Сумма первых членов арифметической прогрессии

Учебник.

1. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс в 2 ч. Ч.1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. -М.: Мнемозина, 2011.
2. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс в 2 ч. Ч.2: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. -М.: Мнемозина, 2011.

Тема раздела. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Тема урока. Сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Тип урока: комбинированный (урок-практикум и ознакомление с новым материалом).

Форма организации обучения: индивидуальная, парная.

Методы обучения: контрольный опрос, коммуникативный, познавательный, стимулирующий и частично-поисковый, преобразовательный.

На сегодняшний день:

• знают: понятие последовательности, определение арифметической прогрессии, способы ее задания, формулы n-го члена, свойства арифметической прогрессии;
• умеют: выделять арифметическую прогрессию среди других последовательностей, применять определение, свойства, формулу n-го члена при решении задач.

Цели урока.

• Образовательные: продолжить формирование умений выделять арифметическую прогрессию из множества последовательностей, применять определение, свойства и формулы арифметической прогрессии при решении различных заданий, добиться понимания формулы S_n и ее первичного верного применения, корректировать ошибки.
• Развивающие: продолжить формирование логического мышления посредством логических операций (сравнение, обобщение, анализ, синтез), находить рациональные приемы решения, осмысливать, выделять область применения различных типов заданий, осуществлять перенос знаний в новых ситуациях, выявлять закономерности, формировать математическую речь.
• Воспитательные: воспитывать ответственность за полученный результат, навыки адекватной самооценки и оценки деятельности товарища, уважительное отношение к сверстникам, культуру речи, общения.

Оборудование к уроку: мультимедийный проектор, классная доска, раздаточный материал.

Ход урока

(На партах – рабочая карта ученика, листок с тестом, опережающие задания)

1. Ознакомление с темой урока, постановка его целей

Учитель проверяет готовность класса к уроку, озвучивает цель урока. Свою деятельность на уроке учащиеся оценивают сами, занося оценки в рабочую карту.

2. Проверка домашнего задания

Ученики проверяют домашнюю работу соседа по парте по образцу на экране, ставят первую оценку в рабочую карту. В это время у доски работает ученик, который находит и исправляет ошибки в решении примеров, написанных заранее на доске (ошибки взяты из самостоятельной работы предыдущего урока)

Вопросы к отвечающему и учащимся : чего не знает ученик или что путает?

3. Систематизация знаний по пройденному материалу (тест)

Сопоставить номер вопроса с номером верного утверждения

Утверждения:

1. Последовательность, каждый член которой равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
2. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с определенным числом, называется арифметической прогрессией.
3. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
4. a_n=d*(n - 1)+a₁; n=1, 2, 3…
5. a_n=a_{n – 1}+d; n=2, 3, 4…
6. a_n=; n=2, 3, 4…
7. d=a_n+1 – a_{n - 1}; n=2, 3, 4…
8. a_n=a_n+1 – d; n=1, 2, 3…
9. d=a_n – a_{n - 1}; n=2, 3, 4…

Вопросы к тесту

4. Подготовка к основному этапу урока (таблица, исторические задачи)

Во время проведения теста у доски работают два ученика. Первый отвечает на вопросы по данным в таблице:

Второй ученик решает № 16.30.

Решить систему

Учитель и весь класс проверяют таблицу, затем учитель обращает внимание на два последних задания.

Ученики делают вывод.

Учитель подводит итог: “Сумма двух членов арифметической прогрессии, равноотстоящих от ее концов, есть величина постоянная”.

Запись в тетради:

Проверить № 16.30.(можно только начало) и выяснить, как проще решать систему с учетом изученного свойства.

Решить задачу Гаусса: найти сумму 1+2+3+… 100 (ученики решают в тетрадях).

Вывод: S₁₀₀=(1+100)*50. В общем виде: S_n=(a₁+a_n)*

Историческая справка

Потребность в этой формуле возникла еще в глубокой древности и связана она была с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, например распределение продуктов, деление наследства и т.д.

Так в Египетских папирусах две тысячи лет до н. э. встречается такая задача:

“Пусть тебе сказано: раздели 10 метров ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равняется 1/8 меры”.

Задача Пифагора (580–500 л. до н. э.):

“Найти сумму n первых нечетных натуральных чисел”

К тому времени не было выведена формула S_n. Правило для нахождения S_n произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в “Книге абака” (1202г). Монарда Пизанского.

Выведем формулу. Вывод формулы ученики смотрят по мульти проектору.

Учитель комментирует.

Запись в тетрадях:

5. Первичное закрепление изученного

1) № 16.34.(а), № 16.35.(а) – решаем вместе.

Обсуждение № 16.35(а). Как найти S_n, не вычисляя a_n - ? (Подставить a_n=a₁+d(n-1) в формулу S_n=)

Получим новую формулу :

2) Подготовка к самостоятельной работе.

Обсуждение вопроса: “Какую формулу целесообразнее использовать при решении заданий:

3) Самостоятельная работа № 16.36(а), № 16.37(а)

(2 ученика решают на доске)

Применяется самопроверка.

6. Постановка домашнего задания

Записать доказательство формулы S_n в тетради, № 16.34-16.37(б), 16.41.

*При наличии оставшегося времени разобрать решение (или наметить план действий) опережающих заданий.

1) Дана арифметическая прогрессия 20, 21, …120

Найти сумму всех членов.

2) Решить уравнение

3+7+11+…+х=300

3) Сколько раз в сутки прокукует кукушка на часах?

7. Подведение итогов урока