнения (8) и (9) равносильны на области допустимых значений уравнения (8).
3. Если функция f(x) является многочленом n-ой степени  и g(x) – многочлен, то полином p(x) = gⁿ(x)f(f(x)/g(x) –  x g^{n + 1}(x) делится на многочлен f(x) – x g(x).

Заметим, что в условиях утверждения 3 решение рационального уравнения (8) после обычных алгебраических преобразований сводится к решению уравнения p(x) = 0.
С уравнениями (6) и (8) тесно связаны уравнения вид f(x) = f^{– 1} (x),                          (10)
f (x)/ g(x) = f^{– 1} (x g(x)),                  (11)
где  f(x), g(x) – некоторые функции и f^{– 1} (x) – функция,  обратная к функции f(x). Так как  f(f^{– 1} (x)) = x, то решения уравнения (10) , (11) являются корнями уравнения (6) (соответственно, (8)). Учитывая, что задачи и упражнения, связанные с понятием обратной функции, редко встречаются в методической литературе, то решения уравнений вида (9) и (10) необходимы на практических занятиях  в классах с углубленным изучением математики.

Уравнения, составленные из функций, являющихся суперпозициями более простых функций

f ( f (… (f(x)) …) = x ,   (12)         f ( f … (f(x) …) = f^{– 1} (x),                              (13)

В заключение,  рассмотрим уравнения, составленные из функций, являющихся суперпозициями более простых функций, где f(x) – некоторая функция, f^{– 1} (x)–  функция, обратная к f(x) и левая часть уравнений (12) и (13) есть результат действия n раз f на х (n –  кратная суперпозиция f). Для уравнения (12) справедливы утверждения, аналогичные утверждениям 1 – 3 для уравнения (6)  . Примеры решения уравнения вида (12) встречаются в математической литературе. Ясно, что решение уравнений (13) сводится к решению уравнения вида (12).

Уравнения с параметрами

Наличие параметра заранее предполагает специальную форму записи ответа, такую, чтобы по ней можно было указать, каков будет ответ для любого допустимого значения параметра.

Итоговое занятие

На данном занятии можно провести проверочную работу, составленную из заданий, рассматриваемых в данном курсе.

Приложение 1