Цель занятия: познакомить студентов с элементами симметрии правильных многогранников.
Задачи занятия:
Обучающие:
- закрепить понятие правильного многогранника;
- научить находить элементы симметрии правильных многогранников.
Развивающие:
- развитие пространственного мышления;
- развитие исследовательских умений;
- развитие познавательного интереса к дисциплине.
Воспитательные:
- способствовать формированию коммуникативной культуры;
- способствовать формированию нравственно-эстетической отзывчивости на прекрасное в жизни и искусстве.
Учебник: Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 18-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 255 с.: ил.
План занятия:
1. Организационное начало занятия.
2. Актуализация знаний (повторение пройденного материала).
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала (работа в парах).
5. Анализ результатов, подведение итогов, выставление отметок, выдача домашнего задания.
6. Рефлексия.
Ход занятия
1. Орг. момент.
2. Повторение темы "Правильные многогранники" (фронтальный опрос).
- Какие геометрические объекты мы изучали на предыдущих занятиях? (слайд 1)
- Дайте определение многогранника.
- На какие два класса можно разделить все многогранники?
- Какой многогранник называется выпуклым?
- Задача (слайд 2).
- Дайте определение правильного многогранника.
- Сколько правильных многогранников вы знаете?
- Назовите их?
- На слайдах найдите и назовите ПРАВИЛЬНЫЕ! Многогранники (слайды 3-12).
- Вовочка утверждает, что нашел еще один правильный многогранник (он изображен на сладе). Объясните ошибку Вовы (слайд 13).
- какие виды симметрий в пространстве вы знаете?
- охарактеризуйте каждый вид симметрии в пространстве (слайды 14-16).
3. Постановка темы и цели урока.
- Какой из многогранников, изображенных на слайде, вам нравится больше (слайд 17)? Почему? (Древние греки считали тождественными понятия красоты и симметрии).
- Как вы думаете, какова же тема нашего сегодняшнего занятия?
- Правильно, симметрии многогранников. Запишите тему в тетрадях.
- Чему мы с вами сегодня научимся?
- Какой же многогранник мы назовем симметричным? (слайд 18).
- Давайте рассмотрим элементы симметрии тетраэдра.
- Имеет ли тетраэдр центр симметрии? (нет)
- Имеет ли тетраэдр оси симметрии? (да)
- Как проходит каждая ось? (через центры противоположных ребер)
- Сколько таких осей? (3)
- Имеет ли тетраэдр плоскости симметрии? (да)
- Как проходят эти плоскости? (через ребро перпендикулярно к противоположному ребру)
- Сколько таких плоскостей? (6)
- Какие из найденных симметрий вы можете произвести с тем тетраэдром, который у меня в руках? (только симметрию относительно прямой)
- Почему нельзя выполнить преобразование, которое соответствовало бы симметрии относительно плоскости? (для этого тетраэдр необходимо разделить на 2 части).
- Симметрии, которые можно выполнить с жестким геометрическим телом, называются поворотами и составляют ровно половину числа всех возможных преобразований этого тела.
4. Закрепление изученного материала (работа в парах).
- А теперь давайте порассуждаем. Преобразование (движение) тетраэдра будет являться симметрией, если в результате тетраэдр будет находиться в первоначальном положении. Так как тетраэдр - жесткая конструкция, то для того чтобы узнать куда при движении перешел тетраэдр, достаточно знать положение его вершин. Сколькими способами вершина №1 может занять место? (4).
- Если первая вершина заняла одно из четырех возможных положений, сколько вариантов останется для вершины №2? (3)
- Сколько вариантов останется вершине №3? (2)
- Вершине №4? (1)
Т.е. получает перестановку на 4-х элементах P4. Число всевозможных перестановок на 4-х элементах P4=4*3*2*1=24.
Поучается, что из 24 возможных симметрий 12 приходится на повороты, а мы нашли только 3 поворота на 1800. Давайте искать остальные.
Я предлагаю все результаты заносить в таблицу (слайд 19).
| Как проходит ось | Порядок оси | Число осей | Число нетождественных поворотов |
| 1 тождественный поворот | |||
| Через центры противоположных рёбер | 2 | 3 | 3*(2-1)=3 |
| Через вершину и центр противоположной грани | 3 | 4 | 4*(3-1)=8 |
| Всего поворотов | 1+3+8=12 | ||
Прежде всего, необходимо учесть тождественное преобразование - поворот на 00 (на 3600) относительно любой оси.
Итак, мы нашли три оси симметрии. На сколько градусов можно повернуть тетраэдр, чтобы он совместился со своим первоначальным положением? (нумерация вершин при этом может измениться) (на 180 и 360). Всего возможны 2 поворота относительно каждой из осей. Такие оси называются осями второго порядка. Посчитаем количество всех поворотов относительно всех осей второго порядка, учитываю при этом, что поворот на 3600 мы уже посчитали. Значит всего таких поворотов 1*3=3.
- Заносим результат в таблицу.
- Какое еще преобразование тетраэдра можно произвести, чтобы он совместился со своим первоначальным положением? (повернуть относительно оси, проходящей через вершину тетраэдра и центр противоположной грани).
Сколько поворотов вокруг этой оси можно совершить? (3 поворота на 120, 240 и 360).
- Правильно, эта ось называется осью симметрии третьего порядка (по числу возможных поворотов), но поворот на 3600 мы уже учли, поэтому нетождественных поворотов у оси третьего порядка - 2. Сколько таких осей? (4).
- Сколько всего поворотов относительно всех осей третьего порядка? (2*4=8).
А теперь считаем 3+1+8=12. Значит, мы нашли все повороты и ничего не потеряли.
- Теперь вам предстоит искать повороты многогранников самостоятельно без моей помощи. Работаем в парах. У каждой пары на столе лежит один из многогранников (додекаэдр, икосаэдр или октаэдр) и бланк с таблицей, который необходимо заполнить и сдать по окончании работы (Приложение 1).
- Также у вас на столах есть спица, которая поможет вам определить оси и их порядок. Если ваш многогранник проклеен скотчем или выполнен из картона и проткнуть его трудно, то вы можете сделать маленькие надрезы с помощью ножниц. Прошу соблюдать осторожность при работе, и правильно передавать ножницы.
5. Анализ результатов, подведение итогов, выставление отметок, выдача домашнего задания.
Давайте подведем итоги нашего занятия?
- Чем мы сегодня занимались?
- Что нового вы узнали на занятии?
- Что нужно проработать дома особенно тщательно?
- Д/З: параграф 3, п. 33 (стр. 71), найти центры и плоскости симметрии октаэдра, додекаэдра и икосаэдра (слайд 20).
6. Рефлексия.
- А теперь возьмите в руки бланки рефлексии (Приложение 2). Подписывать их не нужно. Поставьте любой знак в одной или нескольких клеточках, которые, по вашему мнению, делают высказывание истинным.
Источники.
- http://about-crystall.ru/vyrashhivanie-kristallov-iz-povarennoj-soli
- http://bse.sci-lib.com/article077253.html
- http://f5.ru/omami/post/304584
- http://la-fa.ru/history/history1009.html
- http://mirdp.ru/illyuzii-eshera
- http://mks-mg.ru/2013/05/zhiloj-dom-v-bogote-ot-arxitektora-alberto-gonzalez
- http://podrobnosti.ua/health/2009/04/13/595755.html
- http://ru.wikipedia.org/wiki
- http://trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm
- http://www.apxu.ru/file/0001/0486.jpg
- http://www.upakovano.ru/articles/1530
