Урок математики по теме "Решение целых уравнений". 9-й класс

Образовательные: учащиеся должны знать понятия целого уравнения, степени уравнения, способы разложения на множители, уметь решать уравнения способом разложения на множители.

Развивающие: развитие логического мышления, умения обобщать, делать выводы; развитие внимания, памяти, овладение основными общенаучными методами познания (анализ, синтез)

Воспитательные: формирование научного мировоззрения, интереса к математике, к истории математики, воспитание эстетического вкуса, самостоятельности, активности, развитие культуры речи.

I. Организационное начало. Приветствие. Посадка.

– Открыть тетради. Записать число, “Классная работа”, Тема: Решение целых уравнений.

Д. Кардано.

Упражнения для устных заданий Ключ для отгадки слов

1. Выписать в тетрадь номера тех уравнений, которые являются целыми (спросить 4-5 человек выборочно)
2. Дать определение целого уравнения.
3. Определить степень целых уравнений (учитель указкой показывает уравнение, учащиеся одновременно показывают на пальцах степень этого уравнения)
4. Что называется степенью уравнения? (учащиеся дают определение)

III. Решение квадратных и линейных уравнений (повторение способов их решений – задание по рядам)

С помощью таблицы (ключа к разгадке), которая написана на доске, прочитать слова.

1. ДИОФАНТ
2. АЛ-ХОРЕЗМИ
3. ХАЙЯМ

IV. Изучение нового материала и первичное закрепление.

Три ученика делают сообщения об этих математиках.

Диофант жил в третьем веке нашей эры. Он написал труд “Арифметика”. Уцелели только шесть книг оригинала. Общее их число неизвестно. У Диофанта впервые встречается систематическое использование алгебраических символов.
Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное, но не было никаких знаков: минус, плюс, равенство. Диофант первый сделал шаг в этом направлении, Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр. И они первые девять цифр обозначили буквами греческого алфавита с черточкой наверху, следующие десять букв – десятки 10,20,…90. Последняя буква в алфавите не имела числового значения – это сигма концевая. Ею стали обозначать неизвестное число, т.е. по-нашему “х”. Придумал Диофант и два основных приема решения уравнений – перенос неизвестных в одну сторону и приведение подобных слагаемых.

Рассмотрим две задачи Диофанта. (1-ая была высечена на надгробии, 2-ая из его книги “Арифметика”)

Задача № 1

Путник! Здесь прах погребен Диофанта,
И числа поведать могут, о чудо, сколь долг был век его жизни.
Часть шестую его представляло счастливое детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни -
Пухом покрылся тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетье.
Он был осчастливлен рождением прекрасного первенца сына,
Коему рок половину лишь жизни счастливой и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, скольких лет жизни достигнув,
Смерть воспринял Диофант?

Задача №2

Найдите три числа так, чтобы наибольшее превосходило среднее на одну треть наименьшего, среднее было больше наименьшего на одну треть наибольшего, наименьшее на 10 больше одной трети среднего.

На Ближнем Востоке в 7-8 веках новой эры халифы покровительствовали астрономии и математике. Ал-Мамун соорудил в Багдаде “Дом мудрости” с библиотекой и обсерваторией. В это время и написал свой труд математик Мухаммед ибн Муса ал – Хорезми, в котором рассматривал решения уравнений: “Китаб аль-джебр валь мукабала”. На русском языке перевод звучит как “Книга о восстановлении и противоположение”. Слово “аль-джебр” переводчик не стал переводить и написал латинскими буквами “algebr”. С тех пор алгебра – это наука об уравнениях.
5х-9=12-2х
аль-джебр: 5х+2х=12+9
Любопытен факт, что в средние века алгебраистами называли не математиков, а хирургов-костоправов, которые умели делать “аль-джебр”, т.е. восстановление при вывихах и переломах. Об одном таком алгебраисте писал Сервантес в своем романе о Дон-Кихоте. Современные переводчики слово алгебраист переводят как хирург, а в старых изданиях так и было записано – алгебраист.

Омар Хайям жил с 1048 г. по 1123 г. в Северной Персии.
Это был универсальный гений. Большинству людей он известен как поэт, автор блестящих по остроумию и изяществу коротких в 4 строки стихотворений “рубаи”. Вот одно из них:
Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало
Два важных правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем, что попало есть,
И лучше будь один, чем вместе с кем попало.
Он был астрономом, философом, математиком. Но не везло ему с признанием. Обсерватория была закрыта еще при его жизни. Точный, созданный им календарь заменен на старый, традиционный.
В математическом “Трактате о доказательствах алгебры” он рассмотрел все возможные виды уравнений III степени и их геометрические решения.

Лишь спустя 4 века итальянскими учеными Никколо Тарталья и Джероламо Кардано был открыт алгебраический способ решения уравнений III степени. Никколо Тарталья был учителем в г. Верона. Джероламо Кардано – выдающимся врачом, математиком и механиком. Формулы корней очень сложны, а для уравнений V степени и выше формул для корней нет. Норвежец Нильс Хенрик Абель доказал, что с помощью арифметических действий и извлечения корня нельзя получить корни даже такого сравнительно простого уравнения как х⁵+х-1=0. К сожалению, Абель умер от туберкулеза совсем молодым. Ему было всего 26 лет. Но студенты всех университетов мира изучают теоремы Абеля, формулы Абеля. Трагична судьба другого математика – Эвариста Галуа. Он погиб на дуэли в 21 год. Но его исследования в теории уравнений служат основой всей современной алгебры.

Многие уравнения решаются специальными методами. Основные из них это:

Решить разложением на множители:
(на доске)

1.х²-5х=0
2.81х²-25=0
3.х³-2х²=0
4.х³+4х=0
5.х³-3х²-4х=0
6.х(х-1)-8(х-1)=0
7.х⁴+х³-5х²-5х=0
8.(х²+2х)²-(х+1)²=0
9.х³+2х²-3=0
10.(х²-х)²-(3х+8)²=0

Второй способ – введение новой переменной – рассмотрим на следующем уроке.

V. Подведение итогов.

Сегодня мы узнали многое об истории развития алгебры, о способах решения уравнений, повторили способы разложения многочлена на множители. Умение решать уравнения считалось искусством. Ф. Виет не употреблял слово “алгебра”. Он говорил – “аналитическое искусство”. И книга Джероламо Кардано о способах решения уравнений называется “Великое искусство”.

И сегодня на уроке мы прикоснулись к этому “великому искусству”.

(Учитель предлагает учащимся список литературы по истории математики.)

1. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. – М: Наука. 1967.
2. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. М.: Гостехиздат. 1946.
3. Дальма А. Эварист Галуа, революционер и математик. М. Наука. 1984.
4. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М.: Детгиз. 1961.
5. Инфельд Л. Эварист Галуа.– М.: “Молодая гвардия”. 1960.
6. Никифоровский В.А. Из истории алгебры 16-17 веков. М.: Наука. 1979.
7. Оре О. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель. М., Физматгиз, 1961.
8. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. М.: Просвещение. 1990.
9. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука. 1984.
10. Честяков В.Д. Знаменитые задачи древности. М.: Учпедгиз.1963.