Цели урока:
- Образовательная: ввести понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса; формировать умения решать задачи на нахождение элементов конуса.
- Развивающая: развивать грамотную математическую речь, логическое мышление.
- Воспитательная: воспитывать познавательную активность, культуру общения, культуры диалога.
Форма урока: урок формирования новых знаний и умений.
Форма учебной деятельности: коллективная форма работы.
Методы, используемые на уроке: объяснительно-иллюстративный, продуктивный.
Дидактический материал: тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка, доска, мел и цветные мелки, проектор и презентация «Конус. Основные понятия. Площадь поверхности конуса».
План урока:
- Организационный момент (1 мин).
- Подготовительный этап (мотивация) (5 мин).
- Изучение нового материала (15 мин).
- Решение задач на нахождение элементов конуса (15 мин).
- Подведение итогов урока (2 мин).
- Задание на дом (2 мин).
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Цель: подготовить к усвоению нового материала.
2. Подготовительный этап
Форма: устная работа.
Цель: знакомство с новым телом вращения.
Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”.
Встречаются тела в форме конуса. Их можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой, так же в детских игрушках (пирамидка, хлопушка и др.), в природе (ель, горы, вулканы, смерчи).
(Используются Слайды 1-7)
Деятельность учителя | Деятельность ученика |
3. Объяснение нового материала Цель: ввести новые понятия и свойства конуса. |
|
1. Конус может быть получен вращением
прямоугольного треугольника вокруг одного из
его катетов. (Слайд 8) Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем окружность с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P (учитель поэтапно строит конус). Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими конической поверхности. |
В тетрадях строят конус. |
(диктует определение) (Слайд 9) Тело, ограниченной конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. | Записывают определение. |
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса. Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса. | На чертеже подписывают элементы конуса. |
Назовите две образующие конуса и сравните их? | PA и PB, они равны. |
Почему образующие равны? | Проекции наклонных равны как радиусы окружности, значит и сами образующие равны. |
Запишите в тетради: свойства конуса: | (Слайд 10) |
1. Все образующие конуса равны. Назовите
углы наклона образующих к основанию? Сравните их. |
Углы: PСО, PDO. Они равны. |
2. Углы наклона образующих к основанию
равны. Назовите углы между осью и
образующими? |
СРО и DPO |
3. Углы между осью и образующими равны. Назовите
углы между осью и основанием? |
POC и POD. |
4. Углы между осью и основанием прямые. Мы будем рассматривать только прямой конус. |
|
2. Рассмотрим сечение конуса различными
плоскостями. Что представляет собой секущая плоскость, проходящая через ось конуса? |
Треугольник. |
Какой это треугольник? | Он равнобедренный. |
Почему? | Две его стороны являются образующими, а они равны. |
Что представляет собой основание данного треугольника? | Диаметр основания конуса. |
Такое сечение называется осевым. (Слайд
11) Начертите в тетрадях и подпишите это
сечение. Что представляет собой секущая плоскость, перпендикулярная оси OP конуса? |
Круг. |
Где расположен центр этого круга? | На оси конуса. |
Это сечение называется круговым
сечением.(Сдайл 12) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Существуют и другие виды сечений конуса, которые не являются осевыми и не параллельны основанию конуса. Рассмотрим их на примерах. (Слайд 13) |
Чертят в тетрадях. |
3. Теперь выведем формулу полной
поверхности конуса. (Слайд 14) Для этого боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. |
|
Что является разверткой боковой поверхности конуса? (чертит на доске) | Круговой сектор. |
Что является радиусом этого сектора? | Образующая конуса. |
А длина дуги сектора? | Длина окружности. |
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. (Слайд 15) | , где – градусная мера дуги. |
Чему равна площадь кругового сектора? | |
Значит, чему равна площадь боковой
поверхности конуса? Выразим через и . (Слайд 16) |
|
С другой стороны эта же дуга
представляет собой длину окружности основания
конуса. Чему она равна? Откуда . |
|
Подставляя в
формулу боковой поверхности конуса получим, . Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. . Запишите эти формулы. |
Записывают: , . |
4. Название: Решение задач на нахождение элементов конуса. | |
№ 547. (решаем у доски). (Слайд 17) | Дано: см, см. Найти: . Решение: – прямоугольный. , , |
№ 548 (а) (Слайд 18) | Дано: см, Найти: . Решение: – прямоугольный. Т.к. , то PO = 6 см. , , см, , см2. Ответ: см2 |
№ 549(а) (Слайд 19) | Дано: , h
= 8 дм. Найти: РО1 Решение:
=> => . дм. Ответ: дм. |
№ 550 (Слайд 20) | Дано: конус, –
прямоугольный, см. Найти: . Решение: – равнобедренный (PA = PB как образующие) => углы при основании равны 450; – прямоугольный, => , т.е. PO = AO = 5 см; , см2. Ответ: 25 см2. |
5. Подведение итогов урока | |
Решите задачу устно: дано: R = 3, H = 4. Найти: L. Итак, мы с вами познакомились с понятием конуса, его элементов и научились решать задачи на нахождение элементов конуса. Вопрос о конусе важен, так как конические детали имеются во многих машинах и механизмах, носовая часть самолетов и ракет имеет коническую форму. |
(Слайд 21) L = 5 |
6. Домашнее задание. П.55, 56, № 548(б), 549(б). (Слайд 22)