Цели:
- Обобщить изученный материал, проверить степень усвоения темы, закрепить формулы арифметической и геометрической прогрессий в практической работе.
- Развивать логическое мышление, память, внимание, самостоятельность.
- Ознакомить учащихся с историческим материалом.
- Воспитать ответственность, инициативность.
Плакат к уроку: “Прогрессио – движение вперед”.
Действующие лица: учитель – ведущий, учащиеся 9 класса, мудрецы Архимед, Гаусс, Магницкий, царь Шерам, изобретатель Сета, двое слуг.
Ход урока
I. Организационный момент. Ученики рассаживаются по группам: 1, 2 – слабоуспевающие учащиеся, 3, 4 – ударники, 5 – сильные ученики.
II. Мотивация.
(За столом трое мудрецов: Архимед, Гаусс, Магницкий.)
Учитель:
Закончился 20-й век
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря,
Строенье звезд и вся земля,
Но математиков зовет
Известный лозунг:
“Прогрессио – движение вперед”!
III. Актуализация знаний.
Сегодня у нас в классе состоится совет мудрецов, за столом сидят три мудреца, узнаёте ли вы их?
Архимед (287 – 212 до н.э.):
Кто формулы суммы нашел?
И верной дорогой к прогрессу пришел?
Математик и физик, я – Архимед.
О жизни моей ходит много легенд.
Гаусс (1777–1855 г.): О! я Гаусс Карл! Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от единицы до ста, будучи еще учеником начальной школы.
Магницкий (1669–1739 г.):Господа! Имею честь представиться. Я, Леонтий Филиппович Магницкий, – первый Российский арифметик и геометр, первый учитель в и геометрии, создатель первого учебника “Арифметика”, где такое пожелание:
“И желаем да будет сей труд
Добре пользовать русский весь люд”.
Учитель: Скажите ребята, почему эти ученые вдруг собрались вместе за одним столом? Какой вопрос математики объединил их? Если вы не догадываетесь, то внимательно посмотрите сценку.
(В классе появляется индусский царь с двумя слугами.)
Царь: Я индусский царь Шерам, научился играть в шахматы и восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений. Слуги, позовите изобретателя шахмат Сету. Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета: Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
Царь: Простое пшеничное зерно?
Сета: Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать два зерна, за третью – четыре, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать и т.д. до 64 клетки.
Царь Шерам рассмеялся: Невелика цена.
Учитель: О, ребята девятого класса, давайте посоветуемся, стоит ли царю смеяться.
(На доске надпись: 1, 2, 4, 8, 16,…. S64 = ? )
Учащиеся решают: b1 = 1, q = 2, n = 64. S64 = 264 – 1
Учитель: Как велико это число, может нам это объяснят мудрецы ?
Архимед: Наимудрейшие! Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктидой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться.
Гаусс возражает: Математика – это точная наука
(Записывает на доске число 18 446 744 073 709 551 615 и читает: Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать).
Магницкий: Господа, мои современники сказали бы так:
S64
18?5 x1018 . Правда я вам признаюсь, что в
моем учебнике “Арифметика”, изданном более 200 лет назад, по которому целых
полвека учились дети, много задач по теме “Прогрессии”, но иные из них я сам
решал с большим трудом, так как еще не нашел всех формул, связывающих входящие в
них величины.
Учитель обращается к учащимся: Ребята, мы изучили все формулы по теме прогрессии. давайте вспомним их.
IV. Проверка знаний.
Гаусс:
Под скрип пера о лист бумаги,
Заполните сие листы!
Да помогут вам наши начинанья!
(Раздаются заготовки листов для проверки знаний теории, ученики заполняют таблицу.) Приложение 1.
|
Прогрессии |
||
| Арифметическая | Геометрическая | |
| Определение прогрессии | an+1 = an + d | bn+1 = bnq,
(q
0; q
1) |
| Формула n-го члена прогрессии | an = a1 + d(n – 1) | bn = b1qn-1 |
| Формула суммы n первых членов прогрессии |
 |
 |
| Свойства |
 |
 |
После того как будут собраны заполненные таблицы учитель открывает плакат с формулами.
Учащимися проводится взаимопроверка
Гаусс: Зная эти формулы, можно решить много интересных задач. Если вы, ребята, справитесь с их решением верно, узнаете мое любимое изречение.
Ученики работают в 5 группах по вариантам.
Приложение 2. Для слабых учащихся: Вариант 1 (6 заданий), Вариант 2 (10 заданий), для ударников: вариант 3, 4 по 10 заданий, для сильных учеников: вариант 5(10 заданий).
Вариант 1.
1. Найдите 17-й член арифметической прогрессии, если a1 = 2 , d = 3 (50)
2. Найдите сумму первых 17 – ти членов этой прогрессии.(442)
3. (an) – арифметическая прогрессия, a3 = 11, a5 = 19. Найдите a4. (15)
4. Выпишите первые четыре члена геометрической прогрессии (bn), если
b1 = 6, q =2 , Укажите наибольшее из них. (48)
5. Дана геометрическая прогрессия (bn),
b1 = -4, q =
.
Найдите b3. (-1)
6. Найдите S3 (– 7)
| а | ц | р | а | ц | и |
| – 7 | 50 | 15 | 442 | – 1 | 48 |
Слово: царица
Вариант 2.
1. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (an), если: a1 = 7, d = 3. (22)
2. Найдите 15-й член арифметической прогрессии, если a1 = 3, d = 4; (59)
3. Найдите разность арифметической прогрессии:
; -1; (-1.)
4. Найдите сумму первых 15-ти членов арифметической прогрессии если a1 = 3, d = 4; (465)
5. (an) – арифметическая прогрессия, a6 = 21, a8 = 25. Найдите (23)
6. Выпишите первые четыре члена геометрической прогрессии (bn), если b1 = 5, q = 4. (320)
7. Дана геометрическая прогрессия (bn),
b1 = -20, q =
.
Найдите b4. (2,5)
8. Найдите S4 этой прогрессии; (-9)
9. Геометрическая прогрессия (bn),
состоит из трех членов: 7, у,
.
Найдите у; (1)
10. Между числами 2 и 162 вставьте число, которое вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию; (18)
| ц | а | а | и | к | н | р | у | ц | а |
| 23 | – 9 | 59 | 465 | 18 | – 2, 5 | – 1
|
1 | 22 | 320 |
Слова: царица наук.
Вариант 3.
1. Найдите 23 – й член арифметической прогрессии, если a1 = -18, a2 = -15, (48)
2. Найдите сумму первых 23-х членов этой прогрессии; (345)
3. (an) – арифметическая прогрессия, a3 = 11, a5 = 19. Найдите; (15)
4. Найдите S10 этой прогрессии; (210)
5. Дана геометрическая прогрессия (bn),
b1 = -32, q =
.
Найдите b5; (-2)
6. Найдите S5 этой прогрессии; (-62)
7. Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 20 %. Каким станет вклад через 4 года, если вначале он был равен 900 рублей? (6697, 44)
8. Назовите третье треугольное число; (6)
9. Между числами – 2 и 250 вставьте такие два числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию; (10, -50)
| а | е | и | к | м | а | т | р | и | ф |
| -50 | -62 | 15 | 10 | -2 | 48 | 6697,44 | 345 | 6 | 210 |
Слово: арифметика.
Вариант 4.
1. Найдите 20-й член арифметической прогрессии, если a5 = 56, a2 = 53; (– 1)
2. Найдите сумму первых 20 – х членов этой прогрессии; (550)
3. (an) – арифметическая прогрессия, a4 = 47, a6 = 41. Найдите; (44)
4. Найдите S10 этой прогрессии; 425.
5. Дана геометрическая прогрессия (bn),
b1 = -32, q =
.
Найдите b6; (1)
6. Найдите S4 этой прогрессии; (-60)
7. Срочный вклад, положенный в банк, ежегодно увеличивается на 10 %. Каким станет вклад через 4 года, если вначале он был равен 800 рублей? (4883, 68)
8. Назовите третье пятиугольное число; (12)
Между числами 13 и 351 вставьте такие два числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию; (39, 117)
| а | е | и | к | м | т | а | у | т | а |
| 117 | 425 | 12 | 39 | -1 | 4883,68 | 550 | 4754 | 44 | -60 |
Слово: математика.
Вариант 5.
1. Найдите 21-й член арифметической прогрессии: 5,6; 4,3; …(-20,4)
2. Между числами 5 и 1 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию. Найдите разность этой прогрессии; (– 0,5)
3. Назовите пятое пятиугольное число; (35)
4. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с 15-го члена по 30-й включительно, если первый член равен 10, а разность 3; (1192)
5. Дана геометрическая прогрессия (bn), b4 = -2, b7 = 16. Найдите b1; (0,25)
6. Геометрическая прогрессия (xn)
состоит из четырех членов: 2; а; с;
.
Найдите а, с; (1;
.)
7. В геометрической прогрессии (xn)
q = -,
n = 6, Sn = 20
. Найдите x1,
xn); (27,
)
8. Сумму первых n
членов геометрической прогрессии (xn)
можно найти по формуле Sn =
(5n
– 1). Найдите q; (5)
| и | а | е | и | к | м | м | а | т | т |
| 5 | -0,5 | 1192 | 27 |
|
– 20,4 | 0,25 | 1 | 35 | 0,5 |
Слово: математика.
Гаусс:
Изрядно потрудившись, собрали вы слова.
И поиск их был нами оценен,
Слова же следует теперь соединить
В какую фразу можно их объединить?
Вариант 4 слово: математика.
Вариант 2 слова: царица наук.
Вариант 3 слово: арифметика.
Вариант 1 слово: царица.
Вариант 5 слово: математики.
“Математика царица наук, арифметика – царица математики”.
IV. Рефлексия
Учитель:
О, мудрецы времен!
Дружней вас не сыскать.
Совет сегодня завершен,
Но каждый должен знать:
Признание упорство труд
К прогрессу в жизни приведут.
V. Литература.
- Л.Ф.Пичурин. За страницами учебника алгебры.
- Я.И.Перельман. Занимательная алгебра.
- Приложение к 1 сентября. Математика № 26.