Цели урока:
Образовательные:
– Обобщить и систематизировать умения и навыки по теме “Квадратичная функция”.
Развивающие:
– Развивать логическое мышление, культуру речи, способствовать расширению кругозора, развитию математической речи.
Воспитательные:
– Развивать творческое и умственное мышление побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу, воспитание эстетических качеств.
Оборудование: мультимедийный проектор и компьютер, презентация “Квадратичная функция” (Приложение).
Ход урока
1. Организационный момент
.Приветствие, сообщение темы и цели урока.
2. Актуализация знаний и умений
.Устно:
1) Какая функция называется квадратичной?
Планируемый ответ: Квадратичной функцией называется функция вида y = ax2 + bx + c , где x –переменная, a, b и с – заданные действительные числа, причем, а ? 0.
2) Найти координаты вершины параболы y = x2 - 4x - 5.
Планируемый ответ: вершина параболы (2; - 9).
3) Найти нули функции y = x2 - 4x - 5.
Планируемый ответ: нули функции: (5; 0); (- 1; 0).
4) Найти координаты точек пересечения параболы y = 2x2 - 8 с осями координат.
Планируемый ответ: С осью Ох (- 2; 0) и (2; 0); с осью Оу (0; - 8).
5) Найти наибольшее или наименьшее значение функции y = x2 - 4x - 5.
Планируемый ответ: - 9 – наименьшее значение функции.
6) Вспомним способы построения графика квадратичной функции.
Планируемый ответ: построение с помощью схемы и смещения.
7) Вспомним построение графика с помощью смещения.
Планируемый ответ: Построить график функции y = ax2. Сдвинуть график функции y = ax2 вдоль оси абсцисс вправо на x0, если x0 > 0 и влево на x0, если x0 < 0. Вдоль оси ординат вверх на y0, если y0 > 0, и вниз на y0, если y0 < 0 (слайд 2 – 4).
3. Выполнение уч-ся индивидуально письменного задания.
№1 С помощью шаблона построить график функции а) у = (х – 3)2; б) у = – х2 + 1; в) у = (х + 2)2 + 1 (самостоятельно с последующей проверкой):
Проверка
а) у = (х – 3)2 (График функции у = (х – 3)2 является парабола, полученная из параболы у = х2 сдвигом на 3 единицы вправо) (слайд 5).
б) у = – х2 + 1 (График функции у = – х2 можно получить с помощью симметрии относительно оси Ох графика функции у = х2 (слайд 5)).
в) у = (х + 2)2 + 1 (График функции у = х2 смещается на 2 единицы влево и единицу вверх) (слайд 5).
Устно:
1) По данному графику квадратичной функции выяснить её свойства (слайд 6).
Планируемые ответы:
а) При любых значениях х значения функции больше или равны –4;
б) Значения функции положительны при х < 0 и х > 5;
в) Значения функции отрицательны при 0 < x < 5,
г) Значения функции равны нулю при х = 0 и х = 5;
д) Функция возрастает на [2.5;), убывает на (–
е) При х = 2,5 функция принимает наименьшее значение, равное –4;
ж) Точки пересечения параболы с Ох – (0;0) и (5:0); с осью Оу – (0;0);
з) График функции симметричен относительно прямой х = 2,5.
2) Вспомним построение графика с помощью схемы.
Планируемый ответ:
а) Указать направление “ветвей”.
б) Найти вершину параболы (х0; у0). Провести ось симметрии х = х0.
в) Найти нули функции, если они есть.
г) Найти точку пересечения с осью ординат.
д) Найти какие-нибудь дополнительные точки;
е) Отметить точки и провести через них параболу.
3) Разберем построение графика на примере функции y = x2 – 4x + 3 (слайды 7, 8).
4. Закрепление пройденного материала.
№2. Построить график функции и по графику выяснить её свойства (Рассмотреть два способа построения графиков):
а) у = х2 + 10х + 30
I Способ – Построение с помощью схемы (ученик у доски, затем проверить слайды 9, 10).
1) “Ветви” направлены вверх, т.к. а=1;
2) Найдем вершину параболы:
х0 = –10/2 = –5; у0 = (–5)2 + 10 * (–5) + 30 =
5; (–5; 5) – вершина;
3) Нули функции не существуют, т.к D < 0;
4) Найдем дополнительные точки:
х = – 4; у = 6; (–4; 6) и точка симметричная ей (–6;
6);
х = –3; у = 9; ( –3; 9); и точка симметричная ей (–7;
9);
Построим параболу, соединив эти точки (слайды 9, 10).
Выяснить её свойства.
Планируемые ответы:
а) При любых значениях х значения функции больше или равны 5;
б) Значения функции положительны при любом х;
в) Функция возрастает на [5;
г) Значения функции равны нулю при х = 0 и х = 5;
д) При х = 5 функция принимает наименьшее значение, равное 5;
е) График функции симметричен относительно прямой х = 5.
II Способ – Построение с помощью смещения (другой ученик у доски отвечает, затем проверить (слайд 11)).
Преобразуем нашу функцию.
y = (x + 5)2 + 5
(График функции у = х2 смещается на 5 единицы влево и 5 единиц вверх) (слайд 11).
б) у = –х2 – 6х – 8; (самостоятельно, затем проверить).
Построение с помощью схемы (слайд 12 – 13):
1) “Ветви” направлены вниз, т.к. а = –1;
2) Вершина параболы:
х0 = – (–6) / (–2) = – 3; у0 = –(–3)2 –
6*(–3) – 8 = 1; (3; 1)-вершина. Ось симметрии х = 3;
3) Нули функции: у = 0; х1 = – 4; х2 = 2; (–4; 0)
и (–2; 0);
4) Точка пересечения с осью ординат – (0; –8); и
симметричную ей точка – (–6; –8);
Построим параболу, соединив точки.
Второй способ – построение с помощью смещения:
y = –(x 3)2 + 1 (слайд 14).
Устно:
1) Повторить простейшие преобразования
графика функции (растяжение, сжатие и
отображение графиков функций). (слайд 15).
Отметить сходные и отличительные свойства этих
графиков.
2) Обсуждение решения задач: “Нахождение
координат точек пересечения параболы с осями
координат” (аналитический способ и графический,
их недостатки и преимущества, в зависимости от
ситуации, алгоритм решения).
№3. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат (самостоятельно с последующей проверкой).
а) y = –2x2 – 8x + 10
С осью Оу:
х = 0; у = 10; (0; 10);
С осью Ох:
у = 0; –2x2 – 8x + 10 = 0;
x2 + 4x – 5 = 0;
x1 = –5; х” = 1;
(–5; 0); (1; 0)– точки пересечения.
Ответ: (0; 10) точка пересечения. с осью Оу; (–5; 0); (1; 0) – точки пересечения с осью Ох.
б) y = 7x2 + 14;
С осью Оу:
х = 0; у = 14; (0;14);
С осью Ох:
y = 0; 7x2 + 14 = 0;
x2 + 2 = 0;
Корней нет.
Ответ: (0;14) – точка пересечения c осью Оу; С осью Ох – не пересекается.
Устно:
1) Обсуждение решения задачи “Нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции”; (аналитический способ и графический, их недостатки и преимущества, в зависимости от ситуации, алгоритм решения).
№4. Не строя графика функции, найти ее наибольшее или наименьшее значение:
2) у = – х2 – 2х + 3;
х0 = – 1; у0 = 4; (–1;4);
Ответ: 4 – наибольшее значение функции.
4) y = x2 + 
;
х0 = –0,5; у0 = 1; (-0,5;1);
Ответ: 1 – наименьшее значение функции.
Устно Обсуждение решения задачи “Нахождение точек пересечения графиков” (графический, аналитический).
№5. Найти точки пересечения графиков (аналитически):
а) у = х2; у = 3х – 2;
Приравняем левую и правую части и решив уравнение найдем абсциссу точки:
х2 – 3х +2=0;
х1 = 2; х2 = 1;
у(2) = 2 * 2 = 4; у(1) = 1 * 1 = 1
(2; 4);(1; 1)– точки пересечения графиков;
4) у = х2 + х – 2 ; у = (х + 3)(х – 4);
Приравняем левую и правую части и решив уравнение найдем абсциссу точки:
х2 + х – 2 = х2 – х – 12;
2х = – 10;
х1 = – 5; у(–5) = (–5)2 – 5 – 2 = 18
(–5; 18); – точка пересечения графиков;
Ответ: 2) (2; 4);(1; 1) – точки пересечения графиков; 4) (-5; 18);– точка пересечения.