Практические приложения подобия треугольников. 8-й класс

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний учащихся.

• Обучающая:
  1)закрепить, обобщить и систематизировать теоретические знания по теме “Подобие треугольников и применение подобия”;
  2) Закрепить умения и навыки решения задач с применением определения и признаков подобия треугольников, на нахождение пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике.
• Развивающая: развитие воображения, фантазии
• Воспитательная: пробуждение интереса к геометрии, к ее практическому применению

Оборудование: компьютер (Презентация); раздаточный материал; табло с названием “Геометрические тяжеловесы” и карманами для карточек – заданий различных уровней сложности; макеты картонных гирь с надписями 10 кг, 20 кг, 30 кг.

1. Повторение теоретического материала по теме “Подобие треугольников и применение подобия к решению задач” по схеме (Приложение, слайды).

Вопросы учителя и предполагаемые ответы учащихся:

1. Что могут обозначать на схеме два верхних треугольника? (Это подобные треугольники.)
2. Что обозначают стрелки, проведенные от этих треугольников? (Треугольники могут быть подобны по определению и по трем признакам подобия.)
3. Сформулируйте определение подобия и три признака подобия.
4. О какой теореме говорит чертеж под знаком вопроса? (Теорему о биссектрисе угла треугольника.)
5. Сформулируйте эту теорему.
6. А о чем вам говорят три нижних треугольника? Что за обозначения на них? Опишите каждый из них. (Учащиеся должны ответить, что первый чертеж соответствует теореме о средней линии треугольника, второй выражает свойства медиан треугольника, третий – утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.)
7. Сформулируйте эти свойства.

2. Устно. Решение задач на готовых чертежах (слайды) – коллективное решение.

Найдите пары подобных треугольников и определите признак подобия:

Треугольники ABC и MNP подобны. Периметр треугольника MNP равен 105. Найдите отношение площадей треугольников.

3. Найти периметр треугольника MNP

3. Тест. Если высказывание истинно – отвечаем “Да”, если ложно – “Нет” (слайд).

1. Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.
2. Два равносторонних треугольника всегда подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
4. Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?
5. Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
6. Если два угла одного треугольника равны 60° и 50° , а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.
7. Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.
8. Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны.
9. Если отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, проведенной из вершины прямого угла, равны 2 и 8 см, то эта высота равна 4 см.
10. Если медиана треугольника равна 9 см, то расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 6 см.

(Каждое задание оценивается определенным количеством баллов, т.к. уровень сложности вопросов различен.) См таблицу (слайд).

Форма проверки теста – взаимопроверка.

Рассказ учителя. Я.И. Перельман в своей книге “Занимательная геометрия” рассказывал о том, как однажды он был удивлен, увидев седого лесничего, который стоя возле огромной сосны, измерял ее высоту маленькой квадратной дощечкой. Будучи маленьким мальчиком, он думал, что измерить высоту дерева можно, только срубив его, или взобравшись на его высоту. Лишь начав изучать геометрию, он понял, до чего просто выполняются такие чудеса. Существует множество способов производить такие измерения при помощи самых простых приборов.

Самый легкий и самый древний способ – тот, который придумал греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры. Он определил высоту пирамиды в Египте, воспользовавшись ее тенью. Фараон и жрецы озадаченно смотрели на этого чудака, отгадывающего по тени высоту огромного сооружения. По преданию, Фалес избрал день и час, когда длина собственной его тени стала равна его росту. В этот момент высота пирамиды должна быть равна ее тени.

Этим способом удобно пользоваться в солнечный день. Но в наших широтах Солнце низко стоит над горизонтом, и воспользоваться приемом Фалеса можно летом. Но существует много других способов измерить высоту больших объектов. Рассмотрим один из них, решив задачу.

Задача 1 . “При помощи зеркала” (рисунок на слайде).

На некотором расстоянии от измеряемого дерева в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево АВ во столько раз выше роста наблюдателя ED, во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя. Почему?

Решение: способ основан на законе отражения света. Вершина А отражается в точке A₁  так, что AB = A₁B. Из подобия треугольников DCA₁ и СЕD (по второму признаку подобия) следует, что

A₁В : ED = ВC : СD.

АВ = A₁В, значит

АВ : ED = ВC : СD.

Геометрическое построение к способу измерения высоты при помощи зеркала:

Этот удобный способ можно применять в любую погоду, но не в густом насаждении, а к одиноко стоящему дереву.

Задача 2. “Геометрия листьев”. (Рисунок на слайде) – коллективное решение проблемной ситуации.

В тени тополя от его корней разрослась поросль. Сорвите лист и заметьте, как он велик по сравнению с листьями родительского дерева, особенно с теми, которые выросли на ярком солнце. Теневые листья возмещают недостаток света размерами своей площади, улавливающей солнечные лучи. В этом разбирается ботаник.

Представьте себе, что он обратился к вам за помощью: нужно найти соотношение площади верхних листочков дерева к площади листочков внизу. Ботаник не знаком с геометрией. А вот вам эта задача по силам.

Как бы вы решили эту задачу? (Идет обсуждение.)

1-й способ. Можно найти площадь каждого листа в отдельности и найти их соотношение. Измерить площадь листа можно, покрыв его прозрачной клетчатой бумагой. Каждый квадратик такой бумаги соответствует 4 кв. мм (листок бумаги, используемый для такой цели называется палеткой). Это, конечно, очень кропотливый способ

2-й способ. Короткий способ решения основан на том, что оба листа, различны по величине, но имеют почти одинаковую форму. То есть это подобные геометрические фигуры.

Учитель: Как относятся площади подобных фигур?

Предполагаемые ответы учеников: площади таких фигур относятся как квадраты их линейных размеров.

Следовательно, если определим во сколько раз один лист длиннее или шире второго, возведем это число в квадрат и узнаем отношение их площадей.

Пример: Лист поросли имеет длину 15 см, а лист с ветви дерева – только 4 см. Во сколько примерно раз площадь листа поросли больше площади листа древесного? (Слайд)

Решение: 15 : 4 = , площадь одного больше площади другого в .

Ответ: порослевый лист больше древесного по площади примерно в 15 раз.

На доске табло “Геометрические тяжеловесы” и три кармашка с написанными на них числами 10 кг, 20 кг, 30 кг. В кармашке с числом 10 кг находятся карточки с задачами, имеющими простое решение (для слабых учащихся) , 20 кг – задачи сложнее, 30 кг – требующие особой сообразительности. Учащиеся по очереди выходят к доске и выбирают задачу по силам. Силачами признаются ученики, сумевшие поднять большой вес, т.е. решившие самостоятельно сложную задачу. Решившие задачу с помощью учителя также получают оценку в конце урока.

Подобраны задачи различного типа на применение подобия треугольников к разным ситуациям и разным геометрическим фигурам для закрепления материала по данной теме.

Наиболее подготовленные ребята решают задачи самостоятельно в тетрадях с последующей проверкой по слайдам на ПК, слабые учащиеся – на черновиках с помощью учителя. Количество карточек в каждом кармашке должно быть рассчитано на всех учащихся, т.к. может оказаться , что слабый ученик захочет попробовать решить задачу второго уровня сложности и т.д.

Задачи по индивидуальным карточкам:

Площади двух подобных треугольников равны 75M²  и 300M² . Одна из сторон второго треугольника равна 9м. Найти сходственную ей сторону первого треугольника.

На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D,E,P соответственно, AB=9см, AD=3см, AP=6см, DP=4см, BE=8см, DE=12см.

Найдите отношение площадей треугольников DBE и ADP; (Ответ: 4)

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O так, что OC=5см, OB=6см, OA=15см, OD=18см.

Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC. (Ответ: 9)

в) Задачи, требующие несложного решения (10 кг).

Треугольники АВС и КМN подобны. АВ= 4см, ВС= 8 см, КМ= 16 см. Найти стороны МN, КN, если стороны АВ и КМ, ВС и МN, АС и КN сходственные.

(Самопроверка.)

7. Домашнее задание: слабо успевающие обучающиеся – № 541, 542.

Хорошо успевающие – № 545, 547.

1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 7–9: М.: Просвещение, 2002.
2. Б.Г. Зив. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. – М.: Просвещение, 2002.
3. Б.Г. Зив, А.Г. Мейлер, А.Г. Баханский. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2000.
4. Я.И. Перельман “Занимательная геометрия”, ТРАДА – ЛИТЕРА, Москва,1994.