«Геометрия владеет двумя сокровищами одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении»
И. Кеплер
Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал еще древних греков, причем свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия – необходимый элемент общего образования и культуры, представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней красотой. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем.
Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое «золотое сечение» – далеко не все. Расскажем вам об этом «драгоценном камне».
– Что такое «золотое сечение»? Говорят, что точка С производит «золотое сечение» отрезка АВ, если АС : АВ = СВ : АС (1)
– Итак, «золотое сечение» – это такое деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей.
В геометрии «золотым сечением» называется также деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. (рис. 1)
Если длину отрезка АВ обозначить через а, а
длину отрезка АС – через х, то (а – х) – длина
отрезка СВ, и пропорция (1) принимает вид: 
Из этой пропорции следует, что при золотом
сечении длина большего отрезка есть среднее
пропорциональное длин всего отрезка и его
меньшей части: 
Геометрически «золотое сечение» отрезка АВ можно построить следующим образом: восстановить в точке В перпендикуляр к АВ (рис. 2) и на нем отложить BD = 1/2AB далее, соединив точки А и D, отложить DE = BD, и, наконец, АС = АЕ. Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка АВ.
Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т.д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. (рис. 3)
Рис. 3
В дальнейшем увидим, что числа Фибоначчи часто появляются в самых неожиданных местах, при этом неотступно сопровождая золотую пропорцию.
В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причем характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1 : 2. Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией (рис. 2).
Пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (рис. 4)
Рис. 4
Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком. Он служит символом Пифагорейского союза – религиозной секты и научной школы по главе с Пифагором (рис.5), которая проповедовала братскую любовь к друг другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д.
Рис. 5
На подобных устоях основывались очень многие секты. Но Пифагорейский союз отличало от других то, что пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого – 3 – женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов.
Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гете проникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста (рис. 6), на которой была начертана пентаграмма. Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он смог предстать перед Фаустом.
Рис. 6
Интересно, что стороны пентаграммы, пресекаясь, образуют правильный пятиугольник, в котором пресечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.
Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций.
Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.
Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции.
В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды (рис. 7).
Рис. 7
Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.
Вездесущий филлотаксис
Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гете (рис. 8), который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни.
Рис. 8
Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов.
Исследования показали, что движение протоплазмы в клетке часто спиральное. И, наконец, носители информации – молекулы ДНК (рис.9) – также скручены в спираль.
Рис. 9
Нет сомнений, что наследственная спиральность является одним из основных свойств организмов, она отражает один из существенных признаков живого. От винтовой структуры молекул ДНК до закручивания усиков растений – таковы формы проявления спиральности на различных уровнях организации растений. Отчетливо проявляется эта особенность организации растений в закономерностях листорасположения.
Существует несколько способов
листорасположения. В первом листья побега
располагаются строго один под другим, образуя
вертикальные ряды – ортостихи. Условная спираль,
соединяющая места расположения листьев на
побеге, называется генетической, или основной
спиралью, точнее, винтовой линией и делится на
ряд листовых циклов. Генетическим этот винт
называется потому, что расположение листьев в
нем отвечает порядку появления в нем листьев.
Проекция на плоскость листорасположения
позволяет в долях окружности выразить угол
расхождения листьев.
Винтовое расположение листьев выражают дробью,
числитель которой равен числу оборотов по стеблю
воображаемого винта одного листового цикла, а
знаменатель – числу листьев в данном цикле,
совпадающему с числом ортостих на стебле. Эта
дробь позволяет рассчитать и угол расхождения
листьев. Так, у липы, вяза, бука, злаков
листорасположение описывается формулой 1/2, у
дуба и вишни – 2/5 (рис.10), у малины, груши, тополя,
барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т.д.
Нетрудно видеть, что в формулах
листорасположения встречаются числа Фибоначчи,
расположенные через одно.
Рис. 10
Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно – по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся как числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 13/21 и т.д. Их отношение в пределе стремится к числу ср = 0,61803...
Рассмотренную закономерность расположения листьев, чешуек, семян называют филлотаксисом (рис.11).
Рис. 11
Загадки египетских пирамид
О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.
Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса (рис. 12).
Рис. 12
Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п.
Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх. Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота – не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов.
Высота пирамиды (Н) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства.
Отношения сторон в треугольнике пирамиды равно Ф. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции. Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины – я и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды.
Золотое сечение» в скульптуре
Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.
Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос (рис. 13).
Рис. 13
Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6.
Так что пропорции мужчин ближе к «золотому сечению», чем пропорции женщин. Было проведено большое число измерений на помещенных в журналах крупных портретах мужчин и женщин, на многих из них указанные отношения представляют «золотое сечение».
Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. "Человеческое тело – лучшая красота на земле", – утверждал Н.Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений. Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя "Дорифор", изваянная Поликлетом. (рис. 14)
Рис. 14
Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета. Таким образом, золотое сечение – один из основополагающих принципов в искусстве античной Греции.
«Золотое сечение» в архитектуре
В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое сечение», то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое сечение» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). (рис. 15).
Рис. 15
Всю вторую половину V в. до н.э. на Акрополе шло строительство храмов, пропиле (преддверий), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 году начались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н.э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь. Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения пропиле отношения массива скалы и храма также соответствуют золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17
по длинным, выступы сделаны целиком из квадратов
пентилейского мрамора. Отношение высоты здания к
его длине равно 0,618. Если произвести деление
Парфенона по «золотому сечению», то получим те
или иные выступы фасада.
Другим примером из архитектуры древности
является Пантеон. (рис. 16)
Рис. 16
Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое сечение». Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, «золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. (рис. 17)
Рис. 17
По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клиническойбольницей имени Н.И.Пирогова.
Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова (рис. 18) – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры Василия Баженова.
Рис. 18
Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание приобрело более массивные формы. Не сохранилась и внутренняя планировка здания, о которой дают представления только чертеж нижнего этажа.
«Золотое сечение» в живописи
Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи.(рис. 19)
Рис. 19
Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».
Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.
Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.
Ритмы сердца.
Равномерно бьется сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Предсердия выполняют роль резервуара, принимающего кровь из вен, а желудочки – насоса, ритмически перекачивающего кровь в артерии. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115- 125 мм рт.ст. у здорового молодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6 ,т.е. близко к золотой пропорции. (рис. 20)
Рис. 20
Сердце бьется непрерывно – от рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. А так как золотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в живой природе, естественно предположить, что и в работе сердца возможно проявление этого критерия.
Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, для собак – 94 , что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.
Алгебра музыки
В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии.
По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).
Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов? Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.
Музыка стихов
Многое в структуре произведений поэзии роднит
этот вид искусства с музыкой. Каждый стих
обладает своей музыкальной формой – своей
ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в
строении стихотворений проявятся некоторые
черты музыкальных композиций, закономерности
музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая
пропорция, и числа Фибоначчи.
Исследования поэтических произведений с этих
позиций только начинаются. И начинать нужно с
поэзии А.С.Пушкина.(рис. 21) Ведь его произведения
– образец наиболее выдающихся творений русской
культуры, образец высочайшего уровня гармонии.
Рис. 21
Для анализа метрики стихотворений А.С.Пушкина были рассмотрены его произведения периода 1829-1836 г.г., периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 109 стихов. Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116. Однако большие стихотворные формы встречаются редко; число стихотворений с количеством строк более 60 составило всего 9 штук. Средний размер этих стихотворений составил 88 строк.
Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34. Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта – он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда Фибоначчи.
Заключение
Принцип «золотого сечения»– высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Изучая и исследуя использование природой и применение в искусстве математических законов, и в частности геометрии, понятно, насколько глубока и интересна математическая наука. Даже не подозреваешь, насколько широк диапазон её применения. Многие вещи стали для вас открытием. Теперь вы понимаете, почему необходимо изучать математику?
Литература:
- Н.Васютинский «Золотая пропорция» – М., «Молодая гвардия», 1990.
- Д.Пидоу «Геометрия и искусство» – М., «Мир», 1989.
- А.Азевич «Двадцать уроков гармонии» – М., «школа-Пресс», 1998.