Решение квадратных уравнений с параметрами

Цель: организация деятельности учащихся по открытию новых знаний (по формированию навыков решения уравнений второй степени с параметром).

Учебные задачи, направленные на развитие учащихся:

в личностном направлении:

• развитие познавательного интереса к математике через использование нестандартных форм обучения;
• воспитание чувства взаимопомощи и самоконтроля, коллективизма и товарищества, ответственности за работу группы;
• воспитание уважения к мнению каждого ученика;
• развитие логического мышления и культуры речи;

в метапредметном направлении:

• развитие коммуникативных навыков;
• развитие таких приёмов мыслительной деятельности как анализ и синтез, сравнение, обобщение;

в предметном направлении:

• формирование навыков решения уравнений второй степени с параметром аналитическим и графическим способами;
• формирование навыков решения неравенств второй степени.

Формирование УУД:

Личностные УУД:

• осознание смысла учения и понимание личной ответственности за будущий результат;
• осознание того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, а также качество и уровень усвоения;
• способность к волевому усилию (начать работать на занятии);
• формирование учебной мотивации;
• адекватное реагирование на трудности и не боязнь сделать ошибку;
• формирование адекватной самооценки.

Регулятивные УУД:

• умение составлять план и работать с ним;
• внесение необходимых дополнений и корректив в план и в способ действия в случае необходимости;
• определение последовательности действий, перед тем как начать работать.

Коммуникативные УУД:

• умение работать в группе;
• умение вступать в диалог;
• умение сотрудничать;
• умение решать учебные проблемы, возникающие в ходе групповой работы;
• умение выражать свои мысли и логически рассуждать.

Познавательные УУД:

• умение формулировать проблемы и их решать;
• умение владеть способами решения проблем;
• умение строить логическую цепь размышлений;
• развитие рефлексии;
• умение анализа и синтеза, сравнения и обобщения. Основные понятия: квадратное уравнение, параметр, квадратное уравнение с параметром, квадратное неравенство.

Оборудование: Компьютер, проектор, раздаточный материал; документ-камера.

Организация пространства: групповая работа, коллективная, в группах сменного состава, индивидуальная.

Ход урока

“Истина не рождается в голове отдельного человека, она рождается между людьми,
совместно ищущими, в процессе их диалогического общения”.
Бахтин М.М.

I этап. Организационный момент. Мотивация к учебной деятельности. Формулирование темы и цели занятия.

II этап. Открытие новых знаний.

Учитель:

- Ребята, давайте вспомним алгоритм решения квадратного уравнения. Для этого посовещавшись в своих группах, запишите на листе бумаги этот алгоритм. Можно оформить в виде схемы. На работу я вам даю 3 мин.

- Давайте посмотрим, что у вас получилось.

(Учитель просит озвучить учащихся каждой группы их план и более удачный вывешивает на доску или учитель пишет на доске наиболее удачно сформулированные этапы решения уравнения).

- Сейчас мы с вами проанализируем, как решается квадратное уравнение с параметром, в чём их сходство и отличие, и добавим, расширим нашу памятку.

Итак, задание: Решить уравнение х² - х – k = 0.

Как вы думаете, что значит решить квадратное уравнение с параметром?

Итак, приступим!

а = 1

b = -1

с = -k

D = b²- 4ac, D = (-1)² - 4*1*(-k) = 1 + 4k

D = 0 1 корень

1 + 4k = 0

4k = -1

k=- 1/4

D < 0, корней нет

1 + 4k < 0

4k < -1

k<- 1/4

D > 0, 2 корня

1 + 4k > 0

4k > -1

k>- 1/4

Ответ:

1) при k = - 1/4 уравнение имеет 1 корень

2) при k < - 1/4 уравнение не имеет корней

3) при k > - 1/4 уравнение имеет два корня

Учитель:

- Что в нашей памятке надо изменить или добавить?

Стратегия “Зигзаг”

- Сейчас каждый из вас попытается выполнить одно из заданий, лежащих на столе. Выполняя задание, обращайтесь к нашему плану. На работу я вам даю 5 мин.

- Итак, время вышло. Каждый из вас попробовал выполнить индивидуальное задание. Работу продолжаем следующим образом: учащиеся, выполняющие задание № 1 садятся вместе за стол № 1; учащиеся, выполняющие задание

№ 2 садятся вместе за стол № 2; учащиеся, выполняющие задание № 3 садятся вместе за стол № 3; учащиеся, выполняющие задание № 4 садятся вместе за стол № 4. Вы продолжаете работать в группах, обсуждая решение своего задания. На работу я вам даю минут 5-7. В итоге вы должны выполнить задание верно и самое главное, понять ход решения.

- Продолжаем работу. Пересаживаемся на свои места. Начинаете работать с заданием № 1. В каждой группе есть консультант, который объясняет выполнение данного задания подробнейшим образом. И так по цепочке: с первым заданием закончили, продолжаете выполнять второе. И так все четыре задания должно быть решено у вас в тетради. На работу 10-15 минут.

Учитель:

- Чем отличалось выполнение вашего задания от плана на доске?

- Обратим внимание ещё раз на решение ваших заданий.

Использование документ - камеры, несколько тетрадей (по одной), идёт беглый анализ выполнения задания.

- Какие вопросы у вас возникли?

- С какими трудностями вы столкнулись на занятии? Может быть по его организации?

III этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Учитель: - Подведём итоги нашей встречи.

- У вас на столах есть три полоски разного цвета. Если ты хорошо усвоил тему, то в коробочку кладёшь красное сердечко; если не совсем разобрался в рассмотренном вопросе и надо ещё потренироваться в выполнении данных заданий, то кладёшь жёлтое сердечко; если материал не понятен, ничего не усвоил, то кладёшь в коробочку синюю снежинку.

- Итак, посмотрим, что у нас получилось!

- Красных........ Жёлтых ...... Синих .......

- Я думаю, мы ёще вернёмся к этим заданиям на следующем занятии, чтобы наши снежинки навсегда растаяли.

- Всем спасибо за работу! Урок закончен.

№ 1

При каких значениях k уравнение х² + kx + 2 = 0 имеет корни?

№ 2

При каких значениях k уравнение 3х² + kx + 1 = 0 не имеет корней?

№ 3

Найдите все целые значения k при которых уравнение kx² - 6x + k =0 имеет два корня.

№ 4

При каких значениях с уравнение х² - 18х +100 =с имеет корни?

Проверка решения:

№ 1

При каких значениях k уравнение х² + kx + 2 = 0 имеет корни?

Уравнение квадратное имеет корни при условии, когда D 0.

a=1

b = k

c = 2

D = k²- 4*1*2 = k² - 8

D 0

k² - 80

рассмотрим функцию: y= k² - 8

найдём нули функции: у = 0 k² - 8=0

k² = 8

• Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие.

k = 3, k = 10

№ 2

При каких значениях k уравнение 3х? + kx + 1 = 0 не имеет корней?

Уравнение квадратное не имеет корней при условии, когда D < 0.

a= 3

b = k

c = 1

D = k²- 4*3*1 = k² - 12

D < 0 k² - 12<0

рассмотрим функцию: y= k² - 12

найдём нули функции: у = 0

k² - 12=0

k² = 12

• Приведите пример отрицательного значения k, при котором выполняется это условие.

k = - 2, k = - 1

№ 3

Найдите все целые значения k при которых уравнение kx² - 6x + k =0 имеет два корня.

Уравнение квадратное имеет два корня при условии, когда D > 0.

a=k

b = -6

c = k

D = (-6)²- 4*k*k = 36 - 4k²

D > 0

36 - 4k² > 0

рассмотрим функцию: y= 36 - 4k²

найдём нули функции: у = 0; 36 - 4k² =0

-4k² = - 36

k² = 9

k = -3

k = 3

уравнение имеет два корня при k (- 3; 3)

Ответ: все целые значения k = -2; -1; 1; 2.

• Почему нельзя взять k = 0?

(т.к. при подстановке в уравнение мы получим уравнение линейное)

№ 4

При каких значениях с уравнение х² - 18х +100 =d имеет корни?

Выполнить преобразование: приравнять уравнение к нулю х² - 18х +100 - d = 0

a= 1

b = -18

c = 100 – d

Уравнение квадратное имеет корни при условии, когда D 0.

D= (-18)² - 4*1*(100-d) = 324 – 400 + 4d = 4d – 76

4d – 76 ? 0

4d 76

d 19

Ответ: уравнение имеет корни при d [19; )

• Какое преобразование дополнительно выполнено, прежде чем приступить надо к решению?

(привести уравнение к квадратному виду)