Актуальность урока.
Знание этой темы открывает большие перспективы для дальнейшего эффективного усвоения учебного материала по математике. Уход от механического запоминания информации и выход на уровень ее осмысления и осознания позволяют органически связать между собой задачи обучения, развития и воспитания. Практическая значимость вопроса о вычислении объемов геометрических тел неоспорима. Этот урок интересен для педагогического роста учителя богатством выбора задач формирования сложных меж предметных умений ученика.
Цели урока:
- усвоение всеми учащимися стандартного минимума фактических сведений о вычислении объемов геометрических тел;
- формирование умений: самоанализа, творческого мышления (идет развитие правого полушария, то есть образного восприятия информации, обобщения путем сравнения);
- развитие психологических качеств личности: абстрагирования; выдвижения гипотез, формулирование и разрешение проблем; произвольного внимания, коммуникативности общения, ясности речи и рефлексии учащихся;
- определение зоны ближайшего развития учащихся (контроль рабочего объема памяти ученика; состояние речи у отдельных учащихся; развитие самоконтроля);
- определение результативности и эффективности само и взаимопроверки усвоения обязательного минимума знаний; приема групповой защиты решения задачи; диалога учащихся.
Тезис урока:
Что без меня предметы?
Лишь названия.
А я приду – все в действие придет:
Летит ракета, люди строят здания,
Цветут сады, и хлеб в полях растет.
Ход урока
Установление контакта учителя с учениками.
- Вниманию учеников предлагаются два изображения.
Учитель просит установить связь между этими объектами.
“Конус – шишка” (греческий перевод).
Идет конструктивный разговор о понятиях и формулах, связанных с конусом.
- Что сегодня мы узнаем? Чему научимся? Что сумеет сделать каждый?
- Как вы думаете, для чего дамы в средневековье носили длинный конус-колпак на голове?
Если вы скажете, что мода такая была, то вы ошибётесь. Ответ прост, они считали, что под колпаком собирается энергия, которая в свою очередь сделает их сильнее и умнее. Водружаем на голову колпак и энергично отправляемся на поиск новой информации о конусе.
Первичная актуализация знаний. Решение задач по готовым чертежам .
1. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 600. Радиус основания r. Вычислить боковую поверхность конуса и его объем.
Решение:
2. В прямоугольном параллелепипеде измерения относятся как 5:3:2. Его объем равен 240 см. Вычислите измерения параллелепипеда.
Решение:
Ответ: 4см; 6см;10см.
3. Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 см вращается вокруг одного из них. Вычислите объем полученного тела вращения.
Решение:
4. Высота равностороннего цилиндра равна 6 см. В равностороннем цилиндре высота равна диаметру основания. Вычислите боковую поверхность цилиндра и его объем.
Решение.
Системная актуализация. Защита решения задачи.
- На основании прямого кругового конуса лежат три шара радиуса r . На них лежит четвертый шар того же радиуса. Каждый из этих шаров касается боковой поверхности конуса и трех шаров. Найти высоту конуса и его объем.
Решение математических задач требует от учащихся применения многочисленных мыслительных умений. Они должны анализировать заданную ситуацию; сопоставлять данные и искомые величины; сравнивать решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели; осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать найденные факты, отбирая полезную для решения задачи информацию. Поэтому предлагаю ребятам решение сложных задач готовить заранее в виде групповой защиты своей работы. Группа, защищающая решение задачи, составляется по принципу взаимодополняемости и малоконфликтности. В группе обязательно присутствует сильный лидер, два сильных референта, она работоспособна и управляема.
1. Демонстрируются модели, иллюстрирующие задачу: каркасная, пластилиновая, компьютерный вариант.
2. Предлагается чертеж осевого сечения:
A, B, C – центры шаров, лежащих в основании конуса, D – центр четвертого шара.
Основание конуса параллельно плоскости АВС и удалено от нее на расстоянии r.
Тетраэдр АВСD – правильный со стороной 2r.
Докажем, что высота конуса проходит через точку D и центр треугольника АВС.
Высота тетраэдра АВСD проходит через центр АВС.
Плоскости основания конуса и плоскость АВС параллельны, т. е. высота конуса и высота тетраэдра параллельны между собой.
Пусть K, L, M – проекции точек А, В, С на основание конуса. Ясно, что КLM есть равносторонний треугольник со стороной 2r.
В плоскости сечения конуса, проходящей через его высоту SH и точку А, сечением первого шара будет окружность, вписанная в угол SPH.
Рассмотрим треугольник АPK, где РА – биссектриса угла SPH .
Тогда HK = R – r·ctg (a/2), где R– радиус основания конуса, a – угол SPH.
Равносторонний треугольник вписан в окружность, концентрическую с основанием конуса и имеющую радиус R – r·ctg (a/2). Значит, центр треугольника КLM совпадает с центром основания, а, значит, с центром треугольника АВС.
Вывод: точка D проектируется в центр основания.
Обозначим точки касания сфер с центрами А и D с образующей SP через N и Q.
По условию сферы имеют одинаковый радиус, радиусы перпендикулярны касательной SP, значит, отрезок DK параллелен образующей SP.
= a,
где G – центр треугольника АВС.
DG –высота правильного тетраэдра АВСD, т.е.
- После отчета группы о проделанной работе, учащиеся класса задают им вопросы
- Какова практическая значимость задачи? (Объём конуса и объём шара подсчитывается при расчете веса мороженого в вафельном стаканчике, для расчета светового потока в конусовидном абажуре, для изучения различных биологических и географических процессов и т.д.)
Можно ли рассчитать объем конуса при заданных условиях или потребуется дополнительные параметры?
- Применение конуса в кулинарии.
Конус – хищная улитка, притом ядовитая. Охотятся они при помощи зуба – пронзают им жертву, как гарпуном. Питаются морскими червями, моллюсками и небольшими рыбами.
С людьми конусы тоже не сюсюкаются. Могут ужалить ничуть не хуже пчелы – и последствия могут быть довольно неприятными. Возможен даже смертельный исход.
Но зато медики конусов любят. Их яд считается очень перспективным веществом с медицинской точки зрения. Его тщательно изучают и стремятся ввести в широкое производство.
А можно ли использовать эту модель в современной архитектуре?
- Весь класс в форме активного обучения повторил теорию круглых тел, в классе состоялся активный диалог.
Проверка аналитического восприятия темы. Расчет комфортности жилища.
(Учитель меняет методику закрепления нового материала и предлагает ребятам заняться аналитическим методом восприятия темы “Объемы тел”/)
Расчет комфортности жилища определяется по формуле
Сравним комфортность нашей классной комнаты с комфортность чума у чукчей.
Намного ли нам комфортнее?
Рассчитаем комфортность классной комнаты. Ее размеры: 7м; 3,5м; 12м.
V = abc = 7·12·3,5 = 294(м2);
S = 2˖(ab + AC + BC) = 2(7·12 + 12·3,5 + 7·3,5) = 301(м2);
- Расчет комфортности чума.
В русском языковом сознании слово “чум” обычно ассоциируется с чукчами, а вообще чумами, чтобы не заморачиваться, зовут все конические шалаши северных жителей. На самом деле, слово это происходит из финно-угорских языков и вовсе не из Сибири. У коми “тсом”, у удмуртов “цум” – это конусовидное лесное или прибрежное хранилище припасов. Так же, к слову, называется мера расстояния – перегон по реке от одного чума до другого. Русские научились этому слову у удмуртов. А когда продвинулись дальше на север и на восток, они увидели, что всякие “дикие сибирские обыватели” в чумах – живут. И саамы, которые лопари, в общем, тоже в них живут, хоть и не сибиряки. Конечно, у всех этих народов жилища назывались, да и выглядели по-разному. Вот, например, кувакса саамов:
Они крыли её мешковиной или брезентом.
А это кота. Тоже саамская. Полностью деревянная.
Чум тунгусов-эвенков назывался дю. Тунгусы были пешими кочевниками, Сибирь они освоили третьими – после палеоазиатов и юкагиров. Возможно, именно они и научили все местные племена строить чумы. А может, наоборот, научились у них. Хотя, по-хорошему, конструкция эта настолько проста, что, скорее всего, просто её придумали одновременно разные люди в разных местах.
А теперь, собственно, к чукчам. Чукчи живут в ярангах. Вот в таких:
Яранга, конечно, немного похожа на чум, но конструкция у неё сложнее, об этом чуть позже, а сейчас рассчитаем комфортность чума.
=45,05%
Ответ: чум оказался комфортнее классной комнаты.
Как показывают типовые расчеты, коэффициент комфортности всегда меньше единицы. Дома вы сможете просчитать комфортность вашего жилья. Существует единственное геометрическое тело, имеющее коэффициент комфортности, равный единице, это шар. Каждый из нас видел неоднократно, как в холодную ночь кот готовится ко сну. Он поджимает под себя лапы и становится шарообразным.
Но это уже другая история, о ней мы состоится разговор на следующем уроке. Наш разговор пойдет о том, что заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы.
- Удивительно, но наш чум оказался комфортнее классной комнаты. Как показывают типовые расчеты, коэффициент комфортности всегда меньше единицы. Дома вы сможете просчитать комфортность вашего жилья. Существует единственное геометрическое тело, имеющее коэффициент комфортности, равный единице, это шар. Каждый из нас видел неоднократно, как в холодную ночь кот готовится ко сну. Он поджимает под себя лапы и становится шарообразным. Но это уже другая история, о ней мы состоится разговор на следующем уроке. Наш разговор пойдет о том, что заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы.
Домашнее задание.
“Читал я где – то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, и царь мог с высоты веселье озирать:
И дол, покрытый белыми шатрами, и море, где бежали корабли”.
Как вы думаете, кто из наших соотечественников написал эти строки? Как вы думаете, какие формулы нам потребуются для вычисления массы этого холма?
Запишите домашнее задание: Рассчитать комфортность вашей комнаты и комфортность проживания в яранге, данные возьмите из интернета. Определите массу холма, который описывает великий А.С.Пушкин в “Скупом рыцаре”. Подготовьтесь к самостоятельной работе № 17 из сборника.
Тест по материалам ЕГЭ (материалы прилагаются).
Тест рассчитан на проверку усвоения учащимися темы урока.
1. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости
основания под углом 300.
В ответе укажите
.
2. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?
3. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?
4. Цилиндр и конус имеют общие основания и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.
5. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π.
6. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
7. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π.
8. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.
9. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Итог урока.
Вот и подошел к концу урок, посвященный, вычислению объема конуса. Где бы вы ни очутились после окончания школы, всюду вы встретите круглые тела: кирпич с отверстиями; графитные стержни; резервуары нефтеперерабатывающих заводов, ведра и подшипники, вулканы и их кратеры, воронки для переливания жидкостей и смерчи. Словом, вам придется самостоятельно моделировать жизненные ситуации, а я буду гордиться вашими безошибочными расчетами.
Эдгар Дейл в 1969 году выявил наиболее эффективные способы обучения.
Эдгар Дейл пришел к выводу, что:
– слушать лекции на тему или читать материалы по предмету – это наименее
эффективный способ выучить что-либо;
– обучать других и использовать изучаемый материал в собственной жизни – это
наиболее эффективный способ выучить что-либо.
Результаты исследований он представил в виде схемы “Конус обучения”.
Рефлексия.
- Какое событие урока поразило вас своей неожиданностью?
- С какими моментами урока вы не согласны?
- Какие вопросы сегодняшнего разговора требуют доработки?