Цели урока: формирование понятия геометрической прогрессии как числовой последовательности особого вида; вывод формулы n-го члена геометрической прогрессии; закрепление умения и навыка применять данную формулу.
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний.
1. Вставьте пропущенное число:
| а) | 1) 18, 21, 24, 27, ? | 2) 2,?, 6,… | 3) 1, 3, 9, 27, ? |
| б) | 1) 7, 10, 13, 16, ? | 2) 9,?, 21,… | 3) 5, 10, 20, 40,? |
| в) | 1) 4, 9, 14, 19, ? | 2) 3,?, 13,… | 3) 2, 6, 12, 24, ? |
Какой прогрессией является каждый пример?
(Первый пример является арифметической прогрессией. Второй пример тоже арифметическая прогрессия, неизвестное число находится как среднее арифметическое. Вопрос учителя: «А третья последовательность, чем отличается от других? Как находится каждый член этой последовательности?» Ожидаемый ответ учащихся: «Умножая предыдущий член на одно и то же число».)
2. Найдите среднее геометрическое чисел 16 и 25; 9 и 36; 49 и 81; 0,25 и 25.
3. Решите уравнение: b2 = 3; b2 = - 3; b3 = 27; b3 = - 27.
4. Упростите выражение
; 
; 
.
II. Объяснение нового материала.
Выпишите последовательность, соответствующую условию задачи.
1. Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи сутки? На 8-е сутки? (256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1,….)
Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Делением предыдущего члена на 2 или умножением на 0,5)
2. Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 р.? (1000; 1050; 1102,5; 1157,625; 1215,5025; …)
Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Умножением предыдущего на 1,05.)
3. Бактерия за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? (1; 3; 9; 27; 81;…)
Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (Умножением предыдущего на 3.)
4. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на 2. Сколько их будет за 7 минут? (1, 2, 4, 8, 16, 32, 48, …)
Как получается второй член последовательности? Третий? Восьмой? (умножением предыдущего на 2)
Выписанные последовательности называются геометрическими последовательностями. Каким образом образовывались члены данных последовательностей? (умножением на одно и то же число).
Даётся определение геометрической прогрессии. Дать определение пробуют сами ученики. После этой работы даётся точное определение.
Геометрической прогрессией называется такая последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Задайте каждую последовательность рекуррентным способом:
- b1 = 256; bn = 0,5 bn-1;
- b1 = 1000; bn = 1,05 bn-1;
- b1 = 1; bn = 3 bn-1;
- b1 = 1; bn = 2 bn-1.
Таким образом, (bn) - геометрическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполнено условие b1 = b (b ≠ 0) и bn+1 = qbn , где q – некоторое число, (q ≠0). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
- Как найти знаменатель геометрической прогрессии? (q = bn+1/bn)
- Что необходимо знать, чтобы задать геометрическую прогрессию?
- Является ли последовательность геометрической прогрессией? Если да, то найти знаменатель q.
- 1; 3; 9; 27;.. . (q = 3)
- – 1; 2; 4;... (не является геометрической прогрессией)
- – 2; – 6; – 18; 54;… (не является геометрической прогрессией)
- 5; – 5; 5; – 5; ...(q = – 1)
-
; 3; 3; 9; 9;...(q = )
Выведем формулу п – го члена геометрической прогрессии. Рассмотрим один из примеров
1; 2; 4; 8; 16;...
b2 = b1 ∙ q
b3 = b2 ∙ q
b4 = b3 ∙ q
- - - - - - - - - - - - -
bn-1 = bn-2 ∙ q
bn = bn-1 ∙ q
Всего (n – 1) равенство. Перемножим левые и правые части этих равенств, сокращая общие множители.
Получим bn = b1 ∙ qn – 1 - это формула n-го члена геометрической прогрессии.
III. Закрепление изученного материала.
Решение задач по учебнику: № 387(в, г), №388, №389(в, г).
IV. Подведение итогов.
V. Домашняя работа.
п. 18, № 387(а, б), №390, № 391(а, б), №405.