Решение задач повышенной сложности по планиметрии методом построения вспомогательной окружности и теоремы Птолемея

1. Метод проведения вспомогательной окружности.

Проведение вспомогательной окружности около четырехугольника позволяет установить равенство вписанных углов, либо использовать свойства четырехугольника, вписанного в окружность и свойства описанной окружности.

Задача 1. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и С. Пусть К и L – основания перпендикуляров, опущенных из вершины В на эти биссектрисы.

Докажите, что прямая КL параллельна АС. [3]

Задача 2. Внутри острого угла, равного , взята точка М, удаленная от сторон угла на расстояния k и n.

Найти расстояние от вершины угла до точки М. [3]

Задача 3. Дан остроугольный треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС во внешнюю сторону построены равные прямоугольники АВМN и LВСК так, что АВ = КС.

Докажите, что прямые АL, NК и МС пересекаются в одной точке. [3]

Задача 4. В треугольнике NMF медиана МА делит угол М так, что NMА = 20° и АMF= 30°. Из точки А опущены перпендикуляры АК и АС на стороны NM и MF соответственно.

Вычислить площадь треугольника АКС, если АК = 5 и КС = 7. [2]

Задача 5. Пусть А₁ , В₁ , С₁ – точки касания вписанной окружности остроугольного треугольника АВС со сторонами ВС, АС, АВ соответственно. Обозначим через Н₁ и Н ортоцентры треугольников ВС₁А₁ и СА₁В₁ соответственно.

Доказать, что четырехугольник ВН₁НС - вписанный. [3]

Теорема Птолемея: В любом вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, т.е. АС•ВD=AB•CD+BC•AD.

Задача 1. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). На дуге АВ взята произвольная точка К и соединена хордами с вершинами треугольника.

Доказать, что АК • КС = АВ² – КВ². [3]

Задача 2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны а и в. На его гипотенузе во внешнюю сторону треугольника построен квадрат, одна из сторон которого совпадает с гипотенузой.

Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата. [3]

Задача 3. В равнобочной трапеции основание АD равно диагонали АС. Известно, что САD = СDМ, где М – середина ВС.

Найти углы трапеции. [1]

Задача 4. Вокруг равностороннего треугольника АВС описана окружность радиуса R и на дуге ВС окружности взята точка М так, что дуга ВС делится этой точкой в отношении 1:3, считая от вершины В.

Найти расстояние АМ. [1]

Задача 5. Доказать, что в равнобочной трапеции произведение длин оснований равно разности квадратов диагонали и боковой стороны. [2]

1. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике для 10 кл. М., Просвещение, 1989 г.

2. О.Ю. Черкасов. Планиметрия на вступительном экзамене, “Московский лицей”, 1996г.

3. Задачи математических конкурсов и олимпиад 2007-2010 гг.