Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.
Цели урока:
- Образовательная: актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
- Развивающая: развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
- Воспитательная: воспитание аккуратности и самоконтроля.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.
2. Подготовительный этап:
Решить неравенства:
3. Проверка домашнего задания (№11.81*а[1])
При решении неравенства
Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:
Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.
4. Объяснение нового материала
Если посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g(x) – h(x) совпадает со знаком разности logf(x)g(x) – logf(x)h(x) в случае возрастающей функции (f(x) > 1, т.е. f(x) – 1 > 0) и противоположен знаку разности logf(x)g(x) – logf(x)h(x) в случае убывающей функции (0 < f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)
Следовательно, данную совокупность можно свести к системе рациональных неравенств:
В этом и заключается суть метода рационализации – заменить более сложное выражение А на более простое выражение В, являющееся рациональным. При этом неравенство В V 0 будет равносильно неравенству А V 0 на области определения выражения А.
Пример 1. Перепишем неравенство 
в виде
равносильной системы рациональных
неравенств.
Замечу, что условия (1)–(4) являются условиями области определения неравенства, которую я рекомендую найти в начале решения.
Пример 2. Решить неравенство методом рационализации:
Область определения неравенства задается условиями:
Получим: 
Осталось записать неравенство (5)
С учетом области определения
Ответ: (3; 5)
5. Закрепление изученного материала
I. Запишите неравенство в виде системы рациональных неравенств:
II. Представьте правую часть неравенства в виде логарифма по нужному основанию и перейдите к равносильной системе:
Учитель вызывает к доске учащихся, записавших системы из группы I и II, и предлагает одному из наиболее сильных учащихся решить домашнее неравенство (№11.81*а[1]) методом рационализации.
6. Проверочная работа
Вариант 1
1. Записать систему рациональных неравенств для решения неравенств:
2. Решить неравенство методом рационализации
Вариант 2
1. Записать систему рациональных неравенств для решения неравенств:
2. Решить неравенство методом рационализации
Критерии выставления оценок:
3-4 балла – «удовлетворительно»;
5-6 баллов – «хорошо»;
7 баллов – «отлично».
7. Рефлексия
Ответьте на вопрос: какой из известных вам методов решения логарифмических неравенств с переменным основанием позволит вам рациональнее использовать время на экзамене?
8. Домашнее задание: [1] №№11.80* (а,б), 11.81*(а,б), 11.84*(а,б) решить методом рационализации.
Список используемой литературы:
- Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 11 кл. общеобразоват. Учреждений /[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники»,2006.
- А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.