Решение задач с помощью квадратных уравнений. 8-й класс

Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. «Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на коньках, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая образцам и постоянно тренируясь» Д. Пойа.

На решение текстовых задач на уроках требуется много времени, чтобы в полной мере создать условия учащимися для осмысления содержания задачи, анализа величин в условии, установления взаимных связей между величинами. Практически на уроке удаётся решить одну – две задачи. Текстовые задачи разных типов включены в экзаменационные работы на итоговой аттестации не только на уровне обязательной подготовки, но и на повышенном уровне, а также в контрольные измерительные материалы ЕГЭ, в конкурсные экзамены в высших и средних учебных заведениях.

Решение задач является средством обучения и средством развития интеллектуальных качеств учащихся, имеет большую практическую значимость, вызывает интерес, дает возможность познакомиться с различными практико-ориентированными задачами.

Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). Я остановлюсь на теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений», которая имеет место в программе 8 класса.
Овладение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Учащиеся должны четко выделять этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.
2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели текстовой задачи).
3. Решение уравнения, полученного при построении математической модели.
4. Интерпретация полученного решения.

Четвертый этап решения задачи алгебраическим методом является принципиально новым для учащихся, поэтому на нем следует заострить внимание. Можно попросить учащихся привести примеры ситуаций, когда полученный корень уравнения может противоречить условию задачи. В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространенных ситуаций:

1. Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом (длина, площадь, объем и т.п.).
2. Корень уравнения является числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (например, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах).
3. Несоответствие полученных положительных размеров с реальными (например, скорость пешехода равна 80 км/ч и т.п.)

При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты. «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их» Д.Пойа.

Предлагаю методическую разработку урока по теме: «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Тип урока: закрепление изученного материала.

Цель урока: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью составления квадратных уравнений.

Задачи:

1. Обучающие:

• упражнение в применении способа решения задач с помощью квадратного уравнения;
• формирование умения составлять алгоритмы для решения задач с помощью квадратных уравнений;
• развитие вычислительных навыков;
• расширение кругозора учащихся.

2. Развивающие:

• развитие умения наблюдать, анализировать;
• развитие познавательных интересов, логического мышления, творческих способностей учащихся.

3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей.

Оборудование и материалы:

• проектор, экран, ноутбук;
• карточки с 4 вариантами проверочной работы.

План урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня на уроке алгебры мы продолжим изучение темы «Решение задач с помощью квадратных уравнений». Повторим и закрепим навыки построения математической модели типов задач прошлого урока, напишем проверочную работу. А так же вы познакомитесь с некоторыми старинными задачами и составлением математической модели задач с элементами комбинаторики.

II. Проверка домашнего задания.

Начнем с проверки домашнего задания: №564, №565. (По слайдам осуществляется самопроверка с проговариванием математической модели для каждой задачи.) Повторим еще рез схему решения задач:

1. Анализ условия.
2. Выделение главных ситуаций.
3. Введение неизвестных величин.
4. Установление зависимости между данными задачи и неизвестными величинами.
5. Составление уравнения.
6. Решение уравнения.
7. Запись ответа.

III. Проверочная самостоятельная работа.

Думаю, что все готовы к выполнению проверочной работы. Порядок вы знаете. На лицевой стороне карточки указать свои фамилию, имя, ответ к каждой из двух напечатанных задач. На обратной стороне записать решения этих задач. По окончании работы карточки сдать консультантам по вариантам. (Указываются фамилии учащихся-консультантов, которые будут помогать учителю проверять работы по вариантам на следующем этапе урока.) Время самостоятельной работы – 15 минут. Приступаем. (Учащиеся выполняют самостоятельную работу из серии «ГИА. Экспресс-диагностика», затем сдают карточки.)

IV. Историческая справка.

Математика – это история, история развития человеческой мысли, интеллекта. Люди научились решать квадратные уравнения очень давно.

В Древнем Вавилоне образованные люди (это были жрецы и чиновники) умели решать задачи на определение длины и ширины прямоугольника по площади и периметру. Подобные задачи вы решали дома и на предыдущей самостоятельной работе.

Древние греки – Евклид и другие ученые – решали геометрическим путем. Эти задачи имели практическую направленность. Например, найти сторону квадрата по его площади, или радиус круга тоже по площади.

Сейчас ребята расскажут вам о двух старинных задачах. (Сообщения с решениями задачи Диофанта (о сумме и произведении чисел) и задачи Бхаскары (об обезьянах).)

Багдад 9 век. Математик аль-Хорезми предлагает правило решения квадратных уравнений в точности соответствующее действиям по нашим формулам, но изложенное риторически. А типичную арабскую задачу о числах вы уже решили дома (№564).

V. Отработка практических навыков.

Ну, а мы перенесемся в наше время и разберем комбинаторную задачу (№573). (Разбор у доски.)

Пусть х – количество участников. Т.к. каждый сыграл с каждым, кроме себя, то (х – 1) количество участников, с которыми сыграл каждый участник. Количество комбинаций равно х(х – 1). Но т.к. в комбинации участвует два человека, значит, кол-во партий нужно разделить на 2, т.е. составленное уравнение будет иметь вид:

х = 10, а х = -9 не подходит, т.к. количество участников не может быть отрицательным.

Ответ: 10 участников.

И еще одна задача из нашего времени – №568. Решаем самостоятельно с проверкой в парах.

VI. Подведение итогов урока.

Итак, на уроке мы рассмотрели задачи из разных времен, которые решаются с помощью квадратных уравнений, учились видеть связь между математикой и окружающей жизнью, использовали в решении знания геометрии и комбинаторики. А консультанты-помощники скажут нам, насколько результативной оказалась самостоятельная работа. (Учитель выставляет отметки за урок.)

VII. Сообщение домашнего задания.

Дома вы решите задачи с помощью квадратных уравнений: №572 (аналогична №573), №576 (связана с теоремой Пифагора), № 566 (для самых сообразительных).

Использованная литература:

1. Макарычев Ю.Н, Миндюк Н.Г. и др. Алгебра 8. – М.: Просвещение, 2010.
2. А.В. Шевкин Текстовые задачи в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2009.
3. В.И. Панарина. Алгебра 8 класс. 208 диагностических вариантов. – М.: «Национальное образование», 2012.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.
5. Дюмина Т.Ю., Махонина А.А. Поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева и др. Алгебра 8 класс. – Волгоград: Учитель, 2011.