Применение производной к исследованию функции. Возрастание и убывание функции

Цели урока:

• образовательная: повторить определение монотонной функции; закрепить навыки работы с графиками функций; познакомить с алгоритмом нахождения промежутков возрастания и убывания функции с применением производной; научить учащихся пользоваться этим алгоритмом.
• развивающая: развивать умение мыслить; развить навыки исследовательской и познавательной деятельности; развить навыки самопроверки; развить умение выполнять умственные операции: обобщение, сравнение, анализ, делать вывод.
• воспитывающая: воспитание устойчивого интереса к предмету, навыков коммуникативности, эстетических вкусов.

Ход урока.

Вводное слово учителя. Слайды №1-3.

Актуализация знаний учащихся.

Устная работа по готовым чертежам. Вопросы для повторения изученного материала.

Монотонность функции.

1.1.Возрастающая функция. Зависимость между аргументом и значением функции. Слайд №4.

1.2.Убывающая функция. Зависимость между аргументом и значением функции. Слайд №5.

1.3.Определение монотонной функции. Функции, монотонные на всец области определения, на промежутке. Слайд № 6.

2. Геометрический смысл производной. Слайд № 7.

Постановка проблемы для установления зависимости между характером монотонности функции и знаком ее производной и работа по ее решению.

Можно ли определить характер монотонности функции на заданном промежутке, не выполняя построения графика функции? Слайд № 8.

• Поисковая работа учащихся по установлению зависимости между функцией, возрастающей на данном интервале и знаком ее производной. Возьмем произвольную точку на графике функции с абсциссой х₁и проведем касательную к графику функции в данной точке. Найдем угол наклона, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох. Угол наклона – острый. Используя геометрический смысл производной имеем: tg a > 0, f ' (х ₁) > 0. Слайд № 9.
• Возьмем вторую точку на графике функции с абсциссой х₂ и проведем касательную к графику функции в данной точке. Найдем угол наклона, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох. Угол наклона – острый. Используя геометрический смысл производной имеем: tg a > 0, f ' (х ₂) > 0. Слайд № 9.
• “Открытие” зависимости между функцией, возрастающей на данном интервале, и знаком ее производной. Формулировка правила. Слайд № 9.
• Поисковая работа учащихся по установлению зависимости между функцией, убывающей на данном интервале и знаком ее производной. Возьмем произвольную точку на графике функции с абсциссой х₁и проведем касательную к графику функции в данной точке. Найдем угол наклона, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох. Угол наклона – тупой. Используя геометрический смысл производной имеем: tg a < 0, f ' (х ₁) < 0. Слайд № 10.

Возьмем вторую точку на графике функции с абсциссой х₂ и проведем касательную к графику функции в данной точке. Найдем угол наклона, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох. Угол наклона –тупой. Используя геометрический смысл производной имеем: tg a < 0, f ' (х ₂) < 0. Слайд № 10.

• “Открытие” зависимости между функцией, убывающей на данном интервале, и знаком ее производной. Формулировка правила. Слайд №10.
• Обобщение, систематизация сделанных “открытий”. Слайды № № 11;12.
• Алгоритм нахождения промежутков монотонности функции. Слайд № 13.

Закрепление изученного материала.

Решение заданий.

Найдите промежутки монотонности функции

f (х) = х ⁴ - 2 х ² Слайд № 14.

f (х) = 1/ (х + 2) Слайд № 15.

f (х) = х + 4/х Слайд № 16.

Итоги урока.

Слайд № 17.

План-конспект для учеников

1. Монотонность функции.
   1. Возрастающая функция
   2. Убывающая функция.
   3. Монотонность функции.
2. Геометрический смысл производной.
3. Установление зависимости между характером монотонности функции и знаком её производной.

• Алгоритм нахождения промежутков монотонности функции.

__________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

____________________________________________________________

• Решение примеров.

1. f (x) = х ⁴ -2х
2. f (x) = 1/(х+2)
3. f (x) = х + 4/х