Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла

Цели:

дидактические:

• познакомить учащихся с применением определенного интеграла к решению некоторых физических и технических задач;
• активизировать познавательную деятельность;
• применять накопленные в процессе обучения знания, умения, навыки в практической деятельности.

воспитательные:

• решение прикладных задач имеет большое воспитательное значение, так как воспитывает умение распознать то или иное математическое понятие в различных ситуациях и позволяет знакомить учащихся с математическим моделированием как методом научного познания окружающего мира;
• воспитывать сознательную дисциплину;
• воспитывать умение работать в группе, сотрудничество, коллективизм;
• развивать умение выражать свои мысли в форме, доступной окружающим;
• прививать чувство сопереживания и формировать у учащихся “здоровое” соперничество;
• формировать интерес к науке через общение к историческому материалу.

развивающие:

• развивать внимание, память, речь, аналитическое и логическое мышление;
• развивать мотивацию познавательной деятельности.

Планируемые результаты обучения

Студенты должны:

иметь понятие

• об истории развития математического анализа;
• о связи математики с другими науками;
• о применении определенного интеграла для решения прикладных задач;

знать

• формулы для вычисления некоторых физических величин;

уметь

• вычислять определенные интегралы;
• применять полученные знания и умения при решении задач прикладного характера.

Тип занятия: урок изучения нового материала.

Междисциплинарные связи:

• физика;
• информатика;
• русский язык и культура речи (правильность и содержательность изложения материала);
• иностранный язык (перевод терминов);
• история (обращение к историческому материалу).

Внутрипредметные связи:

• единство терминологии;
• связь с предыдущим материалом (производная функции, её физический смысл; геометрический смысл определенного интеграла);
• связь с последующим материалом дисциплины (вычисление площадей поверхности и объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла).

Основные методы, применяемые на уроке:

• научности;
• наглядности;
• последовательности изложения материалов;
• преемственности;
• соревновательности.

Организация мероприятия

С помощью электронной презентации преподаватель знакомит участников и зрителей с темой урока, формулирует цели занятия, обосновывает постановку проблемы. Студенты делятся на группы по 6-8 человек для выполнения коллективных заданий. Заранее студенты получают индивидуальные домашние задания – вычислить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла и оформить задачу на листе формата А 4. Во время проверки домашнего задания несколько студентов защищают свою работу перед аудиторией, остальные сдают на проверку преподавателю.

Средства обучения: персональный компьютер, интерактивная доска, таблицы с формулами, опорные конспекты, цитаты с высказываниями ученых о математике, карточки с заданиями для мини-групп.

Конспект урока

Мы с вами заканчиваем изучение темы “Интеграл и его приложения”. Вы изучили неопределённый интеграл, определённый интеграл, ... Кстати, чем они отличаются? ... Хорошо. Научились интегрировать методом неопределённого интегрирования, методом подстановки. И неплохо научились, судя по самостоятельной работе. Научились вычислять площади криволинейных фигур при помощи интеграла. И вот теперь, наконец, мы сможем применить наши умения для решения практических задач. Запишите, пожалуйста, тему урока “Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла”.

Математика на протяжении всей истории человеческой культуры всегда была её неотъемлемой частью; она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важным компонентом развития личности. На уроке мы еще убедимся в том, что математика нам помогает познать окружающий нас мир, изучать физические законы природы.

Повторение

1. Проверка домашнего задания.

Студенты получают домашнее задание – выполнить самостоятельную работу по вариантам, построить графики функций, вычислить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла и оформить задачу на листе формата А4. У каждого студента отдельная папка для домашних самостоятельных работ, которую он заполняет в течение семестра. Во время проверки домашнего задания несколько студентов защищают свою работу перед аудиторией, остальные сдают на проверку преподавателю.

2. Проверка опорных знаний учащихся.

Проведение устного фронтального опроса:

3. Что называется определенным интегралом? (Множество первообразных данной функции на заданном промежутке)

4. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? (Интеграл от функции на отрезке равен площади криволинейной трапеции)

5. Назовите первообразные данных функций? (Функции на слайде)

6. Основная формула интегрального исчисления. (Формула Ньютона-Лейбница)

7. Перечислить свойства интеграла.

Письменный опрос по вариантам (групповая работа).

Преподаватель раздает планшеты с заданиями каждой группе.

Задание:

• вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями;
• найти ошибку в вычислении определенного интеграла;
• сравнить два значения определенного интеграла.

Взаимопроверка. Результаты проверки правильности решения студенты проверяют по готовым ответам на слайдах.

Основная часть

(Изучение нового материала)

I. Выступление учащихся на тему: “История развития интегрального исчисления”

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объемы произвольных тех.

Символ o ydx был введен Лейбницем в 1686 г. В нем знак интеграла представляет как бы удлиненную букву S (первая буква в латинском слове сумма). Термин “интеграл” (от латинского integer – целая, вся – площадь) был предложен в 1696 г. Иоганном Бернулли и одобрен Лейбницем.

К понятию определенного интеграла приводят и другие задачи геометрии, механики и физики, в которых требуется найти предел интегральной суммы.

Обозначение определенного интеграла ввел Ж.Фурье. Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница носит название “основной формулы интегрального исчисления”. Она позволяет сводить сложное вычисление определенных интегралов, т.е. нахождение пределов интегральных сумм, к более простой операции отыскания первообразных.

Дальнейшее развитие интегрального исчисления связано с именем Леонарда Эйлера. Он составил полный курс математического анализа, состоящий из шести книг, три из которых посвятил интегральному исчислению.

Наряду с Эйлером выдающихся результатов в области математического анализа добился крупнейший математик 18 века – Лагранж. Он в 18-летнем возрасте уже занял должность профессора в артиллерийской школе города Турина (Италия), а через пять лет был избран членом Берлинской Академии наук.

Теория интеграла была за тем развита Риманом, который впервые определил необходимые и достаточные условия интегрируемости ограниченной функции. Ему принадлежит общее определение определенного интеграла, поэтому интегральную сумму стали называть “римановской”.

Большой вклад в развитие математического анализа в 19 веке внесли российские ученые Остроградский и Чебышев. Работы Чебышева в последствии продолжил его ученик – Ляпунов, Стеклов, Бернштейн и другие. Проблемы теории интегрального исчисления до сих пор волнуют умы математиков всех стран. Дело Чебышева и Остроградского продолжают ученые современной России.

II. Объяснение преподавателя

Мотивация познавательной деятельности учащихся.

Применение определенного интеграла не ограничивается вычислением площади фигуры.

Определенный интеграл помогает решать ряд физических и общетехнических задач, поэтому знания, полученные вами на этом уроке, помогут в вашей дальнейшей учебе и практической деятельности.

Последовательность изложения материала

1. Задача о вычислении пути.
2. Задача о вычислении работы переменной силы.
3. Задача о силе давления жидкости.

1. Задача о вычислении пути

Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке есть мгновенная скорость точки, т.е. . Отсюда, . Интегрируя полученное равенство в пределах от t₁ до t₂ получаем

Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью (е) за отрезок времени []выражается интегралом

                         (1)

Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой = 2t+3t²(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Решение.

Пример 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(6t²+2t) м/с, второе – со скоростью v²=(4t+5) м/с. На каком расстояния друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.

Таким образом, S=S₁-S₂= 275-75=200 (м).

2. Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка под действием силы F движется по прямой. Если действующая сила постояна, а пройденный путь равен s, то как известно из курса физики, работа А этой F вычисляется по формуле:

А= F*s

Работу переменной силы f(x) при перемещении по оси Оx материальной точки от x=a до x=b, находим по формуле (3):

A= (2)

Решении задач на вычисление работы силы упругости, связанных с растяжением и сжатием пружин, основывается на законе Гука. По закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину, пропорциональная этому растяжению или сжатию, т.е. F=kx, где x – величина растяжения или сжатия, k – коэффициент пропорциональности.

Пример 1. Сила упругости F пружины, растянутой на 1¹ = 0,05 м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 1₂ =0,1 м?

Решение. Подставив данные в формулу закона Гука, получим: 3=k*0.05, т.е. k=60, следовательно, сила упругости выражается соотношением F=60x. Найдем работу переменной силы по формуле (2), полагая, что а=0; b=0,1:

A==0,3Дж

3. Задача о силе давления жидкости

Согласно закону Паскаля величина P давления жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле P=gphS, (4)

Где g – ускорение свободного падения в м/с²;

p– плотность жидкости в кг/м³;

h – глубина погружения площадки в м;

S – площадь площадки в м².

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, у1 = f1(x) и у2=f2(х); система координат выбрана так, как указано на рисунке 1.

Для решения задачи разобьем пластину на n частей (малых горизонт альных полосок) прямыми, параллельными поверхности жидкости (т.е. параллельными оси OY). На глубине х выделим одну из них и обозначим через f(x) ее длину, а через ее ширину. Приняв полоску за прямоугольник, находим ее площадь .

Найдем дифференциал dp этой функции.

Тогда по закону Паскаля интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим

P=g (3)

Пример

Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м³), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м x 0,7 м.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы оси Оy и Оx соответственно содержали верхнее основание и боковую сторону вертикальной стенки аквариума. Для нахождения силы давления воды на стенку воспользуемся формулой (3). Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому Так как пределы интегрирования а=0 и b=0,4, то получим:

Работа с опорным конспектом.

Студенты получают задание записать в тетради основные положения и формулы, используя опорный конспект.

Закрепление.

4. Фронтальный опрос

• Какие физические величины можно вычислить с помощью определенного интеграла?
• По какой формуле вычисляется путь, пройденной точки с переменной скоростью?
• По какой формуле вычисляется работа переменной силы?
• От каких величин зависит величина силы давления на погруженную в жидкость пластину?
• С помощью какой формулы вычисляется сила давления жидкости на вертикальную пластину?

5. Применение знаний при решении типовых задач (работа в группах)

Каждая мини-группа получает по одной задаче. По окончании решения представитель каждой группы показывает решение на доске, объясняя ход решения. Другие студенты анализируют и делают записи в тетрадях.

Задание мини-группам.

1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой = 9t²-2t-8 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 3 секундs от начала движения.
2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v₁=(2t²+4t)м/с, м/с, второе – со скоростью v₂=(3t+2)м/с, м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с?
3. Силу упругости F пружины, растянутой 1₁ =0,02 м, равна 2H. Какую работу надо провести, чтобы растянуть пружину на 1₂ =0,05м?
4. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для ее сжатия на 0,01 нужна сила 10 Н.

Обобщение и систематизация знаний.

1. При решении задач первого типа можно находить не только путь, пройденной точки при неравномерном движении, но скорость точки, движущейся прямолинейно, имея уравнение ускорения этого движения.
2. В начале от вычислении работы можно определить работу не только переменной силы упругости, но и любой другой переменной силы, например, силы тяжести.
3. При решении задач о силе давления жидкости площадка, находящаяся под действием переменного давления, может иметь не только прямолинейную, но и другую форму.
4. Что объединяет все приведенные выше задачи? Во всех задачах с применением определенного интеграла необходимо найти значение переменной величины (силы, работы, скорости и т.д.)
5. Давайте систематизируем знания. Для этого заполните таблицу:

Заключительная часть

1. Подача домашнего задания (с кратким пояснением заданий):

Прочитать §2-5 гл. [1]; решить задачи № 39, 49, 66 гл. 13 [1]. Задачи решаются аналогично тем, которые мы рассмотрели на уроке.

2. Подведение итогов занятия.

Краткая характеристика работы каждой группы на уроке и отдельных студентов.

Сегодняшний урок еще раз показал необходимость освоения математических знаний для применения их в процессе дальнейшего обучения и практической деятельности.

Сегодня на уроке мы познакомились с задачами на вычисление некоторых физических величин: пути, работы, силы давления. Кроме этих величин с помощью определенного интеграла можно решать и другие прикладные задачи, например, найти массу стержня переменной плотности, статические моменты и центр масс плоской фигуры, работу по поднятию груза, длину дуги плоской кривой.

С помощью определенного интеграла мы будем в дальнейшем выводить формулы объемов тел вращения.

В ходе урока были использованы ваши знания, умения и навыки, полученные при изучении нескольких учебных дисциплин: физика, русского языка, иностранного языка, информатики, геометрии.

Я надеюсь, что урок будет способствовать более глубокому усвоению теоретических знаний, повысит интерес к математике, поможет в осмыслении важности её изучения для овладения качеств, необходимых современным высококвалифицированным специалистам.

Приложение 1

Приложение 2