Введение в теорию вероятностей и статистику

Цель: Ввести основные понятия теории вероятностей. Рассмотреть различные типы задач по теории вероятностей и статистики, встречающихся в курсе изучения данного раздела. Учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер для осознания и осмысления блока новой учебной информации.

Оборудование: Интерактивная доска, карточки с заданиями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Вступительное слово учителя.

В жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными событиями: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Как же окружающие нас случайные события связаны с математикой? (слайд 1)

Теория вероятностей возникла в середине XVII века. Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами. (слайд 2)

Следующий (второй) период истории теории вероятностей ( XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это – период, когда теория вероятностей уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). (слайд 3)

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). Теория вероятностей развивалась в России и раньше (в XVIII в. ряд трудов по теории вероятности был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития теории вероятностей следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам теории вероятностей,связанным с математической статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям теории вероятностей к страховому делу, статистике и демографии). (слайд 4)

Таким образом теория вероятностей – математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

III. Изучение нового материала.

Классическим определением вероятности является формула, на которую очень много задач ЕГЭ и ГИА.

Где:

Р(А) – вероятность события А.

m – число (количество) благоприятных исходов, n – число (количество) всех исходов.

ПРАВИЛО: Вероятность всегда равна от 0 до 1. Ни меньше, ни больше! (слайд 5)

Примеры:

1. На экзамене учащийся из 20 билетов 10 знает на «отлично», 5 – на «хорошо», 3 – на «удовлетворительно» и 2 – не знает. Какова вероятность сдать на «хорошо»?
   Решение: m = 5, n =20.
   Значит Р(А) = 5/20 = 0,25. (слайд 6)

2. В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 14 из них встречается вопрос по регионам России. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по регионам России.
   Ответ: 0,44.

3. На семинар приехали 6 учёных из Голландии, 5 из Италии и 4 из Чехии. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым окажется доклад учёного из Голландии.
   Ответ: 0,4.

4. В сборнике билетов по физике всего 15 билетов, в 12 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по электростатике.
   Ответ: 0,8.

5. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Японии, 12 из Китая, остальные – из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.
   Ответ: 0,32. (слайд 7)

С теорией вероятностей тесно связаны комбинаторные задачи. Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики используются для решения многих вероятностных задач, в которых речь идет о подсчете числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях. Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Решить комбинаторную задачу – это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов, отвечающих условию задачи.

Рассмотрим основные типы комбинаторных задач:

1. Перестановки.
2. Размещения.
3. Сочетания. (слайд 8)

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение. Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Для ее решения можно построить специальную схему.

Дополнительная подзадача: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры десятков и единиц не повторяются? (Ответ: 6) (слайд 9)

Задача 2. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?

Решение:

Ответ: 8. (слайд 10)

Задача 3. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Решение: Обозначим города их первыми буквами. Тогда код каждого маршрута будет состоять из трех букв: В, Р и Ф, каждая из которых должна быть использована только один раз, например, ВФР или ФРВ.

Варианты путешествия получаются следующие: ВРФ, ВФР, РВФ, РФВ, ФВР, ФРВ, что хорошо видно из дерева вариантов. Таким образом, всего существует – 6 вариантов путешествия. (слайд 11)

Задача 4. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение: Дадим каждому из приятелей номер – от 1 до 8. Тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Например, 47 – это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7.

Ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, например, 33 – это означало бы, что один из друзей пожал руку сам себе. Кроме того, такие коды, как, например, числа 68 и 86, означают одно и то же рукопожатие, а значит, учитывать надо только одно из них.

Договоримся, что из чисел, кодирующих одно и то же рукопожатие, мы всегда будем учитывать меньшее. Поэтому из чисел 68 и 86 надо выбрать 68.

Коды рукопожатий естественно выписывать в порядке возрастания. Для подсчета их удобно расположить треугольником.

Число кодов равно: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28. Таким образом, всего было сделано 28 рукопожатий. (слайд 12-13)

Задача 5. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?

Решение:

В итоге получаем 6 вариантов при учете, что мы делаем различие между МС и СМ и другими аналогичными парами. Но, если смотреть на то, что три из них эквивалентны трем другим парам (МС – СМ, МК – КМ, СК – КС), то получаем, что различных вариантов только три. (слайд 14)

Задача 6. В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

Решение: Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 23 деталей вынуть две, т.е. числу сочетаний из 23 элементов по 2:

Число благоприятных исходов

Следовательно, искомая вероятность

 (слайд 15)

Задача 7. В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым)?

Решение: Всего в ящике лежит N=4+10+8+9=31 шар.

Вероятность вытащить красный шар

Вероятность вытащить зеленый шар

Вероятность вытащить коричневый шар

Т.к. эти три события несовместны, то пользуясь теоремой сложения вероятностей, определим вероятность того, что шар окажется цветным (не белым)

 (слайд 16)

Задача 8. В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ

Решение: Вероятность вытащить знакомый вопрос p=0.75, незнакомый q=1-p=1-0.75=0.25. Пусть H1 – гипотеза, что студент не знает ни одного из 2-х вопросов.

Вероятность этой гипотезы:

Искомая вероятность соответственно равна:

 (слайд 17)

Задача 9. На складе находятся 26 деталей, из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Решение: Извлечение двух деталей равносильно последовательному их извлечению. Обозначим через A – появление стандартной детали при первом извлечении, а через B – при втором. Событие, состоящее в извлечении двух стандартных деталей, является совмещением событий А и B.

Пользуясь теоремой умножения вероятностей, имеем:

 , где

Поскольку после того, как была вынута первая стандартная деталь, на складе осталось 25 деталей, из которых 12 стандартных, то

 , тогда

 (слайд 18)

Задача 10. В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение: Пусть A – событие, состоящее в том, что взятая деталь окажется первого сорта, а H1, H2 и H3 – гипотезы, что она изготовлена соответственно на 1, 2 и 3 станке.

Вероятности этих гипотез соответственно равны:

далее, из условия задачи следует, что:

Используя формулу полной вероятности, получим искомую вероятность

(слайд 19)

Задача 11. В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение: Пусть A – событие, состоящее в том, что взятая деталь окажется первого сорта, а H1, H2 и H3 – гипотезы, что она изготовлена соответственно на 1, 2 и 3 станке.

Вероятности этих гипотез соответственно равны:

далее, из условия задачи следует, что:

Используя формулу полной вероятности, получим искомую вероятность

 (слайд 20)

IV. Итог урока.

V. Домашнее задание.

Подобрать различные типы задач из открытого банка заданий ЕГЭ по математике и обосновать их решение.