Системы счисления «1+1=10»

Продолжительность: 1 урок (45 минут)

Цели:

Обучающие:

• познакомить с непозиционными и позиционными системами счисления.
• научить классифицировать системы счислений на позиционные и непозиционные;
• выявление применения их в современных сферах деятельности человека.
• привести исторические факты;
• дать представление о различных системах счислений, созданных человечеством за историю своего развития
• научить переводить числа из десятичной системы счисления в любую другую

Развивающие: развивать внимание, умение анализировать.

Воспитательные: воспитывать интерес к информатике через исторические факты.

Тип урока: урок-лекция.

Оборудование: компьютер, проектор.

Программное обеспечение: презентация в PowerPoint по теме урока (Презентация)

(Слайд 2)

Эпиграфом к нашему уроку будут служить слова

“Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир.”
Иоганн Гёте

План (Слайд 4)

1. История возникновения чисел.
2. Арифметика каменного века.
3. Славянская, Египетская, Римская, Греческая, Вавилонская системы счисления.
4. Позиционные системы счисления: Десятичная, Восьмеричная, Шестнадцатеричная, Двоичная
5. Нестандартные способы изучения перевода и арифметических действий над числами.
6. Современное применение древних систем счислений

(Слайд 7-8)

Арифметика каменного века

Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Вначале букв не было. Мысли и слова выражались при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках и узлами на веревках. 
Мысль о счете пришла людям в голову раньше, чем появились цифры. Люди могли сообщить друг другу, что в одном стаде животных больше чем в другом, а вот, сколько именно – сосчитать не умели.

Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров. И уж совсем не обойтись без такой системы счисления при обучении счету маленьких детей

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр) и способов допустимых операций над ними.

Самая простейшая система счисления – унарная, в которой используется всего 1 символ (палочка, узелок, зарубка, камушек и т.д.). (Слайды 9-10)

Виды системы счисления (Слайд 11)

Позиционная система счисления – это система, где количественное значение каждой цифры зависит от ее местоположения (позиции) в числе.

В привычной для нас системе счисления для записи чисел используются десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Поэтому её называют десятичной системой счисления.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

1. Ограниченное количество символов для записи чисел;
2. Простота выполнения арифметических операций.

Основание системы счисления (базис) показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её на соседнюю позицию.

Непозиционная система счисления - система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа.

К непозиционным системам счисления относятся: римская система счисления, алфавитная система счисления и др.

Недостатки непозиционных систем счисления:

1. Для записи больших чисел необходимо вводить новые цифры (буквы).
2. Трудно записывать большие числа.
3. Нельзя записать дробные и отрицательные числа.
4. Нет нуля.
5. Очень сложно выполнять арифметические операции.

Немного из истории

Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Вначале букв не было. Мысли и слова выражались при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках и узлами на веревках. 

Обозначения в различных системах счисления  

Это и была простейшая и самая древняя – так называемая, унарная система. В ней для записи любых чисел используется всего один символ – палочка, узелок, камушек.  Используя именно эту систему счисления, вас научили считать (сами того не осознавая, этим кодом пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст). 

Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало не удобно пользоваться черточками. Тогда стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Так, например, в Древнем Египте около 4000 лет назад для обозначения чисел использовали иероглифы. (Слайд 12-15)

Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Система счисления того периода также уступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число.

Единица изображена колом, десяток – как бы парой рук, сотня – свернутым пальмовым листом, тысяча – цветком лотоса, символом изобилия, сто тысяч – лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила.

Так, например число 5736 записывалось следующим образом:

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради. Например, 1232 руб. 24 коп. изображались так как показано на рисунке. Вот текст закона об этих так называемых ясачных знаках: “Чтобы на каждой квитанции кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в справедливости показания.   Употребляемые в квитанции знаки означают:

Звезда – тысяча рублей

Колесо – сто рублей 

Квадрат – десять рублей

Х         – рубль

|           – копейку.

Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак – “титло”. Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.

Алфавитная система счисления бала распространена у древних армян, грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев, и других народов Ближнего востока.

Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел: 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000.

Числовые значения следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах.

Алфавитная нумерация преобладала до XVIII в., хотя арабская нумерация употреблялась в отдельных случаях гораздо раньше (в грузинской литературе такие случаи восходят к X- XI вв.; в памятниках армянской математической литературы они установлены пока только для XV в.). В Армении алфавитная нумерация употребляется и сейчас для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и т. п. В Грузии алфавитная нумерация вышла из употребления. (Слайд 16)

(Слайд 17)

В современной науке эти цифры-буквы имеют широкое применение в математике и физике. Мы все знаем, что = 3,14..., а не 80, как в древней Греции. (Слайд 18)

Эта система счисления появилась в Древнем Риме. Первые двенадцать натуральных чисел в римской системе записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.

В этой системе цифры обозначаются буквами латинского алфавита:

I = 1 

V = 5 

 X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000 

Примеры записи чисел XXVIII – 28, MCMXXXV – 1935. С этими числами очень трудно производить арифметические действия. По этой причине в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях – на циферблате часов, в ряде других случаев.

Для записи промежуточных чисел используется правило:  меньшие знаки, поставленные справа от большего, но не более трех одинаковых подряд, прибавляются к его значению, а меньшие знаки, поставленный слева от большего, вычитаются из него, при этом невозможно ставить более одного меньшего слева от большего.

В Санкт-Петербурге стоит памятник Петру I. На гранитном постаменте памятника есть римское число: MDCCLXXXII = 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 + 3*10 + 2 = 1782 год. Это год открытия памятника. (Слайд 19) Римскими цифрами иногда пользуются и сегодня: например, ими часто нумеруют главы в книгах.

Вавилонская шестидесятеричная (позиционная). (Слайд 20 - 21)

2 тыс. лет до н.э. Первая система, основанная на позиционном принципе. Сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. До сих пор час делим на 60 минут, минуту – на 60 секунд, окружность – на 360 градусов.

Все числа составлялись из двух знаков: прямой клин (для обозначения единиц) и лежачий клин (для обозначения десятков). Число 60 снова обозначалось прямым клином, также, как и 3600. Для определения значения числа надо было его запись разбить на разряды справа налево. Цифра в каждом послед ующем разряде была в 60 раз больше той же цифры в предыдущем.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислении они пользовались готовыми таблицами умножения.

“С детства мы считать учились – раз, два, три, четыре, пять
Десятичной ту систему мы привыкли называть.
Были палочки и счеты, калькулятор, Пифагор,
А теперь перед глазами – серебристый монитор.
Эта умная машина сможет все нам сосчитать
Ну, а как она считает – предстоит нам разобрать.
Мы считаем в десятичной – два, двенадцать, сто один,
А компьютер лишь в двоичной – либо ноль, либо один”. (Слайд 22)

Алфавит - конечная последовательность символов (цифр), с помощью которых записывается число (Слайд 23)

Алфавит десятичной сс:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Десятичная система счисления (позиционная) (Слайд 24)

Современная десятичная система нумерации возникла на основе индийской. Такая с/с дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись компактна и удобна для арифметических операций. 

В 10 веке десятичная система доходит до Испании, в начале 12 в. она появляется и в других странах Европы. Она получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского.

С введением десятичных дробей десятичная система стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.

Цифры

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

сложились в Индии около 400 г. н. э. (Слайд 25)

Индийская система счисления(Слайд 26)

Восьмиричная система счисления (позиционная) (Слайд 27)

В этой системе счисления 8 цифр:

Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Основание этой системы счисления равно восьми. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в восьмеричной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 8.

Шестнадцатиричная система счисления (позиционная) (Слайд 28)

Как ясно из названия, основанием данной системы счисления является число 16. Следовательно, в данной системе счисления используется 16 цифр. Однако в десятичной системе использовали только 10 цифр. Поэтому возникла необходимость ввести новые цифры. В качестве этих цифр были выбраны латинские буквы

То есть в 16-ричной системе счисления используют числа

При этом

A = 10, B = 11, C = 12, D =13, Е =14, F = 15

Двоичная система счисления (позиционная) (Слайд 29)

Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.).

В этой системе всего две цифры –

Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи

Демонстрация решения задачи, связанной с переводом десятичного числа в двоичную систему счисления пальцевым методом. (Слайд 30)

Смысл перевода прост: нумеруем на одной руке (левой, ладонь к себе)от мизинца до большого пальца разряды от 0 до 4, что соответствует числам в десятичной системе 1, 2, 4, 8, 16. Считая, что 0 - это согнутый палец, а 1 – оттопыренный, при решении задач, связанных с переводом целых чисел в двоичную из десятичной системы счисления требуется лишь сложить эти цифры, соответствующие загнутым пальцам. Данное упражнение, основанное на самом древнем способе- счете на пальцах, подразумевает развёрнутую форму записи числа в двоичной системе счисления. (Две руки можно использовать для перевода целых чисел до 512, так и для перевода дробных конечных чисел, где левая рука – целая часть числа, а правая – дробная). Учитель говорит число в десятичной системе (до 31 или 62), а школьники устно переводят число на пальцах в двоичную систему и записывают ответ. Для больших чисел приводится сам развёрнутый способ перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную с примером.

Перевод из одной системы счисления в другую в игровой форме. (Слайд 31-36)

Игра является методом обучения, который направлен на моделирование реальной действительности с целью принятия решений в моделируемой ситуации, ее основной целью является углубление интереса к учебе, и, тем самым, повышение эффективности обучения. Игра имеет такое же значение в жизни ребенка, какое у взрослого производственная деятельность, работа. внешне кажущаяся беззаботной и легкой, на самом деле, игра требует у ребенка отдачи максимума своей энергии, ума, выдержки, самостоятельности.

С помощью игры “Домино”, где цифры находятся в разных системах счисления и необходимо мысленно произвести их перевод из одной системы в другую, учащиеся успешно закрепляют тему данного урока.

(Все пособия к уроку и к играм выполнены самими учащимися во внеурочное время)

Задание на дом. Изучить текст параграфа по теме урока и выполнить творческие задания:

- Запишите год, месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.

- Запишите в вавилонской системе счисления число 26, 440.

- Запишите с помощью старинной русской системы счисления 4357 рубля 12 копейки.

- Придумайте свою позиционную систему счисления.

Учебники:

1. Семакин И.Г.  Информатика. Базовый курс. 9 класс (2010 год)

2. Семакин И.Г. Задачник-практикум 7-11 класс (2010 год)