Интегрированный урок (физика + математика) "Применение производной при решении прикладных задач"

Разделы: Математика, Физика

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.
В.П. Ермаков

(Приложение 1. Слайд 2)

Урок № 1

(Повторительно-обощающий.)

(Слайд 3–7)

Цель урока: Повторить, обобщить, систематизировать изученный материал.

Задачи урока:

Образовательные:

Углубление понимания сущности производной путем применения ее для получения новых знаний;
Установление межпредметных связей;

Воспитательные:

Воспитание познавательного интереса к учебному предмету
Воспитание у учащихся культуры мышления;

Развивающие:

Формирование умений строить логическую цепочку рассуждений;
Формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию;
Развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий
Познакомить учащихся с историей возникновения понятия “Производной”
Повторить правила вычисления производной;
Повторить схему исследования функции с применением производной и рассмотреть пример;
Рассмотреть пример применения производной в задачах геометрического содержания;
Определить физический смысл производной, рассмотреть использование механического истолкования производной при решении задач, связанных с физическим смыслом;
Формировать умения учащихся логически мыслить, развивать математическую речь;
Способствовать развитию познавательного интереса учащихся к математике и физике.

Оборудование:

интерактивная доска;
проектор;
компьютер;
карточки с задачами.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Цели и задачи урока
3. Из истории “Производной” (Выступление учащегося).
4. Применение производной к исследованию функции (выступление учащегося с разбором примера, учащиеся ведут записи).
5. Применение производной при решении прикладных (выступление учащегося с разбором примера, учащиеся ведут записи).
6. Применение производной в решении физических задач (выступление учащегося, учащиеся ведут записи).

Ход урока

1. Учитель сообщается тему и цели урока. (Приложение 1)

2. Выступает учащийся с сообщением “Из истории возникновения понятия “Производная”.

1) Учащийся предлагает классу разгадать кроссворд:

(Слайд 8.)

1. Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так: “Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки”.
2. В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятиям, как “скорость движения в данный момент времени” и “касательная к кривой в заданной точке”.
3. Приращение какой переменной обычно обозначают (дельта)x?
4. Если существует предел в точке А и этот предел равен значению функции в точке А, то в этой точке функцию называют…(Подсказка: График такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва бумаги.)
5. Эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое большое значение по сравнению со значениями в близких точках.
6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.
7. Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t) и t=h(x) – некие функции, то функцию f называют…

Из биографии Лагранжа: (Слайд 9.)

Лагранж Жозеф Луи (1736–1813).

Лагранж Жозеф Луи – французский математик, астроном и механик. Наряду с Эйлером – лучший математик 18 века. Родился в Турине 25 января 1736 года.

Отец – полуфранцуз, полуитльянец. Служил в Турине (Италия) военным казначеем Сардинского королевства. Хотел, чтобы сын стал адвокатом и определил его в Туринский университет.

Но в руки Лагранжа случайно попал мемуар по математической оптике, и это изменило приоритеты, с этого момента он стал активно изучать математику. Как результат – уже в 19 лет стал преподавать математику в Королевской артиллерийской школе в Турине. В этой школе он организовал научное общество, из которого впоследствии была сформирована Туринская Академия наук.

В 1755 году Лагранж послал Эйлеру одну из своих работ и в ней он решил ряд задач, которые сам Эйлер решить не смог. Эйлер вместе с Даламбером рекомендует молодого ученого в Берлинскую Академию наук, в которую Лагранж и был избран в октябре 1756 года.

В 1764 году работа Жозефа Лагранжа, посвященная либрации Луны и представленная на конкурс в Французскую Академию наук, была удостоена первой премии. В 1766 году – следующая премия за теорию движения спутников Юпитера. И впоследствии еще 3 премии за различные работы.

По рекомендации Даламбера и Эйлера, Лагранж был приглашен прусским королем Фридрихом II и переехал в Берлин. Сначала он руководил физико-математическим отделением Академии наук, а позже стал президентом этой Академии. Берлинский период оказался самым плодотворным в жизни ученого.

В 1767 году Лагранж женился на своей кузине по матери Виктории Конти, но через 16 лет она умерла.

После смерти Фридриха Великого в 1786 году в Германии наступил период апатии к науке, волна возмущений против “непруссаков” – все это сделало Берлин непривлекательным местом жительства для иностранцев, работавших в Академии. Лагранж добился отставки. Но эта отставка была дана ему на унизительных условиях: он еще в течение нескольких лет должен был посылать научные статьи в Берлинскую Академию. Жозеф Луи Лагранж принял все эти условия.

В 1787 году Людовик 16 пригласил Лагранжа стать членом Французской Академии наук и перебраться в Париж. Париж встретил ученого с большими почестями, в Лувре ему была предоставлена квартира, в которой он прожил до начала революции.

В первые годы революции друзья убеждали Лагранжа вернуться в Берлин, но он отказался, желая “увидеть этот эксперимент полностью”. Но когда наступил террор, он горько пожалел, что не покинул страну вовремя, а бежать уже было поздно. Он не причислял себя ни к революционерам, ни к защитникам монархии. Четко придерживался середины.

Относились к нему терпимо. Специальным декретом была пожалована пенсия. А в период инфляции его назначили членом Комитета изобретений, затем Комитета монетного дела. Кроме того, Лагранж занимался разработкой метрической системы мер и весов и нового календаря.

В этот период была идея перехода от десятичной системы счисления (которая существует уже почти тысячу лет и к которой все привыкли), к двенадцатиричной. Только благодаря своей иронии и здравому смыслу, Лагранжу удалось удержать число 10.

Лагранж вторично женится в 1792 году на Рене-Франсуазе-Аделаиде Лемонье, дочери своего друга-астронома. И этот брак оказался удачным.

С 1795 года Лагранж переходит на преподавательскую работу. Сначала он – профессор математики в Нормальной школе, затем, когда была основана Политическая школа, тоже стал первым ее профессором.

Ирония судьбы заключалась в том, что величайший математик стал подготавливать молодое поколение, которое впоследствии влилось в когорту наполеоновских военных инженеров.

В эти годы Лагранж публикует такие фундаментальные работы, как “Теория аналитических функций” и “О решении численных уравнений”, и в них он подытожил все, что было известно в то время, заложил новые идеи, которые были развиты уже математиками следующего, 19 века.

За 2 дня до смерти он сказал друзьям “… Я сделал свое дело, я добился некоторой известности в математике. Я никогда никого не ненавидел, я не делал ничего плохого…” . Он умер на 78 году жизни, утром 10 апреля 1813 года. Похоронен в Пантеоне.

3. Повторение схемы исследования функции с применением производной.

(Слайд 10, 11.)

Учащийся с заранее подготовленным решением выходит к доске и предлагает разобрать следующее задание:

Исследовать и построить график функции вида:

Учащийся записывает этапы исследования функции на доске, отдельные этапы сопровождаются слайдами:

– нули функции; (Слайд 14)
– промежутки знакопостоянства; (Слайд 15)
– промежутки возрастания и убывания функции, критические точки; (Слайд 16)
– Таблица; (Слайд 17)
– график функции. (Слайд 18)

4. Схема применения метода поиска наибольших и наименьших значений функции при решении прикладных задач.

(Слайд 19, 20.)

Учащийся с заранее подготовленным решением выходит к доске и предлагает разобрать следующую задачу:

(Слайд 21.)

Задача: Площадь прямоугольника 64 кв.см. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

5. Применение производной при решении физических задач:

(Слайд 21, 22.)

Заслушать подготовленные заранее сообщения учащихся по примерам применения производных в физике, систематизировать полученные знания, показать формулы из физики и экономики, где используется производная, на интерактивной доске.

– Механическое движение (учитель комментирует этот раздел по подготовленным слайдам).

(Слайд 23–26.)

В этом разделе рассматривается механический смысл производной:

Производная от координаты по времени есть скорость.

x'(t) = n (t)

Производная от скорости по времени есть ускорение.

n'(t) = а(t)

Учащийся № 1 предлагает задачу с разбором решения.

Задача № 1. (Слайд 27, 28)

Дано:

x(t)=-270+12t

Найти: ט(t); а(t)-?

Решение:

1. ט (t)=x’=(-270+12t)’= (-270)’+(12t)’=0+12=12 м/c

2. a(t)= ט’=x’= (12)’= 0 м/с²

Ответ: 12м/с, 0 м/с²

Зачада № 2. (Слайд 29, 30, 31.)

Дано: x(t) = – 5t 3+ 2t 2 + 5t

Найти: ט = ט (t );

а = а (t )

Решение:

1. (t)=x’=(-5t3)’+(2t2)’+(5t)’=

-15t²+2•2t+5•1 =>

ט(t)=-15t²+4t+5

(Уравнение, описывающее скорость движения тела.)

t=1с, то

a(t)=-30t+ 4

(Уравнение, описывающее ускорение тела.)

Если t=0 c, то a(0)=4 м/c²

t=1 с, то

а(1)=-30+4=-26 м/c²

Ответ: ט(t)=-15t²+4t+5 ; a(t)=-30t+ 4

– Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону sin или cos.

(Учитель комментирует этот раздел по слайдам 33, 34, 35.)

Общий вид уравнения, характеризующий гармонические колебания;

Ввод параметров, определяющих гармонические колебания;

Учащийся № 2 разбирает задачу № 3 (Слайд 36, 37, 38.)

Определить по графику период, амплитуду и частоту колебаний. Найти максимальную силу, действующую на тело массой 150 г.

Решение:

Из графика:

x_max= 0,4(м); Т=0,4(с); φ0=0.

ν = 1/Т = 1/0,4 = 2,5(с^-1)

Х= 0,4sin(2π•2,5t) = 0,4sin5πt

V= x’= (0,4sin5πt)’= 2πcos5πt,

где V_max = 2π = 6,28 (м/с)

а =V’=(2πcos5πt)’=

= -2π5πsin5πt = -98,6sin5πt

где a_max= -98,6 м/с²– амплитуда ускорения

F = m•a_max

F = 0,15•(-98,6)= -14,8 [H]

Ответ: x_max= 0,4(м); Т=0,4(с);

ν=2,5с^-1; F = -14,8 [H].

Урок № 2 (продолжение)

Цель урока: Закрепить полученные знания при решении различных прикладных задач, контроль знаний учащихся.

Задачи урока:

1. Способствовать выработке навыков в применении производной к решению прикладных задач.
2. Развивать логическое мышлении при установлении связи физических величин с понятием производной.
3. Воспитывать умение работать в коллективе, брать на себя ответственность за принятое решение.

План урока:

1. Учитель ставит цели и задачи урока перед учащимся.
2. Учащиеся класса делятся на группы.
3. Каждая группа получает карточки с задачами
4.Учащиеся решают задачи в группах с последующим самоконтролем по готовому решению, которое предлагает учитель, ведут записи в тетрадях.
5. Подведение итога урока, выставление оценок, запись д/з

Ход урока

Формулы из физики и экономики, где используется производная:

υ(t) = х^/(t) – скорость.
a(t) = υ^/(t) – ускорение.
J(t) = q^/(t) – сила тока.
C(t) = Q^/(t) – теплоемкость.
d(l) =m^/(l) – линейная плотность.
K(t) = l^/(t) – коэффициент линейного расширения.
ω(t) = φ^/(t) – угловая скорость.
а(t) = ω^/(t) – угловое ускорение.
N(t) = A^/(t) – мощность.
П(t) = υ ^/(t) – производительность труда.
где υ (t) – объем продукции.
J(x) = y ^/ (x) – предельные издержки производства, где y – издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

II. А) Работа в группах (15 минут)

I группа.

Тема: “Прямолинейное движение материальной точки”.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t + 0,4t² . Каков характер движения точки? Найти координату, скорость и ускорение точки в момент t = 5с.

Координата движущейся прямолинейно материальной точки меняется по закону
x(t) = -2t³ + 4t² + 0,5t. Запишите уравнение зависимости скорости и ускорения от времени. Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

Вывод: Производная от координаты по времени есть скорость, а от скорости по времени – ускорение. Ускорение – вторая производная от расстояния по времени, т. е. производная от скорости по времени.

II группа

Тема: “Исследование функции с применением производной и построение графика”.

1. Повторить схему исследования функции .

2. Исследовать функцию и построить график:

III группа.

Тема: “Механические колебания”

Что такое колебание? Какие колебания называются гармоническими?
Координата материальной точки, совершающей гармоническое колебание, изменяется по закону: х(t)=20sin4pt; Определить амплитуду колебаний, максимальное значение скорости и ускорения точки.
Тело участвует в гармоническом колебании, происходящем по закону:
х(t)=0,5 cos (2pt +). Записать уравнения изменения его скорости и ускорения по времени. Чему равна координата, скорость и ускорение тела в момент t=0,5 с?

IV группа.

Тема: Решение практических задач.

1. В чем суть метода математического моделирования?
2 . Задача: В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 50 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, две другие на боковых сторонах. Найдите стороны прямоугольника.

III. Выработка коллективного решения о применении производной в различных областях естественных наук.

Учитель консультирует группы в поисках решения, координирует их деятельность, следит за решением задач. Наиболее активные учащиеся в группах поощряются положительной оценкой. Группа может проверить свое решение по готовому, предложенному учителем.

Учитель математики: А теперь подведем итоги урока, ответив на вопросы:

Что дают нам знания о производной?
Какие задачи можно решать, используя физический и геометрический смысл производной?

IV. Итог урока:

– Мы сегодня повторили применений производной при решении различных математических и физических задач.

Интеграция знаний.

Таблица связи понятий физики и математики.

Понятия на языке физики	Обозначение и формулы	Понятие на языке математики
Время	t	Независимая переменная, аргумент.
Положение материальной точки, ее координата.	x	Зависимая переменная.
Закон движения.	x = f(t)	Функция.
Приращение времени, интервал времени.	Δt = t₂ – t₁	Приращение аргумента.
Перемещение.	Δx = x(t₂) – x(t₁)	Приращение функции.
Средняя скорость.	v_{ср =}	Отношение приращения функции к приращению аргумента.
Скорость (мгновенная)	v(t) = lim v_ср. v(t) = x′(t)	Производная.
Закон, описывающий равномерное движение.	= v =const x – x₀= v(t – t₀)	Линейная функция.
Скорость равномерного движения.	V = x′ = k	Коэффициент при t, угловой коэффициент прямой.
Закон, описывающий равноускоренное движение.	x = at²/2 + v₀t + x₀	Квадратичная функция.
Скорость равноускоренного движения.	v = x′ = at + v₀	Линейная функция.
Ускорение равноускоренного движения.	a = v′	Удвоенный коэффициент при t.

Те вопросы, которые мы сегодня рассмотрели, помогут вам при решении задач по математике и физике на экзаменах.

Литература

Учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н.Колмогорова, М , 2010г, Изд-во Просвещение.
Газета “Математика”, № 24 , Статья “Применение производной”, авт. Н.Муратова, Изд-во “Первое сентября”, 2005 г.
Рымкевич А.П. “Сборник задач по физике”, Изд-во Дрофа, М., 2006 г.
Волков В.А. Поурочные разработки по физике 11 класс. Изд-во “ВАКО”, 2006 г.
www.wikipedia.ru

23.10.2013