Цели курса:

• помочь повысить уровень математической подготовки учащихся при решении уравнений в целых числах;
• сформировать понимание необходимости знаний для развития способностей учащихся;
• развивать интерес к предмету, формировать качества мышления, необходимые человеку для  дальнейшей практической деятельности.

Задачи курса:

• изучить оригинальные приемы решения  уравнений в целых числах;
• продемонстрировать значимость математических методов в решении разнообразных задач;
• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения дальнейшей образовательной перспективы и сформировать твердое убеждение в успешности сдачи экзамена ЕГЭ.

Данный курс рассчитан на 34 часа, предполагает четкое изложение основных вопросов теории, методику решения типовых задач. В программе приводится примерное распределение учебного времени, план занятий. Предложенные задачи различаются по уровню сложности – от простых до конкурсных и олимпиадных. Задачи данного курса надо разбирать с карандашом и бумагой, возможно, даже не один раз.

Основные формы организации учебных занятий – лекция, беседа, семинар. Большой объем дидактического материала дает возможность подбирать задания для учащихся с различной степенью подготовки. Курс можно изменять по усмотрению учителя, добавлять или заменять темы.

Учебно-тематический  план

Рабочая программа

Содержание изучаемого материала

1. Основы теории делимости чисел (15 ч)

Теория чисел является одним из древнейших разделов математики. Она возникла как наука, изучающая свойства натуральных чисел. Понятия натурального числа и арифметических действий над ними являются одними из первых математических абстракций, имеющими важнейшее значение для математики, других наук и всей практической деятельности человечества.

Материал этой главы в значительной степени содержится в курсе алгебры 7-9 классов. Наша цель – повторение, углубление и расширение представлений учащихся о действительных числах.

В первой части рассматриваются  определения и простейшие свойства делимости натуральных чисел, признаки делимости. Особое внимание уделим  операции деления, которая выполнима во множестве натуральных (и целых) чисел далеко не всегда. Без этой операции мы не могли бы сокращать дроби, находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное натуральных чисел, приводить дроби к общему знаменателю, выполнять различные упрощения алгебраических выражений. Именно поэтому вопросами делимости натуральных чисел математики занимаются давно и очень активно.

Повторяются понятия простых и составных чисел, так как они обладают многими интересными свойствами. Простые числа – это те элементы, из которых при помощи умножения строятся натуральные числа.  Исследователей всегда интересовал вопрос о распределении простых чисел среди  натуральных. Здесь рассматривается теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел, «решето Эратосфена», понятие о каноническом разложении натурального числа. Используя каноническое разложение числа на простые множители, можно выяснить вид любого делителя числа и подсчитать общее число его делителей, находить наибольший  общий  делитель и наименьшее общее кратное двух и более целых чисел.

Рассматривается основная теорема арифметики.

Форма контроля:  задачи для самостоятельного решения, проверочная работа.

2. Диофантовы уравнения (10 ч)

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами занимались самые выдающиеся математики: Пифагор(VI в. до н.э.), Диофант(III в. н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII в.), Ж.Л.Лагранж(XVIII в.), П.Дирихле(XIX в.), К.Гаусс(XIX в.), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа решения быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные  диофантовы уравнения. Поэтому мы должны для каждого уравнения выбирать собственный метод решения. Существует  более  10 методов, в основе которых лежат определения и свойства делимости чисел. Теоретический интерес к  уравнениям  в целых числах достаточно велик, так как они тесно связаны со многими проблемами теории чисел.    

Диофантовы уравнения – это уравнения с несколькими неизвестными, решения которых ищутся в целых числах. Подобные уравнения возникают в некоторых задачах математики, физики, экономики и т.д. Учащимся предлагаются для решения задача Л. Эйлера, задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи), задачи из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Рассматриваются три способа решения уравнения первой степени: алгоритм Евклида, цепные дроби и метод рассеивания.

Форма контроля: задачи для  самостоятельного решения, проверочная работа.

3. Задачи на целые числа в ЕГЭ (6ч)

Задач ЕГЭ уровня  С6, как правило, нет ни в одном школьном учебнике математики. В этом разделе мы предлагаем разбор серии задач непосредственно связанный с  целыми числами. Банк этих задач постоянно пополняется;  учитель может  менять программу,  реагируя на интерес данной группы учеников и  каждого в отдельности.

Форма контроля:  задачи для  самостоятельного решения, проверочная работа.

Методическое обеспечение программы

Занятия по данной программе состоят из теоретической и практической части. Причем большее количество времени (21 ч) за­нимает практическая часть. В теоретическом плане методы решения основных задач представляют собой самостоятельный фрагмент  математической теории (13 ч).

Одна из задач курса, научить учащихся для каждого уравнения выбирать собственный метод решения, т.к. не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные  диофантовы уравнения.

На занятиях учащиеся знакомятся с различными видами уравнений в целых числах,  с их стандартными и  оригинальными решениями. Освоение материала в основном происходит в процессе практической деятельности. Закономерности использования теоретического материала могут быть представлены в виде правил, алгоритмов. Так, в ра­боте над задачей учащиеся должны уметь применять различные стандартные и нестандартные приемы в решении задач.

Подробные разработки элективного курса включают рекомендации по определению необходимого круга знаний, ключевых понятий и положений; анализ типов заданий и критериев оценки их выполнения; обширный дидактический материал.

Уровень сложности рассматриваемых заданий  позволяет работать со школьниками различного уровня подготовки по математике.

При всей важности освоения теоретических знаний следует учитывать, что они являются средством для достижения главной цели обучения, основой для практических занятий. При отборе средств ученик  последовательно выбирает подходящий тип задачи, затем приступает к поиску нужного способа решения. Для успешного анализа и самоанализа необходимы критерии оценки деятельности учащихся.

Теоретическая и практическая часть элективного курса (Приложение 1).

Литература:

1. Алгебра и начала  математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.−8-е изд. −М.: Просвещение, 2009.− 430 с.
2. Алгебра и начала  математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.− 6-е изд., стер. − М.: Мнемозина, 2009. − 424 с.
3. Алгебра и начала  математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник  для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г. Мордкович и др.; под ред. А.Г. Мордковича. − 7-е изд., стер. − М.: Мнемозина, 2010. − 343 с.
4. Базылев Д. Ф. Справочное пособие по решению задач: диофантовы уравнения. – Мн.: НТЦ «АПИ», 1999. − 160с.
5. Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы  теории  делимости  чисел.  Решение  уравнений  в  целых числах. Факультативный курс. – М.: МГИЭТ (ТУ), 2003. – 224 с.
6. Вольфсон Г.И. и др. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра/ Под ред. А.Л. Семенова и И.В.Ященко.− 3-е изд., стереотип. −М.:МЦНМО, 2013. − 80 с.
7. Галкин Е. В.  Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми числами: Учеб. пособие для учащихся 7−11кл. – Челябинск: Взгляд, 2005. – 271с.
8. Галкин В. Я., Сычугов Д.Ю., Хорошилова Е.В. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. – М., факультет ВМиК МГУ, 2002. − 180 с.
9. Генкин С. А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, издательство «АСА», 1994. − 272 с.
10. Корянов А.Г., г. Брянск, Прокофьев А.А., г. Москва. Математика ЕГЭ 2011(типовые задания С6). Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных).
11. Пратусевич М.Я. и др. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра/Под ред. А.Л. Семенова и И.В.Ященко. − М.:МЦНМО, 2011. − 48 с.
12. Саржевский В.И. Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах. Лицей информационных технологий №1537.
13. Шевкин А. В. ЕГЭ. Математика. Задание С6 / А.В. Шевкин, Ю.О. Пукас. – М.: Издательство «Экзамен», 20011. −62с.
14. Шибасов Л. П. От единицы до бесконечности. – М.: Дрофа, 2004. -208 с.
15. www.alexlarin.narod.ru − сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.
16. http://mathege.ru/or/ege/Main − Математика ЕГЭ 2013 (открытый банк заданий).