Урок математики по теме "Геометрический смысл производной"

Цель урока:

• Выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнения касательной к графику функции.
• Развивать ОУУН мыслительной деятельности: анализ, обобщение и систематизация, логическое мышление, сознательное восприятие учебного материала.
• Формировать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать, способствовать развитию потребности к самообразованию. Воспитание ответственности, коллективизма.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, мел, переносная доска, программа "Живая математика" Презентация.

1. Организационный момент. Постановка цели.

Учитель. На предыдущих уроках изучена тема “Производная”, получены знания по технике дифференцирования, но зачем? Где можно использовать полученные знания. Сегодня мы попытаемся ответить на этот вопрос. Тема урока “Геометрический смысл производной”.

2. Работа со словарем урока. Слайд 4

Словарь урока: производная, линейная функция, угловой коэффициент, касательная к графику, непрерывность, тангенсы углов (острый, тупой).

Учитель. Ребята, задайте друг другу вопросы, используя слова словаря. Вопросы не должны предполагать ответы “да”, “нет”.

3. Актуализация опорных знаний и умений.

Работа в парах “Составь пару”.Слайд 5

Учитель. Перед вами таблица. В клетках таблицы в беспорядке записаны функции и их производные. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие номеров клеток.

Пример. , значит 1-9.

		х		2х		1		2
	1		2		3		4		5
				Sinx
	6		7		8		9		10
		-3		-sinx				ax
	11		12		13		14		15
a		cosx				0
	16		17		18		19		20

Время работы

• 3 мин каждый ученик работает самостоятельно.
• 2 минуты - работа в парах. Обсуждение результатов и запись в карточку ответов. (Карточка №1 остается у ученика для самоконтроля, карточка №2 должна быть сдана учителю)

Таблица ответов

1-9, 5-19, 10-20, 16-19, 2-4, 6-10, 11-14, 17-13.

3-5, 7-18, 12-19, 5-19, 8-17,15-16. Слайд 6

Учитель. На протяжении пяти лет мы изучали с Вами различные функции. Вспомните, какую функцию мы называем линейной? Что является графиком линейной функции? Какое число мы называем угловым коэффициентом прямой? Слайд 7

Рассмотрим зависимость углового коэффициента к от угла наклона прямой. Слайд 8,9

Выведем уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку . Слайд 10,11

Закрепление. Найдем угловой коэффициент прямой. Слайд 12

Среди множество прямых можно выделить прямые: секущая и касательная. Слайд 13,14

Определение. Прямая, проходящая через две точки графика называется секущей.

Определение. Касательной к графику функции у=f(x) называется предельное положение секущей.

Рисунок 1

4. Практическая работа. (Приложение 1) Слайд 15

Класс делится на 5 групп. Каждая группа получает задание. Графики функции построены заранее на миллиметровой бумаге на предыдущем уроке.

Карточки с заданием. (Приложение 2)

Карточка №1 Слайд 16

1. Постройте касательную к графику функции у=х² в точке с абсциссой х₀=2
2. Измерьте угол образованный касательной и положительным направлением оси ОХ.
3. Записать a = ... .
4. Вычислите с помощью микрокалькулятора tg a =... .
5. Вычислите f '(x₀ ), для этого найдите f '(x)
   Запишите: f'(x )=.... ; f'(x₀ )=....
6. Выберите две точки на графике касательной, запишите их координаты.
7. Вычислите угловой коэффициент прямой к по формуле

Таблица результатов (таблица записана на доске)

№п/п	Функция	х0	К=tga	f'(x0)		Координаты (х0;f(x0))	Точность измерений
1	f(x)=x2	2		4		(2;4)
2	f(x)=	1		0,5		(1;1)
3	f(x)=x2+2x-3	-2		-2		(-2;3)
4	f(x)=	1		-6		(1; 3)
5	f(x)=	0		1		(0; 0)

Учитель. Какую закономерность можно заметить по результатам работы? Обсудите этот вопрос в группах и предоставьте мнение группы на обсуждение всего класса.

Учащиеся приходят к выводу. Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной. В этом и заключается геометрический смысл производной. Слайд 17

Учитель.

• В каком случае мы получаем точное значение углового коэффициента касательной: в случае построений и измерений или с помощью производной.
• В каком случае мы экономим время?
• Что необходимо знать, чтобы найти tga?

5. Физкультминутка

6. Закрепление 1 части урока.

Решение задач. (Приложение 3). Слайды 18-20

1. Сегодня на уроке мы строили касательную, а каким уравнение можно задать касательную к графику функции?
2. Что представляет собой график касательной?
3. Какой формулой можно задать прямую? (у=кх, у=кх+b)
4. Рассмотрим формулу прямой у=кх+b. Что в этой формуле уже известно? (к=f '(x₀))

К= f '(x₀), значит у= f '(x₀) * х+b

Проанализируйте полученную формулу у= f '(x₀) * х+b. Какую еще величину необходимо знать в уравнении касательной? (b)

Слайд 21,22

Наша задача вывести уравнение касательной

1. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящую через точку .

2. Замените k на , а

Алгоритм составления касательной к графику функции.

1. Запишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой x₀ в общем виде.
2. Найдите производную функции f ' (x);.
3. Вычислите значение производной f ' (x₀);
4. Вычислите значение функции в точке x₀;
5. Подставьте найденные значения в уравнение касательной

Учитель. В результате проведенной работы мы выяснили, в чем заключается геометрический смысл производной и вывели уравнение касательной. Рассмотрим задачи на закрепление полученных знаний. Слайд 23

7. Закрепление. Решаем задачи (Приложение 4)

Учебник. №91(1,3), 94(3,5)

8. Рефлексия. Слайд 24

- У меня всё получилось!!!

- Надо решить ещё пару примеров.

- Ну кто придумал эту математику !

9. Домашнее задание.

• Параграф 8. №89(2,4),90(2),91(2.4),94(2.4,6)
• Сборник задач ЕГЭ 3000 задач и ответами № 1820, 1817, 1822

Итог урока. Слайд 24