Моделирование на уроках математики

Вашему вниманию хочу предложить лабораторные работы по темам:

• 8 класс, геометрия: «Вписанная, описанная и невписанная  около треугольника окружность».
• 9 класс, геометрия: «Создание модели треугольной призмы, вычисление угла между прямыми, вычисление равнодействующей сил».
• 9 класс, геометрия. «Создание модели и работа с тригонометрическим кругом».
• 10 класс, алгебра (повторение). «Преобразование графиков функции. Аппроксимация выбранной модели».

Лабораторные работы на уроке проходят в технологии поиска, моделирование и исследование объекта.

Обоснование необходимости выбранной технологи

Проведенные исследования мотивации обучающихся выявили интересные закономерности. Оказалось, что значение мотивации для успешной учебы выше, чем значение интеллекта обучающегося. Высокая позитивная мотивация может играть роль компенсирующего фактора в случае недостаточно высоких способностей обучающегося, однако в обратном направлении этот принцип не работает – никакие способности не могут компенсировать отсутствие учебного мотива .
Давайте об эффективности методов обучения и поговорим более подробно. Как показали исследования немецких ученых, человек запоминает только 10% того, что он читает, 20% того, что слышит, 30% того, что видит; 50-70% запоминается при участии в групповых дискуссиях, 80% – при самостоятельном обнаружении и формулировании проблем. И лишь когда обучающийся непосредственно участвует в реальной деятельности, в самостоятельной постановке проблем, выработке и принятии решения, формулировке выводов и прогнозов, он запоминает и усваивает материал на 90%. Близкие к приведенным данные были получены также американскими и российскими исследователями. [1]

 8-й класс. Геометрия. IV четверть. 2 урока.

Тема урока: Построение динамической модели вписанной, описанной, вневписанной в треугольник окружности.(отработка материала)

Цели:

• закрепить знания по теме: положение центра вписанной, описанной, вневписанной  в треугольник окружности;
• преобрести  практику при решении задач по теме: «Вписанная, описанная, около треугольника окружности» с формулировками из открытого банка заданий ГИА.

Задачи:

• формирование положительной учебной мотивации;
• повышение познавательной активности учащихся;
• активное вовлечение обучающихся в образовательный процесс;
• стимулирование самостоятельной деятельности;
• развитие познавательных процессов – речи, памяти, мышления;
• эффективное усвоение большого объема учебной информации;
• развитие творческих способностей и нестандартности мышления;
• развитие коммуникативно-эмоциональной сферы личности обучающегося;
• раскрытие личностно-индивидуальных возможностей каждого учащегося и определение условий для их проявления и развития;
• развитие навыков самостоятельного умственного труда;
• развитие универсальных навыков.

Технология проведения урока – технология АМО (активных методов обучения)
АМО строятся на практической направленности, игровом действе и творческом характере обучения, интерактивности, разнообразных коммуникациях, диалоге и полилоге, использовании знаний и опыта обучающихся, групповой форме организации их работы, вовлечении в процесс всех органов чувств, деятельностном подходе к обучению, движении и рефлексии.

В качестве основных неоспоримых достоинств выступают высокая степень самостоятельности, инициативности, развитие социальных навыков, сформированность умения добывать знания и применять их на практике, развитие творческих способностей. Чувство свободы выбора делает обучение сознательным, продуктивным и более результативным. [4]
Помимо диалога, активные методы используют и полилог, обеспечивая многоуровневую и разностороннюю коммуникацию всех участников образовательного процесса.

В современной дидактике данное понятие обычно употребляется по отношению к методам обучения, в реализации которых максимум активности приходится на учащихся, а деятельность педагога главным образом направлена на организацию и коррекцию познавательной деятельности учащихся. К таким методам чаще всего относят проблемные беседы, учебные дискуссии, творческие практические и самостоятельные работы учащихся, дидактические игры и в данном уроке – лабораторная работа. [4]

План урока:

1. Открыть программу «Стереконструктор 1-С»
2. Построить модели, для этого необходимо:

• Первый этап – понимание проблемы.
• Второй этап – поиск решений.
• Третий этап – индивидуализация деятельности. Что лично сделаю я что бы сделать работу
• Четвёртый этап – оценивание идей. Индивидуальное принятие решения: что смогу делать для решения проблемы и что постараюсь сделать.

Приведем для примера сокращенный вариант работы ученика.

Теоретическая часть

Вписанная окружность – такая окружность, которую касаются все стороны многоугольника (центр окружности равноудален от сторон многоугольника).

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольнике:

• Проведем биссектрисы в произвольном треугольнике
• Обозначим точку пересечения «O»
• Из точки «O» проведем перпендикуляры к сторонам треугольника
• Построим окружность с центром в точке «O» и с радиусом, равным перпендикуляру

Описанная окружность – такая окружность, на которой лежат все вершины многоугольника (центр окружности равноудален от вершин многоугольника).

Алгоритм построения описанной окружности в треугольнике:

• Проведем серединные перпендикуляры в произвольном треугольнике
• Обозначим точку пересечения «O»
• Из точки «O» проведем отрезки к вершинам треугольника*
• Построим окружность с центром в точке «O» и с радиусом, равным отрезку*

Вневписанная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.

Алгоритм построения вневписанной окружности треугольника:

• Проведем биссектрисы внешних углов треугольника
• Обозначим точку пересечения двух биссектрис «O»
• Из точки «O» проведем перпендикуляры к стороне и продолжениям сторон треугольника
• Построим окружность с центром в точке «O» и с радиусом, равным перпендикуляру

Практическая часть

План работы:

• Построение вписанной окружности
• Построение вневписанной окружности
• Построение описанной  около треугольника окружности (в остроугольном треугольнике; в тупоугольном треугольнике; в прямоугольном треугольнике)
• Вывод (центр описанной около треугольника окружности)

 

Рисунок 1. Вписанная окружность

Рисунок 2. Вневписанная  окружность

Рисунок 3. Описанная окружность

Выводы:

• Центр описанной около остроугольного треугольника окружности находится в самом треугольнике
• Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности находится вне самого треугольника
• Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности находится на гипотенузе треугольника

Проблемное обучение  — такая форма, в которой процесс познания учащихся приближается к поисковой, исследовательской деятельности. Успешность проблемного обучения обеспечивается совместными усилиями преподавателя и обучаемых. Основная задача педагога — не столько передать информацию, сколько приобщить слушателей к объективным противоречиям развития научного знания и способам их разрешения. В сотрудничестве с преподавателем учащиеся «открывают» для себя новые знания, постигают теоретические особенности отдельной науки.
Кроме интенсификации освоения учебной информации, АМО позволяет так же эффективно в процессе урока и во внеклассной деятельности осуществлять воспитательный процесс. Работа в команде, совместная проектная и исследовательская деятельность, отстаивание своей позиции и толерантное отношение к чужому мнению, принятие ответственности за себя и команду формируют качества личности, нравственные установки и ценностные ориентиры школьника, отвечающие современным потребностям общества.

Параллельно с обучением и воспитанием, применение АМО в образовательном процессе обеспечивает становление и развитие у обучающихся так называемых мягких или универсальных навыков. К ним обычно относят способность принимать решения и умение решать проблемы, коммуникативные умения и качества, умения ясно формулировать сообщения и четко ставить задачи, умение выслушивать и принимать во внимание разные точки зрения и мнения других людей, лидерские умения и качества, умение работать в команде и др. А сегодня многие уже понимают, что, несмотря на свою мягкость, эти навыки в современной жизни играют ключевую роль как для достижения успеха в профессиональной и общественной деятельности, так и для обеспечения гармонии в личной жизни.

Не меньшее значение имеет повышение интереса и мотивированности учителя, как от использования АМО, дающего простор для творческого поиска и развития потенциала педагога, так и вследствие повышения эффективности и качества его профессиональной деятельности. Освоив существующие активные методы, технологию их применения в образовательном процессе и убедившись в эффективности АМО, педагог может более активно использовать свой творческий потенциал, разрабатывая и внедряя авторские игровые методы в соответствии с индивидуальными особенностями учеников и реальными потребностями местного сообщества. [4]

9-й класс. Скалярное произведение векторов. Определение угла между векторами. Создание 3 D модели к задачи в программе «Автограф»

Техническое оснащение:.

• 13 ноутбуков.
• программа «Автограф»
• программа Geometry
• учительский компьютер
• проектор.
• УМК. Л.С. Атоносян, В.Ф. Бутузов Геометрия 7-9. М. Просвещение. 2011.
• Жигалова С.И программа. «Математические модели в экономике и естествознании»
• презентация к уроку.

Применяемая технология: технология активного метода обучения.

Задачи урока:

• Развивать пространственное воображение.
• Научить применять скалярное произведения для решения разного класса задач.
• Закрепить понятие косинуса тупого угла. Визуализировать понятие в программе Geometry.
• Закрепить практику работы в программе АвтоГраф.
• Применить координатный метод  для моделирования  объемных фигур.
• Продолжать развивать исследовательские и проектировочные умения.
• Отрабатывать навыки работы в команде.

План урока:

1. Создать 3D модель правильной треугольной призмы. Сторона  основания равна 2, высота 4. Прописать координаты вершин призмы.
2. Вычислить  косинус угла между данными векторами.
3. Создать в программе Geometry тригонометрическую окружность. См. инструкцию. Посмотреть значение угла.
4. Перенести вектора в одну точку.
5. Построить в программе АвтоГраф равнодействующую двух сил.
6. Вычислить равнодействующую сил. Обсудить еще раз формулы приведения.

Рисунок 4. Модель призмы

Рисунок 5. Равнодействующая сил

Домашняя работа: Оформление работы. Расчеты. Выводы.

Лабораторная работа. Определение тригонометрических функций.  9-й класс. III четверть.

Методическая задача

• отработать определение sina как ординату точки единичной окружности, повернутой на угол а. (сosa – абсциссу точки единичной окружности …)
• продемонстрировать формулу sin(2a) не = 2sina, сos(180 – a) = – сosa
• создать визуальную основу для решения простейших тригонометрических уравнений

Техническое оборудование:

• класс ноутбуков – 13 шт.
• учительский компьютер.
• Проектор.
• Программа  Geometry Expressions.

План работы:

• Создать интерактивную модель тригонометрического круга: (см. инструкцию)
• Пользуясь моделью, заполнить таблицу. Оформить работу, сделать выводы.

Место модели в курсе геометрии. Сейчас я её использую в 9 классе при прохождении темы – теорема косинусов, скалярное произведение векторов для определения угла треугольника либо угла между векторами. Модель заменяет таблицу Брадиса, расширяя диапазон  угла до 180*

Рисунок 7. Модель  синуса

Рисунок 6. Модель  косинуса

Таблица 1

Таблица 2

10 класс. Элементарные функции. Преобразование графиков функции.

Учебные задачи:

• повторить изученные  в 8,9 классе графики квадратичной, обратно пропорциональной зависимости;
• повторить основные типы преобразований графиков;
• получить практику работы с параметром в различных типах функции;
• закрепить навыки работы в программе Geometry.

Задачи:

• формирование положительной учебной мотивации;
• стимулирование самостоятельной деятельности;
• развитие познавательных процессов – речи, памяти, мышления;
• эффективное усвоение большого объема учебной информации;
• развитие творческих способностей и нестандартности мышления;
• развитие коммуникативно-эмоциональной сферы личности обучающегося;
• раскрытие личностно-индивидуальных возможностей каждого учащегося и определение условий для их проявления и развития;
• развитие навыков самостоятельного умственного труда;
• развитие универсальных навыков.

Техническое оборудование:

• класс ноутбуков – 13 шт.
• учительский компьютер
• проектор.
• программа  Geometry Expressions.

Технология  поведения  урока: технология АМО – лабораторная  работа. Задание: подобрать функцию для аппроксимации рисунка. Выполнить преобразование  графиков
При вводе функции используем параметры. Для анимации изменения параметров

Работа с переменными:

Рисунок 8. Работа с переменными

Рисунок 9. Аппроксимация параболой

Результат:

Следующий рисунок предполагает преобразование, включающее в себя сдвиг – вправо, влево, т.е работаем с тремя параметрами.

Шаг 1: изменение параметра с – сдвиг  вправо
у = b + (х + c * (– 1))^(2) * a
Шаг 2: изменение параметра в – сдвиг вверх.
Шаг 3: изменение параметра  а – сужение графика.
Шаг 4: у = e + (х + c * (–1))^(2) * a * (–1)) – функция  дающая другую ветку для аппроксимации функции.
Осталось подобрать  значение параметра е – вверх, вниз, единственное значение параметра , отличное от параметров  предыдущей функции.

Рисунок 10. Апроксимация

Рисунок 11. Апроксимация

Далее следуют задания для учащихся

Рисунок 12. Задание для учащихся 1

Литература:

1.«Геометрия 7-9» (Л.С. Атанасян), М., «Просвещение», 2009 г., 12-е издание
2. М.Я Пратусевич, К.М.Столбов Алгебра и начала анализа. М.Просвещение, 2009.

Программное обеспечение:

1. «Автограф»
2. «Стереоконструктор».
3. «Geometry»

Интернет-ресурсы:

1. http://uztest.ru
2. http://ege.yandex.ru/mathematics-gia/
3. http://reshuege.ru
4. http://www.moi-universitet.ru/amo/
5. https://sites.google.com/site/saitmatematika/
6. www.egeigia.ru