Функции и их свойства

Тип урока: урок “открытия” нового знания.

Цели урока

• знакомство с понятием функции и ее свойств;
• совершенствование навыков чтения графиков;
• развитие интереса к предмету.

Задачи урока

обучающие:

• научить по графику функции находить область определения и область значения функции;
• находить область определения и область значения функции, заданной формулой;

развивающие:

• развивать интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
• вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

воспитательные:

• воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества;
• формировать эмоциональную культуру и культуру общения,
• воспитывать чувство дружественной атмосферы в классе и умение работать самостоятельно.

В ходе урока учащиеся:

• развивают умения грамотно описывать основные свойства функции;
• приобретают знания о происхождении функций.

Необходимое оборудование и материалы:

• компьютер;
• экран;
• мультимедийный проектор;
• принтер;
• печатные средства (раздаточный материал).

Мотивация учащихся: Вряд ли нужно еще раз доказывать огромное образовательное и воспитательное значение элементов историзма в преподавании математики. Для повышения мотивации учащихся использую продуктивные приемы: систематически и правильно поставленное вкрапление сведений из истории математики способствует лучшему усвоению науки, возбуждает интерес к ней, делает ее не столь “сухой”, какой она кажется многим ученикам. Все это сказывается на отношении учащихся к математике как к учебному предмету, на мотивации их учебной деятельности. 

Ход урока

1. Вступительное слово учителя.

Сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков.

Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности; изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Слайд 1

Можно перечислить еще много примеров и профессий, где необходимо уметь работать с графиками.

Как Вы думаете, что, в первую очередь, необходимо знать, чтобы правильно ответить на те или иные вопросы? Конечно, нужно знать, что такое функция и изучить ее свойства. Мы с вами сегодня будем вести разговор о функции и ее свойствах (учащиеся записывают тему урока) Слайд 2

Слайд 3

В ходе изучения темы мы познакомимся с понятием функции. Свойств у функции много, но все постепенно, сегодня мы остановимся только на первых двух и научимся определять их для функций, заданных графически и формулой, а также совершим увлекательное путешествие в далекое прошлое.

2. Объяснение нового материала.

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

3. Исторический экскурс.

Материал помогали искать и готовить в виде презентации совместно учащиеся 9 классов

Слайд 3

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны.

Чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.

Чем больше животных удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода.

Слайд 4

В древнем Египте с началом строительства гигантских пирамид, понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей, необходимое для возведения дворцов.

В древнем Вавилоне, чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функции y = 1/x.

Слайд 5

Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции явно и вполне сознательно применяется.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей “Геометрии” в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы.

Слайд 6

Само слово “функция” (от латинского functio -совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа”. В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: “функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных”. Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак j (x), называя характеристикой функции, а также буквы x или e ; Лейбниц употреблял x¹, x² вместо современных f₁(x) , f₂(x). Эйлер обозначил через f : y, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).

Слайд 7

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во “Введении в анализ бесконечного”): “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фурье (1768-1830) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.

Слайд 8

Так что же такое функция? Учащиеся знакомятся с определением функции и записывают в тетрадь

Слайд 9

Знакомимся со свойствами функций. Свойств у функции много, но все постепенно, сегодня мы остановимся только на первых двух. Слайд 10-11

Физкультурная минутка Слайд 12

4. Практическая часть урока.