“У математиков существует
свой язык – это формулы”.
С. Ковалевская
Учебно-методическое обеспечение:Учебник алгебры 7 кл, авторы -Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
Время занятия:45 минут
Цель урока: Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений.
Задачи урока:
- Познакомить учащихся с формулами сокращённого умножения
- Формировать умение применения данных формул для преобразования выражений
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Форма урока: урок-исследование в ходе эвристической беседы.
Формы обучения: фронтальная работа, индивидуальная работа, групповая работа.
Методы: проблемно-эвристические, репродуктивный.
План урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Подведение итогов.
6. Рефлексия.
7.Домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие учеников, проверка отсутствующих, проверка готовности помещения к уроку.
2. Актуализация знаний
Слово учителя: Мы продолжаем изучать тему “Умножение многочленов”. Ещё в глубокой древности было замечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились формулы сокращенного умножения.
Вопрос: Начнем урок с повторения.Что нужно сделать,что бы умножить многочлен на многочлен?
Ученик: Что бы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена,
Слово учителя:Я предлагаю ученикам выполнить задание:
- (7a-4)(2b-4)
- (3x+8)(2y+4
Ученик: Чтобы (7а-4) умножить на (2b-4) нужно 7a умножить на 2b и на (-4), а так же (-4) умножить на 2b и (-4);
Ученик: Чтобы (3x+8) умножить на (5y+4) нужно 3x умножить на y и на 4, а так же 8 ум-ножить на 5y и 4;
Запись на доске:
- (7a-4)(2b-4) = 144ab – 28a – 8b + 16
- (3x+8)(2y+4) = 6xy + 16y + 12x +32
3. Сообщение темы урока, постановка проблемы.
Слово учителя:Ребята, сегодня мы начинаем знакомиться с формулами сокращенного умножения. Как вы думаете: почему их так называют? Вы не сможете сейчас мне ответить на этот вопрос. Попробуем сделать это в конце урока. Сегодня мы познакомимся с формулами и на следующих уроках будем их применять для преобразования выражений. А вам предстоит сыграть роли “исследователей” и открыть новые формулы .
А теперь откроем тетради, запишем число, классная работа, и тему нашего сегодняшнего урока “Формулы сокращенного умножения”
Объяснение нового материала.
Слово учителя: При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче воспользовавшись формулами сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.
Упростить выражения и проанализировать результат.
Для этого организуется групповая работа.
| (х–у )(х+у ) | x2+ху-ху-y2 | x2- y2 |
| (c+d)(c-d) | c2+ cd - cd - d2 | c2- d2 |
| (4+x)(4-x) | 42+ 4x - 4x - x2 | 16 -x2 |
В результате работы появляется несколько многочленов, которые учащиеся обсуждают и находят общие закономерности
Слово учителя: Внимательно посмотрите на получившиеся выражения. Видите ли вы в них что то общее?
Ученик:Да. Во всех примерах получили квадрат первого выражения минус квадрат второго выражения.
Слово учителя: Правильно. Итак,мы получаем следующее тождество.
Запись на доске:
Открытие № 1( а – b ) ( а + b ) = а2 – b2
Слово учителя:.Данное тождество называется формулой умножение разности двух выражений на их сумму. Это одна из формул сокращенного умножения, запищите ее в тетрадь.
Запись в тетрадях: ( а – b ) ( а + b ) = а2 – b2
Слово учителя: Может быть кто-то сможет сформулировать правило умножение разности двух выражений на их сумму самостоятельно?
Ученик: Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений.
Слово учителя:.Правильно. Пожалуйста, запишите его в тетрадь для лучшего запоминания.
Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений.
Любое равенство в математике употребляется как слева направо (т.е. левая часть равенства заменяется его правой частью), так и справа налево (т.е. правая часть равенства заменяется его левой частью).
Если формулу ( а – b ) ( а + b ) = а2 – b 2 использовать слева направо, то она позволяет заменить произведение (а + b)(а – b) готовым результатом а2 – b 2.Открытие № 2а2 – b 2= ( а – b ) ( а + b )
Для этой формулы в математике есть специальное название — разность квадратов.
Запись в тетрадях: а2 – b 2= ( а – b ) ( а + b )
Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих чисел выражений на их разность.
А теперь мы познакомимся еще с двумя формулами сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений:
Упростить выражения и проанализировать результат
У доски ученики умножают многочлен на многочлен, продолжая работу в группах
| (m+n)(m+n) | m2 + 2mn + n2 | (m + n)2 |
| (8+m)(8+m) | 64 +16m + m2 | (8 + m)2 |
| (a+3)(a+3) | а2 + 6а + 9 | (а + 3)2 |
Слово учителя:
Есть ли что-то общее в условиях и ответах? Давайте проверим результаты ваших преобразований.Ребята, скажите, что общего у всех выражений первого столбца? (второго столбца?) Что явилось результатом умножения? (трехчлен)
Чем является
- 1-й член этого трехчлена? (квадратом первого выражения).
- 2-й член? (удвоенным произведением первого и второго выражений).
- 3-й член? (квадратом второго выражения).
Открытие № 3(а + b)2 = а2 + 2аb + b2
Попробуемсформулировать правилопо квадрату суммы двух выражений
Запись в тетрадях:(а + b)2 = а2 + 2аb + b2
Ученик:Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого слагаемого, плюс удвоенное произведение первого и второго слагаемого, плюс квадрат второго слагаемого.
Слово учителя: Правильно. Мы вывели формулу сокращенного умножения. Пожалуйста, запишите его в тетрадь для лучшего запоминания.
Изменится ли результат, если возвести в квадрат не сумму, а разность двух выражений ? Ребята по группам проделывают ту же работу, что и со второй таблицей, меняя в первом столбике знак “+” меняется на “-”. Какой можно сделать вывод?
Ученик:Меняется знак только у удвоенного произведения и получается другая формула
Запись в тетрадях:(а – b)2 = а2 – 2аb + b2
Слово учителя: Правильно. Это есть формула квадрата разности двух выражений:
Открытие № 4(а – b)2 = а2 – 2аb + b2.
Кто-то сможет сформулировать правило?
Ученик: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого слагаемого, минус удвоенное произведение первого и второго слагаемого, плюс квадрат второго слагаемого.
Слово учителя: И так, мы познакомились с двумя формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.Ваша исследовательская работа закончилась хорошим результатом. Теперь вызнаете четыре формулы сокращенного умножения и успели заметить, что вместо а и b могут стоять любые выражения.
Формулы сокращенного умножения были известны еще вавилонянам около 4000 лет назад.Они не записывали их символами, но применяли при счете.
Так, древние греки могли выполнять в уме
следующие вычисления 
-
и т.д.
4. Закрепление.
Слово учителя: Раскрыть скобки, используя полученные сегодня на уроке формулы и дать словесную формулировку каждой из них.
( а – b ) ( а + b ) = а2 – b 2
а2 – b 2= ( а – b ) ( а + b )
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2
(а – b)2 = а2 – 2аb + b2
Работа у доски.Преобразуйте в многочлен:
1.(p – 8)2 =p2 – 16p + 64
2.(8х +3у)2 = 64х2 + 48ху + 9у2
3. (5x +p)(5x – p) =25x2 - p2
4.(2х + у)2=2х2 + 4ху + у2
5.(7 - а)2=49 - 14а + а2
6. 16с2 – 9 =(4с - 3) (4с + 3)
Скажите, где легче и быстрее вам было работать: перемножая многочлен на многочлен или применяя формулы сокращенного умножения?
И еще – прошу запомнить следующие полезные формулы. Они пригодятся вам в преобразовании выражений.
(а – b)2=(b – a)2
(- а – b)2 =(а + b)2
(- а +b)2 =(а – b)2
5. Итог урока. Рефлексия. Выставление оценок.
Слово учителя: Подведем итоги урока. С какими формулами мы познакомились сегодня на уроке? Ребята, теперь вы можете ответить на вопрос, заданный вам в начале урока: Почему эти формулы называются формулами сокращенного умножения?
Ученик:С помощью этих формул сокращенного умножения результат можно получить, не умножая многочлен на многочлен, а гораздо проще и быстрее, т.е. сокращенно.
Вывод: Формулы сокращенного умножения следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.
6. Рефлексия
1. Какая цель стояла перед вами в начале урока ?
2. Вам было на уроке: легко, обычно, трудно?
3. Довольны ли вы своей работой на уроке?
7. Домашнее задание.