Способы решения рациональных уравнений

Многие уравнения с помощью различных приемов, выполнив подходящие замены переменных, можно свести к квадратным. Рассмотрим некоторые из них.

1) Такое уравнение называется биквадратным.

Замена:
D = 1225 = ,

Ответ:

2)

Замена: тогда получим

Ответ: –2,5, –2, 0,5, 1.

3) В уравнении , перемножая попарно скобки, получим Сделав замену сводим уравнение к квадратному.

4) О.Д.З.:

Замена: тогда получаем
т.к. х0, то получаем

Ответ: –1, –2,

5) Симметрическим уравнением называется уравнение вида где Заметим, что симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = –1, симметрическое уравнение четной степени можно решить, используя замену В школьном курсе математики часто встречаются симметрические уравнения четвертой степени, которые в общем виде можно записать так: где
Решим уравнение О.Д.З.: R.
Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив обе части уравнения на , получим уравнение
Пришли к уравнению, решение которого рассмотрено в п.4.

6) Возвратным уравнением нечетной степени называется уравнение вида где R.

Возвратное уравнение четной степени – это уравнение вида где R.

Заметим, что возвратное уравнение нечетной степени имеет корень

Решим возвратное уравнение четверной степени
О.Д.З.: R. Заметим, что Разделив обе части уравнения на (, получим
Замена : тогда

Ответ:

7) Однородным уравнением ой степени называется уравнение вида которое заменой сводится к алгебраическому уравнению ой степени.

Решим уравнение, которое сводится к однородному уравнению четвертой степени:

О.Д.З.:R.
Заметим, что , поэтому можем разделить обе части уравнения на выражение , получим
, это уравнение заменой сводится к квадратному уравнению

Рассмотрим еще некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным.

8) О.Д.З.: R.
Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому можем разделить обе части его на получим

Замена: Получаем квадратное уравнение

При решении последних уравнений мы пользовались утверждением: при умножении или делении обеих частей уравнения на число или выражение, не равное нулю на области допустимых значений переменной, получаем уравнение, равносильное данному.

Можно использовать и другое утверждение: при делении числителя и знаменателя дроби на число или выражение, не равное нулю на области допустимых значений переменной, получаем уравнение, равносильное данному. Покажем, как используется это утверждение.

9) О.Д.З.: R

Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х, получим Замена: тогда

10) При решении уравнения вида можно воспользоваться заменой

Решим уравнение: Сделаем замену: получим

Ответ: –5, 1.

11) Рассмотрим метод выделения полного квадрата при решении рационального уравнения.

О.Д.З.:



Выполнив замену получим квадратное уравнение

12) Покажем, как при решении уравнений может значительно упростить решение выделение целой части дробного выражения.

О.Д.З.:

Выделять целую часть можно делением «уголком» числителя на знаменатель или, например, следующим образом: Выполняя аналогичные преобразования каждой дроби, получим
замена:

Ответ:

13) Уравнения вида иногда можно решить, раскладывая левую часть уравнения на множители. Раскладывать на множители можно разными способами (вынесением общего множителя за скобки, способом группировки и т.д.) .Рассмотрим один из способов, основанный на подборе корней уравнения по его коэффициентам.

Теорема. Пусть – многочлен с целыми коэффициентами. Если – его рациональный корень ( – несократимая дробь), то делится на
делится на .

Эту теорему можно применять для нахождения корней уравнения с целыми коэффициентами. Если коэффициенты в уравнении не являются целыми числами, то предварительно необходимо умножить обе части его на наименьший общий знаменатель и получить уравнение с целыми коэффициентами.

Решим уравнение:

Если уравнение имеет рациональные корни, то все они содержатся среди возможных значений дроби Проверить, являются ли числа корнями данного уравнения можно по следующему правилу: если х = 1 является корнем уравнения, то сумма всех его коэффициентов равна 0, если х = –1 является корнем уравнения, то сумма коэффициентов, стоящих на четных местах равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах. Нетрудно увидеть, что один из корней нашего уравнения равен 1, а, следовательно, в разложении левой части уравнения на множители будет присутствовать множитель

Второй множитель можно найти либо, разделив многочлен на «уголком», либо, применяя схему Горнера.

Получаем, Можно и дальше применять схему Горнера, а можно, получив квадратный трехчлен, находить его корни по известным формулам.
В итоге получим

Ответ: –3; –2; 0,5; 1.

Следующие задания можно предложить для самостоятельной работы с целью закрепления навыков решения уравнений рассмотренными методами.

1)
2)
3)
4)
5)

6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)