Простые и составные числа. 6-й класс

Цели: обобщение и систематизация знаний, установление связей теории с практикой, развитие познавательных процессов, знакомство с историей математики.

Оборудование: лента с рядом натуральных чисел; таблица простых чисел; портреты Пифагора, Эратосфена, Эйлера, Евклида, Ферма; таблица совершенных чисел; таблицы с магическими фигурами.

Ход урока

Дорогие ребята! Приглашаю вас на экскурсию в мир чисел. Каждый маршрут нашего экскурса начинается “внизу в долине”, то есть с самого легкого и понятного вам, однако потом попадаются места, для преодоления которых требуются кое-какие навыки.

В старину на Руси говорили, что “умноженье – мученье, а с деленьем – беда”. Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался большим математиком. Ведь в школе тогда учили только сложению, вычитанию, таблице умножения.

Делимость интересовала математиков уже в глубокой древности. Особое внимание они уделяли простым числам.

Итак, 1 маршрут.

1) Вспомните, какие числа называются простыми, как их найти, сколько их. Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, то есть простые числа – это кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

2) Можете ли вы назвать самое большое простое число?

Греческий ученый Евклид в своей книге “Начала” утверждал следующее: “Самого большого числа не существует”.

Если бы на ленте, где выписаны натуральные числа, в тех местах, где находятся простые числа, зажечь фонарики, не нашлось бы на ленте места, где была бы сплошная темнота. Почти все простые числа нечетные. Только одно простое число четное – это 2, а остальные – нечетные. 2 и 3 – последовательные натуральные простые числа, наименьшие простые, такая пара единственная, где одно число четное, а другое нечетное.

Определение: два последовательных нечетных числа, каждое из которых является простым, называются числами-близнецами (11 и 13, 17 и 19, 29 и 31).

Работа с таблицей. Назовите пару самых маленьких чисел-близнецов, самую большую пару чисел в таблице; сколько таких пар до 100? Ученые не знают самую большую пару чисел- близнецов. Первые глубокие исследования о том, как разбросаны простые числа среди остальных чисел, получил великий русский математик П.Л. Чебышев, основатель и руководитель математических исследований 19 века. До сих пор математики не знают формулы, с помощью которой можно получить простые числа. Так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, то надо было составить их список. Это впервые сделал александрийский ученый Эратосфен. Он придумал такой способ. Выписывал все числа от 1 до какого-либо числа. Потом вычеркивал 1, затем все числа, кратные 2 (четные), оставалось первое – 3, вычеркивал все числа, кратные 3. Оставались только простые числа.

Доклад ученика: “Решето Эратосфена”.

2 маршрут. История о дружественных числах. В древности было замечено, что числа 220 и 284 обладают удивительным свойством: сумма собственных делителей числа 284 равно 220, а сумма делителей 220 – 284. Делители числа 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Делители числа 284: 1, 2, 4, 71, 142. (Проверить на доске). Пифагор нашел такую пару около 500 лет до нашей эры. Поэтому пара 220 и 284 называется парой Пифагора. Следующую пару нашел Ибн Аль Бана в 1300 году. Декарт отыскал свою пару в 1638 году. Главным рекордсменом в этом виде спорта в математике стал Леонард Эйлер. Он отыскал 59 таких пар. Сейчас такие пары ищут с помощью ЭВМ.

3 маршрут. Совершенные числа. Еще в древности было замечено, что существуют числа, равные сумме своих делителей, кроме самого себя. Делители числа 6: 1, 2, 3, 6. 6= 1+2+3. Делители числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. 28=1+2+4+7+14. (Проверить для числа 496 на доске). Делители числа 10: 1, 2, 5. Их сумма равна 8, это меньше 10 – недостаток; делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6. Их сумма равна 16, это больше 12 – избыток. А числа, у которых сумма делителей равна самому числу, особенно ценили и называли их совершенными.

4 маршрут. Проблема Гольдбаха. Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. А что будет, если простые числа складывать? Живший в России в 18 веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения:

1+3=4; 1+5=6; 1+7=8; 3+7=10; 5+7=12; 3+11=14; 3+13=16…. О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику Л. Эйлеру, который был членом Академии наук. Это предположение до сих пор не доказано и не опровергнуто. Оно лишь проверено для всех четных чисел до 1000.

5 маршрут. Магические фигуры. Первые сведения о магических квадратах встречаются в литературе, написанной задолго до нашей эры. Старейший магический квадрат в современной записи выглядит так:

Суммы чисел каждой строки и каждого столбца, каждой диагонали одинаковы.

Высказано предположение, что для любого натурального числа больше 3, существует бесконечно много магических квадратов, составленных из различных простых чисел.

Сообщение ученика о других магических фигурах.

Итог урока. Вот и закончился наш экскурс, где мы познакомились с самыми капризными и строптивыми из всех объектов в математике. Хочу напомнить, что начали мы с известных нам понятий, а затем обнаружили, что вопросами, связанными с этими числами, занимается современная математика. “Эта наука, как многолетний дуб, раскинула такие могучие ветви, что ни один математик, даже “самый маститый”, уже не в силах изучить всю математику в целом, а избирает лишь какую-нибудь ее ветвь”, – говорил А.И. Маркушевич. Мы с вами сегодня выбрали ветвь простых чисел.