КОЛЛИЗИЯ!!! (лат. Collisio) – столкновение противоположных мнений, стремлений или интересов, яркий момент урока, либо что-то новое, либо ошибка, либо необычное, проблемная ситуация.
Цели урока.
- Сформулировать определение показательного уравнения.
- Сформировать первичные навыки решения простейших показательных уравнений.
- Сравнить способы решения показательных уравнений (метод уравнивания показателей и метод введения новой переменной).
- Воспитывать навыки ведения научной дискуссии.
- Развивать способность к исследовательской деятельности.
ХОД УРОКА
I. Актуализация знаний
| Учитель | Учащиеся |
| 1. Какую функцию называют показательной? | Функцию вида у = ах, где а > 0, a  1 называют
показательной функцией. |
| 2. Какими основными свойствами обладает
показательная функция? Учитель демонстрирует графики функций
|
– Область определения функции –
множество R действительных чисел; – Множество значений функции – множество R всех положительных действительных чисел; – Если, а > 1, то функция возрастает на всей числовой прямой; если 0 < а < 1, то функция убывает на всей числовой прямой (на множестве R); – График функции пересекает ось ординат в точке (0; 1), пересечения с осью абсцисс нет. |
3. Возрастает или убывает показательная
функция  ;  Почему? |
убывает, 1, т.к.  возрастает, т.к. а = 4
> 1. |
| 4. Сравните 33,14 и 34. | 33,14 < 34. |
| 5. Для чего необходимо знать свойства возрастающей и убывающей функции? | – Что бы правильно строить
графики функций и их эскизы; – Что бы по свойствам и эскизам «узнать» функцию; – Для сравнения значений показательной функции; – Решать неравенства. |
| 6. Какие виды преобразования графиков вы
знаете и как определить смещение точек вдоль
осей координат? На доске изображены графики функций:
|
– Для построения графика функции f
(x) + b, где b – постоянное число, надо
перенести график функции f(x) на вектор
(0; b) вдоль оси ординат; – Для построения графика функции f (x + a), где a – постоянное число, надо перенести график функции f (x) на вектор (– а; 0) вдоль оси абсцисс. |
7. На одном из рисунков изображен эскиз
график функции  .
Укажите этот рисунок. (Изображены графики
функций: 1) y = 3x; 2) ; 3) y = ;
4)  ). |
2 |
8. Укажите область значений функции  |
 |
9. Укажите характер монотонности
функций: |
1) монотонно возрастающая; 2) монотонно убывающая; 3) монотонно возрастающая; 4) монотонно убывающая; 5) монотонно убывающая. |
| 10. Какие уравнения называются равносильными? | Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней. |
| 11. Что можно сказать о корнях равносильных уравнений? | Корни равносильных уравнений совпадают. |
| 12. Что называют областью допустимых значений уравнения f(x) = g(x)? | Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x) = g(x) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x). |
| 13. Какие способы решения уравнений вы знаете? | Графический метод и аналитический: вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, сведение к простейшему путем тождественных преобразований. |
II. "Открытие" детьми новых знаний.
Сформулируйте классификационный
признак и разбейте уравнения на группы:
|
Уравнения а), в), г) в один класс
–неизвестное х, параметр а, уравнения
б) и д) – в другой,. неизвестное х, параметры а
и в; Уравнения а), б), г), д) – не содержат знак модуля, в) – содержит; Уравнения а), б), в) – имеют положительные показатели степени, г), д) – отрицательные; Уравнения а), в), г) в один класс – аргумент х содержится в основании степени, уравнения б) и д) – в другой, аргумент х содержится в показатели степени. |
| КОЛЛИЗИЯ!!! Как вы считаете, каково название уравнения б) и д)? |
Наверно, показательное уравнение. |
| Назовите тему и цель нашего урока. | Тема: "показательные уравнения", а цель – научиться решать показательные уравнения. |
| Сформулируйте определение показательного уравнения. | Уравнение, в котором аргумент х содержится в показатели степени, называется показательным. |
| КОЛЛИЗИЯ!!! Кто считает по-другому? |
А как же уравнение ( –а)х
= в??? Ведь по определению показательной
функции: функцию вида у = ах, где а
> 0, a 1
называют показательной функцией. Значит, по аналогии с определением показательной функции мы должны добавить некоторые условия. Уравнение
вида ах = в, где а > 0, a |
| Решите уравнение: ах=в, где а > 0, a 1 |
Область значений функции у = ах –
множество R всех положительных
действительных чисел, отсюда получим: а) Если в < 0 уравнение не имеет решений; б) Если в = 0, то уравнение примет вид ах = 0; а мы знаем, что график функции у = ах, где а > 0, a 1 с осью абсцисс не
пересекается, значит и правая часть уравнения не
может быть равна 0. следовательно в этом случае
также уравнение не имеет корней; в) Если в > 0, то уравнение имеет один единственный корень. |
| КОЛЛИЗИЯ!!! Как найти этот корень? А если решать аналитически? Что необходимо сделать? |
Решить графически Для того чтобы найти этот корень, надо в представить в виде в=ас. Тогда очевидно, что с является решением уравнения ах=ас. |
| КОЛЛИЗИЯ!!! Проанализировав все выше сказанное, кто сможет дать более точное определение показательного уравнения? |
Можно условия а) и б) в одно: если  , то уравнение ах =
в, где а > 0, a 1 не имеет корней.Показательными уравнениями называют уравнения вида аf(x) = ag(x), где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду. |
| Что общего между способами решения и
решениями уравнений: ах = в и а – х = в,
где а > 0, a 1? |
Оба уравнения решаются одинаковым
методом, только во втором случае с начало надо а
– х представить в виде  :а) Если в > 0, то уравнения имеют один единственный корень. Надо в представить в виде в = ас. Тогда с является решением уравнения. б) Если , то
уравнения корней не имеют. |
III. Рефлексия
| 1. Решите устно уравнения: а) 4х = 256, |
а) х = 4; б) х = 5; в) х = 2; г) х1 = 2, х2 = 4; д) не имеет корней, т.к. при любых значениях х выполняется неравенство 6х > 0. |
| 2. Решите уравнения: а) б) 4х + 2х + 1– 24 = 0; КОЛЛИЗИЯ!!! Как можно представить 4х? в) |
а) Здесь есть возможность и левую и
правую части уравнения представить в виде
степени с основанием 5. После некоторых
преобразований (которые я пропускаю, долго
формулы писать ))) ) заданное уравнение привили к
виду 5 – х = 55 – 2х. Решив, которое
получаем х = 5. Ответ: 5. б) Что делать??? Как решить такое
уравнение??? в) Решив данное уравнение методом введения
новой переменной ( |
| Сколько основных метода решения показательных уравнений можно выделить? | – Функционально-графический метод. Он
основан на использовании графических
иллюстраций или каких-либо свойств функций. – Метод уравнивания показателей. Он основан на том, что ах=ас равносильно уравнению х= с, где а > 0, a 1. Мы применяли его при решение
первого уравнения.– Метод введения новой переменной. Мы применяли его при решение последних двух уравнений. |
| КОЛЛИЗИЯ!!! Дома в учебнике найти теорему и внимательно изучить ее. |
;
; 
;
.
), получаем х = 1,5.IV. Итог урока. Домашнее задание
| – Что нового мы узнали сегодня на уроке? | – Что такое показательные уравнения и
как их решать. – Рассмотрели интересные устные примеры. – Вспомнили виды преобразования графиков. – Вспомнили, что одни и те же объекты можно классифицировать по разным признакам. |
| – Как вы считаете, достигли ли мы цели сегодняшнего урока | – Не совсем, более сложные примеры мы
решать еще не научились. – Этому мы будем учиться на следующем уроке – А еще мы не умеем решать системы уравнений. |
| Творческое домашнее задание –
Придумайте четыре показальных уравнения, чтобы
одно из них не имело решений, второе – решалось
функционально-графическим методом, третье –
методом уравнивания показателей, а четвертое -.
методом введения новой переменной. |
– Так мало? – А данная домашняя работа на оценку? |