Цель: сформировать представления учащихся о применении определённого интеграла к решению прикладных задач.
Рассмотреть примеры применения определенного интеграла к решению прикладных задач, а именно:
- нахождения перемещения точки за поданный промежуток времени;
- вычисления работы, которую нужно выполнить для перемещения тела из одной точки в другую;
- вычисления массы неоднородного стержня, если известно, как изменяется его линейная плотность;
- вычисления величины заряда, переносимого за определенный промежуток через сечение проводника.
Работать над формированием умений учащихся применять определённый интеграл к решению прикладных задач.
Тип урока: усвоение знаний, формирование умений.
Ход урока
I. Организационный этап
Проверка готовности учащихся к уроку, настрой на работу.
II. Проверка домашнего задания
Выборочно проверяем тетради у учащихся, нуждающихся в дополнительном педагогическом внимании.
Проверку правильности выполнения упражнений домашнего затенения осуществляем по образцам, заранее записанными на доске учителем или отдельными учащимися.
III. Формулировка цели и задач урока.
Символ интеграла введен с 1675 г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696 г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку.
Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений.
Поэтому, сегодня на уроке мы рассмотрим применение интеграла в физике.
Давайте вспомним, какие примеры применения интеграла нам известны? (Вычисления площадей плоских фигур и объемов тел).
В этих случаях величины, которые находят, можно рассматривать как функции отрезка.
Сообщаем, что существуют физические величины, которые можно рассматривать как функции отрезка. Например, перемещение вычисляют в зависимости от отрезка времени движения, работа силы при движении тела по прямой зависит от пройденного отрезка пути, электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, зависит от отрезка времени, за которое проводится измерения т.п. Эти и другие величины можно вычислить с помощью определенного интеграла.
Следовательно, задача урока - рассмотреть примеры применения определенного интеграла к вычислению величин.
IV. Актуализация опорных знаний.
Выполнение устных упражнений
Вычислите интеграл:
;
;
;
;
;
.
V. Изучение материала.
План изучения темы
- Применение определенного интеграла к решению прикладных задач.
- Примеры решения задач с применением определенного интеграла.
Пример 1. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=(3 +3t2)м/с. Найдите путь, который пройдет тело за первые 5с.
Решение. По формуле (1) получаем:
Ответ. 140м.
Применение определенного интеграла к решению прикладных задач.
1. Нахождение перемещения точки за данный
промежуток времени. Предположим, что точка
движется по прямой (по оси Ох) и известна скорость
этой точки. Найдем перемещение s точки за
промежуток времени [t1;t1].
Рассмотрим отрезок времени [t; t+
t] и будем считать скорость на
этом отрезке постоянной. Тогда получим: s(t)=v(t) * t, отсюда: 
.
2. Вычисление работы, которую нужно выполнить
для перемещения тела из одной точки в другую. Пусть
тело движется по оси Ох, в каждой точке которой
приложена некоторая сила F=F(х). Вычислим работу А,
которую необходимо выполнить при перемещения с
точки х1 в точку х2. На малом отрезке
пути от точки х до точки х+х можно считать силу
постоянной, равной F(x). Тогда А(х)=F(x)x. Отсюда получаем, что всю работу на
отрезке [x1;x2] можно записать в виде
интеграла: 
.
3. Вычисление массы неоднородного стержня.
Вычислим массу m неоднородного стержня, если
известно, как меняется его плотность (х). Рассмотрим отрезок
[х; х+?x]. Считая, что на этом отрезке плотность
стержня не изменяется, получим: m(x)=(x)x,
отсюда 
.
Вычисление величины заряда, переносимого за
определенный промежуток времени через сечение
проводника. Вычислим величину q заряда,
переносимого за промежуток времени [t1;t2]
через сечение проводника. Пусть задан закон
изменения тока I=I(t) в зависимости от времени.
Тогда на малом промежутке времени [t;t+t] можно считать силу
тока постоянной, равной I(t), а q=I(t)t. Итак, 
.
Пример 2. Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 м требуется сила 5Н.
Решение. По закону Гука, сила F пропорциональна
растяжению или сжатию пружины, т.е. F=kx, где х –
величина растяжения или сжатия (в метрах), k -
постоянная. Из условия задачи находим k.
Поскольку при х=0,01м сила F=5Н, то 
. Итак, F(x)=500x. тогда
по формуле (2): 
.
Ответ. 0,9Дж.
Изложение нового материала проводим в зависимости от уровня умственной активности и математической подготовленности учащихся. Если уровень умственной активности учащихся не достаточно высок, то рассматриваем только некоторые примеры решения задач с помощью определенных интегралов. В противном случае не только приводим примеры применения интеграла к решению практических задач, но и объясняем, какие именно величины можно вычислять с помощью определенного интеграла. Проводим беседу, в ходе которой добиваемся понимания, что для вычисления величин с помощью интеграла необходимо знать скорость изменения этих величин. Так, скоростью изменения перемещения (или расстояния) обычная скорость. Скоростью изменения работы зависимости от времени является мощностью, а в зависимости от перемещения – силой. Скорость изменения массы тела – это его плотность. Если первоначальный размер задан в виде некоторой функции, то ее скорость находим как производную этой функции. Интеграл применяют тогда, когда известна скорость изменения начальной величины. Если искомую величину представить в виде прироста некоторой функции F, то f является производной F и соответственно F – первоначальной для f. Если искомая величина является приростом первоначальной для функции f или интегралом от функции f.
Приводим схему применения интеграла:
1) записываем скорость изменения искомой
величины с помощью дифференциалов: dF=f(t)dt (или F=f(t)t);
2) переписываем значение F в виде интеграла: 
;
3) вычисляем интеграл известными способами.
VI. формирование умений
Выполнение устных упражнений
Скорость движения тела задано уравнением v(t)=2t-3(м/с). Найдите расстояние, которое преодолело тело за первые 5с.
Линейная плотность неоднородного стержня изменяется по закону р(l)=8l+1(кг/м). Найдите массу стержня, если его длина равна 50см.
Выполнение письменных упражнений
Тело движется прямолинейно со скоростью v(t) (м/с). Вычислите путь, который пройдет тело за промежуток времени от t=t1 до t=t2, если:
1) v(t)=3t2+1, t1=0, t2=4;
2) v(t)=2t2+t, t1=1, t2=3.
Скорость движения тела в момент времени t(с) задано формулой v=15-3t (м/с). Какой путь преодолеет тело от начала движения до полной остановки?
Какую работу нужно выполнить для сжатия пружины на 4 см, если известно, что сила 2Н сжимает эту пружину на 1см?
Вычислите величину заряда , переносимого через поперечное сечение проводника за 20с , если сила тока изменяется по законом I(t)=2t+1(А).
Дополнительные упражнения
1. Вычислите работу, которую необходимо выполнить, чтобы откачать воду из цилиндрической цистерны, радиус которой равен R, а высота – Н.
2. Тело массой 2 кг движется прямолинейно под действием силы F(t)=12t-8(Н). Найдите закон его движения, если в момент времени t=3с скорость тела равна 10м/с, а координата 21м.
VII. Итоги урока.
Контрольный вопрос
Приведите примеры применения определенного интеграла к решению прикладных задач.
VIII. домашнее задание.
Изучить теоретический материал.
Выполнить упражнения.
Скорость движения тела задано уравнением v(t)=1+6t2 (м / с). Найдите расстояние, которое преодолело тело:
1) за первые 10 с
2) за третью секунду.
Сила 4Н растягивает пружину на 8 см. Какую работу нужно исполнить, чтобы растянуть пружину на 8 см?
Линейная плотность неоднородного стержня меняется по закону p(l)=32l+2(кг/м). Найдите массу стержня, если его длин на равна 25 см.