Математика знает весьма тонкие изобретения, могущие принести большую пользу, как для любознательных, так и для развития труда человека.
Декарт.
Головоломка – это загадка, задача, требующая для своего решения специальной догадливости, сообразительности. Она в противоположность стандартной задаче представляет собой нечто такое, от решения чего можно получить удовольствии.
Решение головоломок зависит от обнаружения какого-то ключевого факта. Ответ на них не должен опираться на какие-либо сведения, которые не были бы широко известны или до которых нельзя было бы додуматься в процессе решения.
Головоломки существуют более 4000 лет. Уже древние египтяне понимали, сколь важную роль в процессе обучения играет элемент занимательности. Так, в течение тысячелетий из одного сборника математических головоломок в другой кочует “задача о кошках”. Ученые сегодня располагают сотнями клинописных “математических табличек” ученого характера, составленные древними вавилонянами можно считать “россыпями головоломок”.
Разновидностью увлекательных головоломок являются лабиринты. Древнейшей головоломкой считается лабиринт на острове Крит. В одном из древнегреческих мифов рассказывается, что он был построен искусным зодчим Дедалом для критского царя Миноса, который заключил в лабиринт Минотавра – полубыка-получеловека, рожденного женой Миноса от связи со священным быком бога Посейдона. Никто из попавших туда не мог выйти обратно, делаясь в конце концов жертвой чудовища. Семь юношей и семь девушек приносили афиняне в дань ежегодно чудовищу, которое преисправно их пожирало. Наконец, афинский герой Тесей отправился в лабиринт и убил минотавра, а потом нашел обратную дорогу из лабиринта с помощью нити, которую дала ему Ариадна, дочь царя Миноса. С той поры слова “нить Ариадны” имеют символическое значение как способ, дающий выход из самого затруднительного положения.
Среди популярных составителей головоломок прошлого века можно назвать американецев С. Барр, С. Лойд и англичан А. Льюнс, Г. Э. Дьюдени.
Г.Э. Дьюдени родился он в 1957 году на юге Англии, в графстве Суссенс. Его дед был простым пастухом и большим любителем математики, которую он изучал самостоятельно, а в последствии даже преподавал, став школьным учителем в небольшом городке Льюис, неподалеку от Лондона. Учителем был и отец Генри. Самому Дьюдени также не довелось изучать математику в колледже. Как и его дед он был талантливым самоучкой.
Свои первые небольшие задача Г.Дьюдени начал публиковать в различных журналах сначала под псевдонимом “Сфинкс”, а затем под собственной фамилией. Важную роль в жизни Генри сыграло дружеское соперничество с другим известным мастером головоломок Сэмом Лойдом. Особого искусства Дьюдени достиг при решении геометрических задач на разрезание. Он пользовался репутацией блестящего знатока магических квадратов. Его интересы не исчерпывались математикой. Генри хорошо играл в шахматы и еще лучше решал шахматные задачи, увлекался бильярдом и мог часами играть в крикет.
Составление и решение головоломок было для Дьюдени не просто профессией, но и призванием, делом всей жизни. Если интересная идея приходила ему в голову за обедом, он мог в задумчивости рисовать геометрические фигуры прямо на скатерти. Головоломки Дьюдени прочно вошли в золотой фонд занимательной математики.
Анджело Льюис также всю свою долгую жизнь неустанно составлял, придумывал и собирал всевозможные головоломки, математические игры, фокусы.
Стивен Барр к математике обратился довольно поздно, заинтересовавшись задачами моделирования сложных поверхностей. Задача – “топологические эксперименты” Барра могут способствовать пробуждению как интереса к топологии, так и некоторой топологической интуиции, в этом заключается их смысл.
Сэм Лойд родился в 1841 году. Сэм до семнадцатилетнего возраста посещал общеобразовательную школу. Это был высокий, стройный, уравновешенный индивидуалист, искусный фокусник и способный к подражанию чревовещатель. Он прекрасно играл в шахматы и молниеносно мог вырезать любой силуэт из черной бумаги. Через несколько лет он охладел к шахматам и обратил свое внимание на математические головоломки и всевозможные трюки, которым он умел придать удивительную пикантность и оригинальность. В юности он придумал головоломку с вырезанием из картона, которая принесла огромный коммерческий успех. Самым интересным изобретением Лойда следует считать игру в пятнадцать.
Математики творческого склада не стыдятся своего интереса к занимательным задачам и головоломкам. Творческое мышление приводит к математическому и вообще научному открытию.
Головоломки, как правило, предназначаются для одного человека. Решая ее, каждый действует самостоятельно, и его решение не зависит от действий партнера, который мог бы изменить ход игры и создать новую ситуацию. В головоломках также возможно соревнование, но иного порядка, чем в играх. Оно может состоять лишь в том, кто быстрее, более удачно решит задачу.
Ниже представлена подборка головоломок с использованием игральных костей и кубиков. Они способствуют развитию пространственного представления, творческого воображения, конструктивных способностей и многих других умений и навыков.
Над головоломками надо биться самостоятельно, обращаясь к включенным в книгу решениям лишь после того, как найдете собственное, или если уж очень долго будете биться над задачей. Но в последнем случае ваши размышления не пройдут без пользы. Помните: головоломку, которая может показаться легкой на первый взгляд, на самом-то деле будет разгадать не так уж просто.
1. Головоломка “Сложить кости в куб”.
Восемь игральных костей сложены в большой куб. один из вариантов того, как это можно сделать, приведен на рис. 1а.
(Рис. 1)
Сколькими различными способами можно сложить эти кубики? Имейте в виду, что перестановка двух кубиков при сохранении расположения точек на них не является вариантом, так как внешний вид куба не изменится.
Если, однако, кубик поворачивается любым способом, это считается новым вариантом, например: рис. 1б.
Ответ. Как основу для расчетов возьмем один кубик и любую из его шести граней. Каждая их этих шест граней может поворачиваться на 90 градусов, так что любая из четырех прилегающих к ней граней будет смотреть на фасад. Это дает 6 ∙ 4 = 24 различных положений одного кубика. Это же применимо и к любому из восьми игральных костей, образующих куб. Таким, образом, число различных вариантов будет 248 или 110075314176.
2. Головоломка “Почти кубик Рубика”
Возьмем 9 кубиков. Все стороны каждого кубика окрашивают в разные цвета, как показано на развертке. Из кубиков надо сложить призму 3×3×1, ó которой верхняя грань всех кубиков окрашена в один цвет (рис. 2).
(Рис. 2)
Задача играющего – так повернуть кубики, чтобы на верхней стороне все они поменял свой цвет. Но поворачивать кубики можно только по три вместе в горизонтальном и вертикальном ряду вокруг своей оси.
Эта задача разрешима и при любом другом первоначальном расположении кубиков. Можно также, придерживаясь этих же правил, создать на верхней плоскости призмы узор (например, кубики, расположенные по углам одного цвета, а в центре – другого и т. п.).
3. Головоломка “Лабиринт из игральных костей”.
В этом лабиринте (рис. 3) вы можете передвигаться с одного кубика на другой только в том случае, если количество точек на соответствующих гранях совпадает. Но вы можете переходить на любую из его видимых граней. Найдите путь от центрального кубика с тремя пустыми гранями.
(Рис. 3)
Ответ. Рис. 4.
(Рис. 4)
Литература
- Барр Ст. Россыпи головоломок / пер. с англ. Ю.Н. Сударева, под ред. И.М. Яглома. – М.: Мир, 1978. – 415 с.
- Большой энциклопедический словарь. В 2х т. / гл. ред. А.М. Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1991. – Т.1. – С. 317.
- Гарднер М. Математические головоломки и развлечения: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1971. – 511 с.
- Гарднер М. Математические досуги: пер. с англ. / под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Мир, 1972. – 496 с.
- Картер Ф., Рассел К. Большой сборник головоломок /адапт. пер. с англ. Л.М. Щукина. – Мн.: ООО “Попурри”, 2000. – 592 с.