Практико-ориентированные задачи: структура, уровни сложности и алгоритм составления

Прикладная направленность обучения математике предполагает ориентацию его содержания и методов на тесную связь с жизнью, основами других наук, на подготовку школьников к использованию математических знаний в предстоящей профессиональной деятельности, на широкое применение в процессе обучения электронно-вычислительной технике. Практическая направленность обучения математике предусматривает ориентацию его содержания и методов на изучение математической теории в процессе решения задач, на формирование у школьников прочих навыков самостоятельной деятельности. Прикладная и практическая направленность неразрывно переплетаются в учебно-воспитательном процессе.

Проблемой прикладной направленности обучения математике в курсе средней школы занимались и математики и методисты: Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Я. Виленкин и др. Пути реализации прикладной и практической направленности обучения математике чрезвычайно широкая методическая проблема. Одним из основных средств, применение которого создает хорошие условия для достижения данной цели, являются задачи с практико-ориентированным содержанием. Содержание и структура экзаменационных работ ЕГЭ и ГИА по математике содержат задания, которые дают возможность полно применять умения по использованию приобретенных знаний в практической деятельности и повседневной жизни. Поэтому прикладная направленность в обучении математике имеет практическую ценность для учащихся в развитии математической компетентности.

В федеральном компоненте государственного стандарта основного и среднего (полного) общего образования сформулированы требования к уровню подготовки выпускников, которыми принято руководствоваться при характеристике уровня математической компетентности: “Использовать приобретённые знания и умения в практической жизни для:

- практических расчётов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

- построения и исследования простейших математических моделей;

- описания и исследования с помощью функций реальных зависимостей, представления их графически; интерпретации графиков реальных процессов;

- решения геометрических, физических, экономических, юридических и других прикладных задач, в том числе задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений с применением аппарата математического анализа;

- анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, анализа информации статистического характера;

- моделирования несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур; вычисления длин, площадей и объёмов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства”[1]. Для формирования и проверки сформированности компетентностей необходимо разрабатывать специальные (отличные от традиционных) задания и задачи. Анализ литературы показал, что сейчас активно ведется работа в этом направлении, хотя разные авторы по-разному называют задачи: компетентностные, контекстные, ситуационные, сюжетные, практико-направленные, компетентностно-ориентированные, учебно-практические позволяющие проверять уровень сформированности различных компетенций. Мы используем термин “практико-ориентированные задачи”, учитывая их целевое назначение в процессе обучения.

Под практико-ориентированными задачами понимают задачи из окружающей действительности, связанные с формированием практических навыков, необходимых в повседневной жизни, в том числе с использованием материалов краеведения, элементов производственных процессов.

Цель этих задач – формирование умений действовать в социально-значимой ситуации. Они базируются на знаниях и умениях, но требуют умения применять накопленные знания в практической деятельности. Назначение практико-ориентированных задач – “окунуть” в решение “жизненной” задачи. Важными отличительными особенностями практико-ориентированных задач от стандартных математических (предметных, межпредметных, прикладных) являются:

- значимость (познавательная, профессиональная, общекультурная, социальная) получаемого результата, что обеспечивает познавательную мотивацию учащегося;

- условие задачи сформулировано как сюжет, ситуация или проблема, для разрешения которой необходимо использовать знания из разных разделов основного предмета – математики, из другого предмета или из жизни, на которые нет явного указания в тексте задачи;

- информация и данные в задаче могут быть представлены в различной форме (рисунок, таблица, схема, диаграмма, график и т.д.), что потребует распознавания объектов;

- указание (явное или неявное) области применения результата, полученного при решении задачи.

Кроме выделенных четырех обязательных характеристических особенностей, практико-ориентированные задачи имеют следующие:

1. по структуре эти задачи – нестандартные, т.е. в структуре задачи неопределенны некоторые из ее компонентов;
2. наличие избыточных, недостающих или противоречивых данных в условии задачи, что приводит к объемной формулировке условия;
3. наличие нескольких способов решения (различная степень рациональности), причем данные способы могут быть неизвестны учащимся, и их потребуется сконструировать.

Мы выделили три уровня сложности практико-ориентированных задач и их связь с уровнем математической компетентности (см. таблица 3).

Таблица 3

Уровни сложности практико-ориентированных задач

Анализ ситуаций, возникающих в повседневной жизни, для разрешения которых требуются знания и умения, формируемые при обучении математике, показывают, что перечень необходимых для этого предметных умений невелик:

• умение проводить вычисления, включая округление и оценку результатов действий, использовать для подсчётов известные формулы;
• умение извлечь и проинтерпретировать информацию, представленную в различной форме (таблиц, диаграмм, графиков, схем и др.);
• умение применять знание элементов статистики и вероятности для характеристики несложных реальных явлений и процессов;
• умение вычислять длины, площади и объёмы реальных объектов при решении практических задач.

Указанные выше результаты обучения формируются в основном в 5-9 классах, а овладение более сложными математическими методами происходит в старшей школе.

Определим структуру практико-ориентированной задачи. За основу возьмём структуру задач предлагаемых в тестах PISA.

1) Стимул погружает в контекст задания и мотивирует на его выполнение. Стимул должен быть настолько кратким, насколько это возможно. Он должен содержать только ту информацию, которая помогает заинтересовать обучающегося в выполнении задания или облегчает понимание задачной формулировки, следующей за стимулом. Если описание ситуации содержательно важно для выполнения учащихся задания, оно играет в структуре практико-ориентированного задания роль одного из источников информации и размещается после задачной формулировки.

2) Задачная формулировка точно указывает на деятельность учащегося, необходимую для выполнения задания. Задачная формулировка не может допускать различных толкований.

3) Источник информации содержит информацию, необходимую для успешной деятельности учащегося по выполнению задания. Другими словами, он является ресурсом для деятельности учащегося. Поэтому главное требование, предъявляемое к источнику, чтобы он был необходимым и достаточным для выполнения заданной деятельности. Чтобы практико-ориентированное задание было надежным, преподаватель должен быть уверен, что успешность обучающегося не зависит от того, располагает ли он тем или иным знанием. В отдельных случаях преподаватель может предлагать задание, которое основывается не только на внешних информационных ресурсах, но и на внутренних – программном содержании, которое было усвоено обучающимися. Предлагая такое задание, преподаватель должен, во-первых, предварительно убедиться (например, с помощью теста), что знания учащимися усвоены, во-вторых, перечислить, на какие предметные знания обучающийся должен опираться при выполнении задания.

4) Инструмент проверки:

- модельный ответ – перечень вероятных верных и частично верных ответов для задания открытого типа с заданной структурой ответа;

- ключ – эталон результата выполнения учащимся задания закрытого типа;

- наблюдения – способ детализации критериев оценки процесса деятельности учащегося по выполнению задания.

Каждая составляющая практико-ориентированного задания подчинена тому, что это задание должно организовать деятельность учащегося, а не воспроизведение им информации или отдельных действий.

Анализ задачников по элементарной математике и другой литературы показал, что практико-ориентированных задач недостаточно, поэтому нами были разработаны пути получения и способы конструирования таких задач. (Схема 1)

Схема 1

В качестве источника практико-ориентированных задач можно использовать задания, предлагаемые в тестах PISA, исследованиях TIMSS и в контрольно-измерительных материалах для итоговой аттестации выпускников основной и средней школы. В современных учебниках немного практико-ориентированных задач (в основном это задачи первого уровня), но на базе имеющихся заданий можно разработать свои задания, т. е. “преобразовать” математическую задачу [2]. Возможны два варианта этой работы: под имеющуюся ситуацию выделить математические факты или под конкретную задачу подобрать ситуацию из жизни. Например, при изучении темы “Единицы измерения площадей” в 5 классе предложить учащимся определить, сколько краски понадобится для покраски пола кабинета математики, предварительно решив задачу №762 из учебника [3]. Задача следующая: “Пол покрасили масляной краской два раза. В первый раз на каждый квадратный метр пошло 125 г краски, а во второй – 75 г. Сколько понадобится краски, если длина комнаты 6 м, а ширина 5 м?”. Данные задачи используются как источник информации.

“Преобразовать” задачу можно, дополнив её вопросами и заданиями. Например, рассмотрим задачу №733 из учебника 6 класса [4]: “В классе 40 учащихся, из них 8 учащихся учатся по математике на “5”. Сколько процентов учащихся класса составляют отличники?” Можно добавить следующее задание: “В этом классе учится 16 мальчиков. Из них по математике четверо имеют оценку “5”. Ответьте на вопросы:

1. Сколько процентов мальчиков учится на “5”?
2. Сколько процентов девочек учится на “5”?
3. Результаты занесите в таблицу.

4) Постройте круговую диаграмму, изображающую отношение “отличников” к общему числу учащихся.

Гораздо сложнее составить новую задачу. Сконструированная новая задача должна соответствовать определению практико-ориентированной задачи и содержать в себе несколько отличительных особенностей, которые отличают ее от стандартных математических задач. Определим алгоритм составления таких задач.

1. Определить цель задачи, её место на уроке, в теме, в курсе.
2. Определить уровень сложности задачи.
3. Выбрать форму предоставления информации (текстовая, презентация, график, диаграмма, таблица и т.д.).
4. Сформулировать стимул и задачу.
5. Определить степень самостоятельности учащихся в получении и обработке информации.
6. Определить форму ответа на вопрос задачи (однозначный, многовариантный, нестандартный, отсутствие ответа, ответ в виде графика, рисунка, таблицы.).

Выделим ещё два типа требований к практико-ориентированным задачам: требования к тексту задачи (стилистические) и требования к организации её решения (организационные).

Проанализируем, прежде всего, стилистические требования к таким задачам. Текст задачи должен описывать реально существующую, житейскую ситуацию. Следовательно, как и описание любой жизненной ситуации, задачный текст должен быть “зашумлен”, избыточен, то есть иметь ряд подробностей, не относящихся к основному требованию задачи. Кроме того, текст задачи не должен указывать на способы и средства ее решения. Проблема или ситуация должны быть адаптированы к возрастным и психологическим особенностям школьника, мотивировать его познавательный интерес.

Не менее важно соблюдать и организационные требования. Задача должна содержать открытую цепочку последовательных заданий. Каждое отдельное задание общей задачи должно содержать требование и набор необходимых (и избыточных) данных. Часть данных может располагаться в преамбуле задачи. Предложенные задания должны быть связанны между собой (не обязательно, линейно – последующее с предыдущим).

Рассмотрим конструирование задачи на примере. Составим задачу для 5 класса к теме “Умножение и деление на разрядную единицу”.

Цель: отработать умножение и деление на разрядную единицу, повторить понятия единиц измерения объёма. Используется на уроках обобщения темы, для самостоятельной работы учащихся.

Уровень сложности: второй.

За основу берём занимательный материал из природоведения. Информацию представляем в виде текста и рисунка для образного представления.

“Женщины индианских племен, живущие возле реки Амазонки, во время сбора семян водных растений часто берут с собой маленьких детей. Для безопасности малышей они усаживают их на листья амазонского Лотоса. Каждый листок в поперечнике достигает 2 м, а его края высоко загнуты вверх. Поэтому детям есть место для игры и они из листка не выпадают. Один исследователь для определения грузоподъемности листка насыпал на него 10 десятилитровых ведра песка. Только тогда листок утонул”

Составляем вопросы. Нужную информацию представляем в виде таблицы.

1. Чему равен объём одного ведра? Выразите объём в кубических дециметрах. (Учащиеся знают из учебника, что 1 литр равен 1 кубическому дециметру)
2. Сколько кубических дециметров содержится в кубическом метре?
3. Определите по таблице, сколько килограммов весит 1 кубический метр песка.

Таблица плотностей некоторых веществ (вес в килограммах 1 кубического метра)

Гравий	1600	Песок	1500
Картофель	670	Уголь	840

4. Чему равен вес одного ведра песка?
5. Какой вес может выдержать один такой листок?
6. Сколько детей может удержаться на этом листке, если считать средний вес ребёнка 10 кг?

Продумываем запись ответов к задаче, приложив бланк. Ответы однозначные.

Бланк ответов

Решение практико-ориентированных задач на уроке означает использования дополнительных возможностей изучаемого материала, адекватных способов организации изучения традиционного программного материала.

Для применения на уроке практико-ориентированных задач учителем могут быть использованы следующие дополнительные возможности изучаемого материала:

- прикладной характер содержания темы;

- содержание, включающее в себя оценку явлений и событий; различные концепции; различные толкования причин и следствий, другие противоречивые сведения или позиции, допускающие различное толкование;

- материал, имеющий существенное значение для местного сообщества, связанный с широко обсуждаемыми в обществе вопросами (например, проблемы экологии, вопросы межэтнических отношений и т.п.);

- содержание программы, связанное с событиями, явлениями, объектами, доступными непосредственному восприятию школьника (в том числе в учебных ситуациях);

- материал, работа с которым допускает выход за пределы школы, его изучение на базе предприятий, высших учебных заведений, учреждений культуры;

- содержание учебной программы, связанное с формированием учебных умений и навыков;

- содержание учебного материала, которое может найти применение в воспитательной, досуговой, организационной и т.п. деятельности.

Развитие у школьников умений решать практико-ориентированные задачи в процессе обучения математике следует рассматривать как один из способов формирования у них математической компетентности. Такой подход к обучению позволяет в дальнейшем выпускнику школы решать проблемы, возникающие в жизни и в профессиональной деятельности.

Литература

1. Сборник нормативных документов. Математика / сост. Э.Д. Днепров, А.Г.Аркадьев. М.: Дрофа, 2007. 128 с.
2. Курганов С.Ю. Ключевые учебные ситуации и тестирование // Школьные технологии. 2006. №4. С.97-102
3. Виленкин Н.Я. и др. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений 19-е изд. М.: Мнемозина, 2006. 280 с.
4. Виленкин Н.Я. и др. Математика: учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений 15-е изд. М.: Мнемозина, 2005. 288 с.

Приложение