В данной статье я хочу привести методический материал, который использую при проведении обобщающего урока по теме «Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств» с учениками 10 класса.
Цель урока: систематизировать знания о методах решений различных типов указанных уравнений и неравенств, закрепить навыки решения задач.
Ход урока
Показательные уравнения
Пример 1. 4·2x - 2x = 96 (линейное показательное уравнение).
Вводим новую переменную 2x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может принимать отрицательные значения.
4y - y = 96,
3y = 96,
y = 32.
Уравнение 2x = 32 имеет корень x = 5.
Ответ: 5
Пример 2. 5x + 2 / 5x - 3 = 0 (квадратное показательное уравнение).
Вводим новую переменную 5x = у; у > 0, т.к. показательная функция не может
принимать отрицательные значения.
у + 2 / у - 3 = 0,
у2 - 3у + 2 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем корни у1 = 1, у2 = 2.
Уравнение 5x = 1 имеет корень х = 0.
Уравнение 5x = 2 имеет корень х = log52.
Ответ: 0; log52
Показательные неравенства
Пример 1. 5x - 5x+2 ≥ - 120 (линейное показательное неравенство).
5x – 5x · 25 ≥ - 120,
- 24 · 5x ≥ - 120 | : (-24),
5x ≤ 5.
Т.к. 5 > 1, то функция у = 5x является возрастающей.
Таким образом, при х ≤ 1 неравенство является верным.
Ответ: (-∞; 1]
Пример 2. 5x +2 · 5-x – 3 ≤ 0 (квадратное показательное неравенство).
5x + 2/5x - 3 ≤ 0 | · 5x ,
52x +2 – 3 · 5x ≤ 0 .
Вводим новую переменную 5x = у > 0, т.к. показательная функция не может
принимать отрицательные значения.
y2 - 3y +2 ≤ 0 .
Решая квадратное неравенство, получаем 1≤ y ≤ 2 .
Отсюда получим неравенство 1≤ 5x ≤ 2.
Решая его, получаем 0 ≤ х ≤ log52
Ответ: [0; log52]
Логарифмические уравнения
Пример 1. log16x + log4x + log2x= 7 (переход к новому основанию логарифма).
Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем
1/4 log2x+ 1/2 log2x+ log2x= 7.
7/4 log2x= 7,
log2x = 4,
x = 16.
Ответ: 16
Пример 2. lg2x– 3·lg x +2 = 0 (квадратное логарифмическое уравнение).
Вводим новую переменную lg x = у.
Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной y2 - 3y + 2 = 0 .
Решая квадратное уравнение, получаем корни у1 = 1, у2 = 2.
lg x = 1, x1 = 10.
lg x= 2, x2 = 100.
Ответ: 10; 100
Пример 3. log2(x2 - 3x) = log2 (х - 3) (потенцирование логарифмических уравнений).
Потенцируя уравнение, получаем x2 - 3x = х - 3 .
x2- 4x + 3 = 0.
Решая квадратное уравнение, получаем корни х1 = 1, х2 = 3 .
При потенцировании логарифмического уравнение возможно появление посторонних корней, поэтому необходима проверка.
Проверка:
1) подставляя х = 1 в исходное уравнение, получаем log2(- 2).
Это выражение не имеет смысла, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента. Поэтому x1 не является корнем заданного уравнения.
2) подставляя х = 3 в исходное уравнение, получаем log2(0).
Это выражение также не имеет смысла, поэтому x2 не является корнем заданного уравнения.
Ответ: решений нет
Логарифмические неравенства
Пример 1. lg2x– lgx – 2 > 0 (квадратное логарифмическое неравенство).
ОДЗ: x > 0, т.к. логарифмическая функция определена при положительном значении аргумента.
Вводим новую переменную lg x = t .
t2 - t – 2 > 0 .
Это квадратное неравенство выполняется при t < -1 и при t > 2 .
Множество всех решений исходного неравенства есть объединение множеств всех решений двух неравенств lgx < -1 и lgx > 2 .
Т.к. логарифмическая функция с основанием 10 определена при х > 0 и возрастает,то первое неравенство имеет решение 0 < x < 0,1, а второе - x > 100.
Ответ: (0; 0,1)U(100; +∞)
Пример 2. log5(3 - 4x) < -1.
ОДЗ: Логарифмическая функция определена при положительных значениях
аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет смысл при 3 - 4x > 0, откуда х < 0,75 .
Т.к. логарифмическая функция с основанием 5 возрастает, то 3 - 4x < 1/5.
Решая данное неравенство, получим х > 0,7.
С учётом области определения неравенства имеем 0,7 < х < 0,75 .
Ответ: (0,7 ; 0,75)