Программа курса по выбору "Научись решать задачи на доказательство". 9-й класс

Пояснительная записка

Известно, что основная функция курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки – выявление направленности личности, ее профессиональных интересов. Большое значение приобретают курсы, расширяющие базовый курс по различным предметам, дающие возможность познакомиться учащимся с интересными, нестандартными вопросами, содержащие элементы, которые могут быть использованы для подготовки школьников к выбору профиля обучения. Важную роль играют предметные курсы, ориентированные на формирование общеучебных умений и навыков.

Предлагаемый курс представляет собой один из возможных вариантов решения проблемы формирования общих учебных умений и навыков посредством математики. В частности, это обобщение (или знакомство, в зависимости от уровня учеников) общих приемов поиска доказательства.

Часто приходиться сталкиваться с ситуацией, когда учащийся заучивает учебный материал без осмысления, набивает себе руку в пользовании определенными алгоритмами и обладает ленью разума, которая мешает ему продумать встретившиеся трудности.

Сильно мешает изучению математики отсутствие привычки внимательно следить за цепочкой логических выводов, критически их осмысливать, замечать отсутствие необходимых для полноты вывода звеньев рассуждений.

Иногда учащиеся не только плохо справляются с отыскиванием этих звеньев, но и не видят надобности в самом доказательстве.

Решение задач и доказательство теорем – творческий процесс. Этому можно и нужно учить. А обучение, по концепции развивающего обучения, играет решающую роль в развитии ребенка.

Эта концепция утвердилась в ХХ веке благодаря трудам русских ученых Л.С.Выгодского, А.Н.Леонтьева, П.Я.Гальперина, Э.В.Ильенкова, Л.В.Занкова и др. Следует отметить известных методистов: В.М.Брадиса, В.В.Репьева, М.В.Потоцкого и др., которые постоянно подчеркивали, что хорошее усвоение материала обеспечивается не многократным и неизменным повторением, заучиванием, а активной работой над ним. В.В.Репьев, в частности, советовал привлекать учащихся к самостоятельному “переоткрытию” новых знаний.

Участие школьников в самостоятельном конструировании доказательств сопряжено с возникновением разного рода ошибок, а у большинства вызывает непреодолимые трудности.

Выясняя причину этих трудностей, можно сделать вывод, что изучение теории, в том числе и теорем, носит формальный характер, в основном изучение сводится к заучиванию готовых формулировок и доказательств. Еще одной причиной является слабо сформированные учебно-интеллектуальные умения: умение анализировать, сравнивать, систематизировать, выделять главное, устанавливать причинно – следственные связи и другие.

Курс составлен для учащихся 9-го класса, рассчитан на 14 часов, является предметно-ориентированным, разработан на основании собственных подходов составителя. Занятия проводятся парами.

Курс может быть предназначен для учащихся разных уровней: как для детей с низкими интеллектуальными способностями, так и для математически одаренных. Это зависит от содержания и уровня предлагаемых ученикам задач: от элементарных до задач олимпиадного характера.

В содержание курса входит начальная диагностика и конечный мониторинг, который и будет служить одним из способов проверки эффективности данного курса. Рассматриваются общие приемы поиска доказательства.

Содержание этого курса обусловлено тем, что в школьном курсе нет четкого разделения методов, в том смысле, что авторы школьных учебников не дают напрямую схему какого – либо метода. Большинство учебников построено так, что при решении определенного рода заданий используется по сути один метод, наиболее удобный. Недостаток такого подхода состоит в том, что учащийся, столкнувшись с задачей подобного рода, решает её этим методом, а если ответ получить не удается, попадает в тупик.

В течение всего периода изучения курса учащиеся будут обобщать известные методы поиска доказательства, “получать” новые и применять их для решения задач не только в рамках курса, но и на уроках математики и других, поскольку эти приемы носят общий характер.

К концу изучения у них будут накоплены памятки, разработанные в ходе курса самостоятельно или под руководством учителя.

Основной целью курса является обучение приемам учебной деятельности по поиску доказательства при решении задач.

Задачи курса:

• Изучить состояние проблемы у учеников, пришедших на курс.
• Выделить направления работы в зависимости от полученных результатов.
• Обобщить известные приемы поиска доказательства и изучить новые.
• Добиться четкого понимания каждого приема.
• Научить применять выделенные приемы при решении задач.
• Научить выбирать оптимальный при решении конкретной задачи.
• Развивать качества, свойственные математической деятельности: ясность и точность мысли, критичность, интуиция, способность к преодолению трудности.
• Развивать навыки контроля и оценки своей деятельности, умения совместной деятельности.
• Способствовать осознанному определению сферы своих интересов и возможностей.

Основными принципами организации занятий являются:

• Создание ситуации успеха для учащихся любого уровня развития.
• Применение деятельностно-ориентированных технологий.

Поскольку курс посвящен обучению поиску доказательства при решении задач, то основным видом деятельности является решение задач самостоятельно или под руководством учителя, потому что научиться решать задачи можно лишь, решая их.

Учебно-тематический план

Содержание тем учебного курса (Приложение 1)

Вводное занятие (1 час).

Понятие задачи. Виды задач. Условия и требования задачи. Понятие задач на доказательство и способы их решения. Построение чертежа к задаче и способы оформления ее решения. Необходимость доказательства. Разгадывание (повторение) математических софизмов. Зрительные иллюзии. Возможные и невозможные объекты. Работа с памяткой “Как доказывать теорему и решать задачу”. Приложение 4.

Диагностика (1 час) (Приложение 2, Приложение 3).

Решение геометрических задач, одна из которых на вычисление, другая – на доказательство, которая решается методом нисходящего анализа. Анкета для учащихся.

Индукция и дедукция (2 часа).

Понятие индукции. Виды индукции: неполная и полная. Использование неполной и полной математической индукции. Математические утверждения, доказываемые на уроке в форме индукции. Примеры теорем из используемого учебника геометрии, в доказательстве которых используются эти методы. Понятие дедукции. Приемы дедуктивного доказательства. Решение задач методом полной математической индукции.

Анализ и синтез (2 часа).

Понятия анализа и синтеза. Примеры использования анализа при решении задач. Анализ в форме расчленения. Составление общей схемы анализа в форме расчленения и решение задач с ее помощью.

Восходящий анализ (2 часа).

Понятие восходящего анализа. Общая схема восходящего анализа. Восходящий анализ как аналитико-синтетический метод. Совместное выведение схемы “Чтобы доказать, достаточно доказать…”. Решение задач методом восходящего анализа при помощи этой схемы.

Нисходящий анализ (3 часа).

1 час – Понятие нисходящего анализа. Отличие от восходящего анализа. Решение задач методом нисходящего анализа самостоятельно и под руководством учителя (по уровням обучаемости).

2 час – Составление общей схемы нисходящего анализа. Необходимость проверки обратимости рассуждений при решении задач этим методом (на примере задач).

3 час – Решение задач методом восходящего анализа при помощи схемы.

Приложение 5. Приложение 6. Приложение 7. Приложение 8.

Решение задач (3 часа).

1 час – Обобщение приемов решения задач на доказательство, рассмотренных в рамках курса. Решение задачи разными способами. (Примеры олимпиадных задач). Приложение 9. Приложение 10.

2-3 час – Математический бой (деловая игра, математический футбол, тяжеловесы, др.), посвященный решению задач. Решение задач на все методы, рассмотренные в рамках курса. Этому уроку предшествует подготовительная работа: ученики делятся на 3 (4) группы и под руководством учителя подбирают задачи для боя. Во время занятия группы сохраняются.

Итоговое занятие. Мониторинг. (1 час)

Решение задач (контрольная работа, релейная контрольная работа). Запись производится под копировальную бумагу. Самопроверка по готовым решениям.

Подведение итогов. Рефлексия.

Формы организации познавательной деятельности во время курса дифференцируются: ученики 3 уровня обучаемости преимущественно работают индивидуально, помощь учителя минимальна; ученики 2 уровня – индивидуально, в парах, в группе, помощь учителя по необходимости; ученики 1 уровня – в парах и группе, помощь учителя максимальна. Во время повторения, частично объяснения нового материала – фронтальная работа.

Форма контроля во время проведения курса: проверка тетрадей; опрос (тихий опрос, взаимоопрос, щадящий опрос); контрольная работа (дифференцированная: релейная и обычная в зависимости от уровня обучаемости каждого ученика).

Требования к уровню освоения содержания курса

Учащиеся должны:

• Знать ключевые понятия, используемые в рамках курса.
• Знать общие приемы поиска доказательства при решении задач.
• Уметь распознать прием, необходимый для решения данной задачи.
• Уметь пользоваться описанными приемами при решении задач.

Вопросы контроля: ключевые понятия в рамках курса; составленные схемы по методам решения задач; задачи, подобранные для математического боя; выбор приема решения задачи во время игры и итогового контроля, умение довести решение задачи до конца.

Критерии определения усвоения учащимися содержания курса:

Ученик 1 (репродуктивного) уровня обучаемости воспроизводит основные понятия, умеет решать задачи аналитико-синтетическим методом, сводящиеся к 2-3 умозаключениям.

Ученик 2 (конструктивного) уровня обучаемости воспроизводит основные понятия, приводит примеры, умеет с помощью схем решать задачи повышенного уровня сложности методом индукции, аналитико-синтетическим методом и несложные задачи методом нисходящего анализа.

Ученик 3 (творческого) уровня обучаемости воспроизводит основные понятия, приводит примеры, умеет распознавать прием и решать задачи высокого уровня сложности, а также олимпиадные задачи методом индукции, аналитико-синтетическим методом и методом нисходящего анализа.

Оценивание курса: в конце курса ученики получают зачет. Возможная форма оценивания в баллах. Для поддержания положительной мотивации и интереса каждый ученик получает баллы, которые суммируются в течение всего курса. Для корректности число баллов можно не озвучивать, поскольку при разном уровне подготовленности учащихся оно заведомо будет разным. Если уровень развития учеников примерно одинаковый, озвучивание будет дополнительным стимулом.

На последнем занятии подводятся итоги, чествуются ученики, набравшие большее число баллов, им дается рекомендация для изучения математики на профильном уровне.

Баллы могут присваиваться за: решение несложной задачи – 1 балл, решение задачи повышенного уровня сложности – 3 балла, решение задачи высокого уровня сложности – 5 баллов, решение олимпиадной задачи – 7 баллов, полезная идея при решении задачи фронтально – 1 балл, подбор и решение задачи для математического боя в зависимости от уровня сложности от 1 до 7 баллов, воспроизведение формулировок – 1 балл, приведение примеров – 2 балла, составление схемы от 1 до 5 баллов и др. Перед математическим боем с учащимися дополнительно обговаривается, кто, за что и сколько баллов будет получать.

Данная разбалловка носит примерный характер. Во время проведения курса она может претерпеть изменения.

Литература для учителя

1. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. Пособие для учащихся 9 и 10 кл. – М.: Просвещение, 1979. – 128 с.
2. Груденов Я.И. Совершенствование работы учителя математики: кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.
3. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: формирование приемов учебной деятельности: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 128 с.
4. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи: Пособие для учащихся VII – VIII Кл. – М.: Просвещение, 1980 – 96 с.
5. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – 2-е издание, доработанное. – М.: Просвещение, 2005. – 255 с.
6. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. Для учащихся ст. классов сред. шк. – 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.

Литература для ученика

1. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. Пособие для учащихся 9 и 10 кл. – М.: Просвещение, 1979. – 128 с.
2. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи: Пособие для учащихся VII – VIII Кл. – М.: Просвещение, 1980 – 96 с.
3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. Для учащихся ст. классов сред. шк. – 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1989. – 192 с.