Введение.
Наиболее динамичной областью знаний является дискретная математика. К ней относится: комбинаторика, теория игр, математическая логика, теория алгебраических систем, теория графов и сетей и т.д.
Теория графов – молодая область дискретной математики. Но ее методами пользуются и инженеры, психологи, лингвисты, экономисты, биологи и химики.
Одним из основных в современной науке является понятие модели. Модель (идеальный объект) описывает существенные части реального объекта или явления, их основные свойства, главные связи. Многие объекты и ситуации могут быть представлены в виде графовых моделей: коммуникационные сети, схемы электрических и электронных приборов, химические молекулы, отношение между людьми и многое другое. Фактически люди часто пользуются графами, не догадываясь об этом, изображая различные дискретные объекты в виде точек, кружочков, квадратиков, а связи между ними – в виде линий. Модели легки для восприятия и допускают игровую интерпретацию. Простейшие модели можно строить, начиная с младших классов, постепенно усложняя от класса к классу. Однако первое знакомство с понятием модели лучше проводить в старших классах.
Среди графов существует один простой и важный тип, это – деревья. Для них выполняются многие свойства, которые не всегда выполняются для графов в общем случае. Применительно к деревьям многие доказательства и рассуждения оказываются намного проще. Математики не уделяли должного внимания исследованию деревьев вплоть до конца XIX века, но древовидные графы использовались еще в глубокой древности (например, родственные отношения принято было изображать с помощью генеалогического древа) или классификацию, связанную с разбиением того или иного множества на классы, подклассы и так далее. Одно из наиболее часто употребляемых в средневековой метафизике деревьев – бинарное - ввел в своем комментарии к Аристотелю живший в III веке римский философ и противник христианства Порфирий.
В 1875 году английский математик А. Кэли примененил теории графов в органической химии. Он использовал понятие “висячая вершина” дерева для подсчета числа изомеров предельных (не имеющих цикла) углеводородов.
Сегодня деревья можно встретить в трудах по строению химических соединений, теории электрических цепей, проблемам эволюции биологических видов, исследованиям операций, теории игр, во всевозможных комбинаторных и вероятностных задачах.
Деревья являются самым распространенным классом графов, применяемых в программировании, причем в самых разных ситуациях.
Решение многих задач упрощается, если удается использовать графы. Благодаря своей наглядности, графы обычно хорошо усваиваются учащимися и довольно широко востребуются при решении логических задач, задач олимпиадной направленности. Кроме того, графы позволяют учащимся почувствовать красоту математики.
С помощью блок-схем (деревьев) естественно задавать алгоритмы решения различных задач. В алгоритмы могут быть встроены как арифметические, так и логические операции.
Использование графических изображений при формировании математических понятий способствует сознательному и прочному усвоению этих понятий. Например, некоторые теоремы, определения и свойства некоторых объектов можно изобразить вершинами графа, а взаимосвязи между ними – его ребрами.
Таким образом, изучение деревьев в школе позволяет:
- шире познакомить учащихся с такими разделами математики, как комбинаторика и теория вероятностей;
- показать практическую значимость математики в реальных ситуациях;
- ускорить решение многих задач и упростить расчеты;
- отрабатывать умения действовать по алгоритму;
- решать различные головоломки, задачи олимпиадной направленности;
- познакомить учащихся с богатым историческим материалом.
Все вышесказанное определило актуальность данного исследования.
Объектом исследования является процесс организации учебной деятельности учащихся старших классов на факультативных занятиях.
Предметом исследования является методика проведения факультативных занятий по теме “Деревья”.
Целью исследования является разработка содержания и методики организации факультативного курса “Деревья”.
Гипотеза исследования - разработанный факультативный курс будет способствовать раскрытию индивидуальных возможностей учащихся, повышению уровня математической культуры.
Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач, а именно:
- Разработать содержание и методику проведения факультативного курса “Деревья”.
- Провести анализ школьных учебников
- Провести опытно-экспериментальную проверку эффективности предложенной методики.
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:
- анализ работ по истории математики, школьных программ, учебников и учебных пособий;
- беседы с учащимися;
- проведение диагностирующих контрольных работ для проверки качества усвоения и доступности материала;
- проведение опытной проверки основных положений исследования.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны и проверены:
- Учебный материал для преподавания курса “Деревья” для старшеклассников.
- Специальный набор упражнений и задач по указанной теме.
- Методические рекомендации для учителя по проведению факультатива.
Кроме того, отдельные материалы факультативного курса могут быть использованы преподавателями математики, а также информатики не только на внеклассных и факультативных занятиях, но и на уроках основного курса.
Полностью статья представлена в приложении 1.