Урок математики по теме "Метод интервалов для непрерывных функций". 11-й класс

Цели урока:

Обучающие:

• обобщить ранее изученный материал о решении неравенств методом
  интервалов; возможность применения метода интервалов для
  решения неравенств различного типа;
• выработка умений и навыков в решении неравенств различного типа
  методом интервалов;
• решение трансцендентных неравенств, с использованием метода рационализации.

Развивающие:

• повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них
  положительный мотив учения;
• развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

Воспитательные:

• формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели;
• развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Повторение и актуализация опорных знаний.
3. Решение неравенств методом интервалов.
4. Подведение итогов. Задание на дом.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение и актуализация опорных знаний.

Обобщенный метод интервалов.

1. Применимость метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.
2. Применяя метод интервалов к решению иррациональных, трансцендентных, комбинированных неравенств, говорим об обобщенном методе интервалов.

Алгоритм обобщенного метода интервалов:

1. Привести неравенство к виду . Рассмотреть функцию .
2. Найти область определения функции .
3. Найти нули функции , решив уравнение
4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
5. Определить знаки функции на промежутках, входящих в область определения функции.
6. Записать ответ, включив в него промежутки в соответствии со знаком неравенства (не забыть включить в ответ изолированные точки).

Метод рационализации.

• Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство  равносильно неравенству  в области определения выражения F(x) .

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G.

Выражение F(x)	Выражение G(x)
loghf - loghg	(h – 1)(f – g)
logfh - loggh	(f – 1)(g – 1)(h – 1)(g – f)
hf - hg	(h – 1)(f – g)
fh - gh	(f – g)h
| f | - | g |	(f – g)(f + g)
loghf · logpg	(f – 1)(g – 1)(h – 1)(p – 1)
	f- g

III. Решение неравенств методом интервалов

Каждое задание решает группа учащихся. Затем один из группы записывает решение на доске и поясняет его.

1) Решить неравенство

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

1. Рассмотрим функцию
2. Найдем область определения функции  
3. Найдем нули функции:   
4. Определим знаки функции на каждом из промежутков

Следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

2) Решить неравенство

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

1. Рассмотрим функцию
2. Найдем область определения функции  
3. Найдем нули функции:  ,
4. Определим знаки функции на каждом из промежутков

Следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

3) Решить неравенство

Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации:

Окончательно получаем,что решением являются все х такие, что

Ответ:

4) Решить неравенство

Воспользуемся методом интервалов:

1. Рассмотрим функцию
2. Найдем область определения функции   
3. Найдем нули функции:   
   На промежутке  лежат числа:

4. Определим знаки функции на каждом из промежутков

Множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

5) Решить неравенство 

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

1. Рассмотрим функцию
2. Найдем   
3. Найдем нули функции:      
        
4. Определим знаки функции на промежутках:

Множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

6) Решить неравенство

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

1. Рассмотрим функцию
2. Найдем область определения функции  
3. Найдем нули функции:     
4. Определим знаки функции на промежутках:

Следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

7) Решить неравенство

Используем метод интервалов для решения данного неравенства

1. Рассмотрим функцию
2. Найдем область определения функции  
3. Найдем нули функции:      
4. Определим знаки функции на промежутках:

, следовательно, множеством решений исходного неравенства является объединение промежутков

Ответ:

IV. Подведение итогов. Задание на дом

Выводы, оценки.

1. Решить неравенства:
   а) , б)
   в)  г)

2. Дополнительно (на оценку):
   а)  б)