Развивающая математика

Разделы: Математика

1. Введение

В последнее время во многих странах наблюдается значительный рост интереса к проблемам математического образования. Это связано с тем, что значение математики в жизни человеческого общества возрастает с каждым днём. Высокий уровень развития математики является необходимым условием подъёма и эффективности целого ряда важнейших областей знаний. Как подчёркивают учёные, развитие наук в последнее время характеризуется тенденцией к их математизации, и это касается не только физики, астрономии или химии, но и таких наук, как современная биология, медицина, метеорология, экономика, лингвистика и другие. Сегодня остро встал вопрос развития самостоятельности и творческой активности учащихся во внеурочной работе на основе дифференциального обучения и индивидуального подхода, а так же подготовки и проведения различных видов внеклассной деятельности: викторин, конкурсов, математических утренников и вечеров, математических недель, участие учащихся в олимпиадах различного уровня.

2. Программа элективного курса для 5-6 классов «Живая математика»

Как известно, устойчивый интерес к математике начинает формироваться в 14-15 лет. Но это не происходит само собой: для того, чтобы ученик в 7 или 8 классе начал всерьёз заниматься математикой, необходимо, чтобы на предыдущих этапах он почувствовал, что размышления над трудными, нестандартными задачами могут доставлять подлинную радость. Достижению данных целей способствует организация внеклассной работы, которая является неотъемлемой частью учебно-воспитательной работы в школе. Она позволяет не только углублять знания учащихся в предметной области, но и способствует развитию их дарований, логического мышления, расширяет кругозор. Программа курса содержит в основном традиционные темы занимательной математики: арифметику, логику, комбинаторику и т.д. Для тех школьников, которые пока не проявляет заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии их интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

Содержание программы

1. Числа и вычисления

Греческая, египетская, римская и древнерусская системы исчисления. Правила быстрого счета. Числовые ребусы. Кросс-суммы. Магические квадраты.

2. Геометрические фигуры

Треугольники, четырехугольники. Геометрические задачи. Геометрия в пространстве. Танграмм. Игры с пентамино. Задачи на разрезание.

3. Ребусы, кроссворды, фокусы

Знакомство с ребусами и их составление. Кроссворды. Математические игры и фокусы.

4. Логические задачи

Числовые мозаики. Задачи со спичками. Задачи на принцип Дирихле. Переливания и взвешивания. Круги Эйлера и графы. Применение графов к решению задач.

5. Решение задач

Занимательные и шутливые задачи. Задачи на доказательство от противного. Задачи на обратный ход. Задачи на движение.

3. Повышение вычислительной культуры учащихся

Сам по себе устный счёт — не самоцель. Посредством устного счёта развиваются гибкость мышления, стремление к каждому замочку подобрать свой ключик, порою не один. Умение выделить главное, расчленить проблему на составляющие, наметить очерёдность их решения — всему этому учит устный счёт людей любого возраста и социального положения. Устный счёт является прекрасной иллюстрацией одного из основных законов философии: здесь количество решённых задач неизменно переходит в качество мышления. Это особенно ценно для детей и подростков. И как мышцы растущего ребёнка требуют постоянной физической активности, так и развивающийся детский интеллект требует нагрузки умственной. Сергей Александрович Рачинский, будучи доктором биологии, понимал это, как никто. Конечно, в то время дети не получали такого объёма информации, которое обрушивает на современного ребёнка (да и на нас с Вами) электронная индустрия, и может сложиться мнение, что уж сейчас-то вопрос о развитии интеллекта успешно решен. Но не все так просто. Дело в том, что информацию в современном мире мы самостоятельно почти не добываем. Она всем нам преподносится в готовом, «разжеванном» виде. Нам не надо делать усилий, добывать ее. Нам остается только ее «вкушать». Вот этим-то «вкушением», без затрат умственных усилий, убивается в человеке способность к творчеству, к критическому мышлению. Отсутствует основное условие развития: противоречие между имеющимся и желаемым количеством информации.
А теперь рассмотрим некоторые приемы устного счета.

Использование круглого числа

Вспомним, что умножение числа на 10, 100 и т.д. сводится к приписыавнию справа от числа соответствующего количества нулей. И тогда на основании формулы
А * (В + С) = А * В + А * С

Покажем так называемый прием «круглого числа». Он заключается в том, что любое число можно представить в виде суммы или разности чисел, одно или несколько из которых «круглое».

Например: 51 = 50 + 1; 78 = 80 – 2

Тогда вычислим:

А)32 * 31 = 32 * (30 + 1) = 32 * 30 + 32 * 1 = 32 * 3 * 10 + 32 = 96 * 10 + 32 = 960 + 32 = 992
Б)36 * 28 = 36 * (30 – 2) = 36 * 30 – 36 * 2 = 36 * 3 * 10 – 72 = 108 * 10 – 72 = 1080 – 72 = 1008
В)6 * 365 = 6 * (300 + 60 + 5) = 6 * 300 + 6 * 60 + 5 * 5 = 6 * 3 * 100 + 6 * 6 * 10 + 6 * 5 = 36 * 100 + 36 * 10 + 30 = 1800 + 360 + 30  = 1800 + 390 = 1800 + 200 + 190 = 2000 + 190 = 2190

В задании В) мы еще показали, как, используя понятие «круглого числа», упростить сложение. Надо заметить, что этот прием – один из самых распространенных приемов устного счета.

Следующие приемы назовем приемами «взаимопомощи умножения и деления». Вспомним, что деление числа на 10, 100 и т.д. сводится к «стиранию» соответствующего количества нулей справа.

Еще вспомним два свойства умножения и деления.

А) Если один из сомножителей умножить на любое число, кроме нуля, то произведение не изменится, если другой сомножитель разделить на то же самое число.

Например: 4 * 6 = (4 : 2) * (6 * 2) = 2 * 12 = 24, или 4 * 6 = (4 * 2) * (6 : 2) = 8 * 3 = 24

Б) Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, кроме нуля.

Например: 12 : 4 = 3; (12 : 2) : (4 : 2) = 6 : 2 = 3; (12 * 2) : (4 * 2) = 24 : 8 = 3.

А теперь обратим внимание на следующие равенства: 5 = 10 : 2; 50 = 100 : 2 и т.д.

Используя свойства А) и Б), можно вывести такое правило: чтобы умножит число на 5, его надо умножить на 10 и разделить на 2. Чтобы умножит число на 50, его надо умножить на 100 и разделить на 2. И т.д.

Например: 68 * 5 = (68 * 10) : 2 = 680 : 2 = 340.
Аналогично, чтобы разделить число на 5 или на 50, надо

34065 =  (340 * 2) : 10 = 680 : 10 = 68
3400 : 50 = (3400 * 2) : 100 = 6800 : 100 = 68
или 3400 : 50 = (3400 : 10) : (50 : 10) = 340 : 5 = (340 * 2) : 10 = 680 : 10 = 68.

Аналогично выполняется умножение и деление на 25. Ведь 25 * 4 = 100 или 100 : 25 = 4.

Например:

24 * 25 = (24 * 100)64 = 2400 : 4 = 600
600 : 25 = (600 * 4) : 100 = 2400 : 100 = 24.

То же самое происходит, если взять выражение 125 * 8 = 1000. Тогда, чтобы умножить на 125, надо умножить на 1000 и разделить на 8.
Так же можно использовать равенства: 200 = 50 * 4; 300 = 75 * 4 и т.д.
Рассмотрим более общие приемы деления, а также сочетание умножения и деления. Для начала вспомним признаки делимости чисел. Знание этих свойств может значительно облегчить задачу.
Вспомним в общем виде свойства умножения и деления:

(А + В) : С = А : С + В : С                           (А – В) : С = А : С – В : С
А : В : С = А : (В * С)                                  (А : В) * С = А * С : В
(А * В) : С = А : С * В = В : С * А

Еще напомним, что число не изменится, если его умножить и разделить на одно и то же число: 25 * 3 : 263 * 2 = 25

Покажем это на примерах:

240 : 40 = (: 10) = 24 : 4 = 6
464 : 8 = (: 2) = 232 : 4 = (: 2) = 11662 = 58

Обратите внимание на сайт МетаШколы (http://www.metaschool.ru/), курс «Навыки устного счета», где каждое занятие содержит описание одного или нескольких приемов устного счета и интерактивные тренажеры для тренировки.

4. Задачи для учащихся 5-6 классов

Разминка:

1. Сколько концов у двух палок? А у двух с половиной?
2. Стоят два барана один смотрит на бг, другой на север. Видят ли они друг друга?
3. Произнеси слова наоборот: сон, раб, мел, ром, село, каша, крест, метка, телега и т.д.
4. Родители проводили сына к бабушке 15 июля, а вернулся он домой 25 июля. Сколько дней гостил внук у бабушки?
5. Двое детей подошли к реке. У берега всего одна лодка. Как им переправится на другой берег, если лодка может взять только одного ребенка?

Математические фокусы

1. Задумайте какое-нибудь целое число. Умножьте его на 5, к произведению прибавьте 4 и полученную сумму удвойте, теперь прибавьте 99, у полученного трехзначного числа оставьте только последнюю цифру, а остальные зачеркните. К тому, что осталось, прибавьте 23, а потом разделите на 5. У вас получилось 6.
2. Задумайте число, отнимите 1, остаток удвойте и прибавьте первоначально задуманное число. Скажите результат. Я угадаю задуманное число.

Решение задач методом с конца

48 спичек разложили на три неравные кучки. Если из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько во второй имелось, затем из второй в третью переложить столько, сколько в третьей перед тем будет находится, и наконец из третьей переложить в первую столько, сколько в первой кучке будет тогда иметься, то число спичек во всех кучках станет одинаковым. Сколько же спичек было в каждой кучке первоначально?

Задачи на переливания и взвешивания

1. С помощью двух ведер вместимостью 4л и 9л наберите из реки ровно 6л.
2. На весах, у которых сдвинута стрелка, взвесили два арбуза. В результате получилось, что один весит 7кг, а другой – 8 кг. А когда их взвесили вместе, то весы показали 16 кг. Сколько в действительности весили арбузы?

5. Факультатив для 8-9 классов «Избранные главы математики»

Несмотря на потребность общества в людях, способных внести свой вклад в развитие математической науки, и возлагающуюся на школу задачу по развитию математических способностей, в современной школе наблюдается следующая ситуация:

  • сокращение часов преподавания математики;
  • формализм математических знаний;
  • отсутствие мотивации учения;
  • неумение применять полученные знания на практике;
  • отсутствие самостоятельной и творческой деятельности учеников;
  • отсутствие в подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий заданий, способствующих подготовке учеников к этой творческой деятельности.

Следовательно, учителя математики должны вести систематическую работу по развитию математических способностей у всех школьников, по воспитанию у них интересов и склонностей к математике и наряду с этим должны уделять особое внимание школьникам, проявляющим повышенные способности к математике, организовать специальную работу с ними, направленную на дальнейшее развитие этих способностей. Данный курс способствует развитию познавательной активности, формирует потребность в самостоятельном приобретении знаний и в дальнейшем автономном обучении. Многие ученые, изучавшие процесс мышления, заметили, что если человек размышляет над трудной задачей, не может с ней справиться и вынужден ее пока оставить, то какая-то часть разума все равно продолжает размышлять над поставленной задачей, но ум уже не контролирует этот процесс, это происходит бессознательно. Это не означает, что мы отчаялись найти решение, мы только временно отключили ум от поставленной задачи, предоставив ее разуму. Ум временно оставляет трудную задачу, берется за другую. А разум продолжает размышлять над задачей уже практически без нашего участия. Развивать этот механизм – главная задача этого курса. Думается, именно в этом ключ к развитию интуиции. Цели предлагаемой программы научить самостоятельно мыслить, творчески подходить к любой проблеме. Это создаст предпосылки для рождения ученика, как математика-профессионала, но даже если это не произойдет, умение мыслить творчески, нестандартно, не будет лишним в любой деятельности в будущей жизни ученика.

Содержание программы

1. Тождественные преобразования. Решение уравнений

Тождественные преобразования. Выделение полного квадрата из квадратного члена. Уравнения с одной переменной. Модуль числа. Графики функций у = kx + b и у = | x |.

2. Геометрия (часть I)

Наука геометрия. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник. Прямоугольный треугольник. Теоремы об углах. Задачи на построение. Задачи для досуга.

3. Системы уравнений

Линейные уравнения с двумя переменными. Системы линейных уравнений. Решение систем с параметрами и модулями. Решение задач с помощью систем уравнений.

4. Квадратные корни

Определение арифметического квадратного корня. Уравнение х2 = а. Свойства арифметического квадратного корня. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Преобразование двойных радикалов. Построение графиков функций.

5. Квадратные уравнения

Уравнения и правила их преобразования. Линейное уравнение. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Приведенное квадратное уравнение. Решение уравнений, приводящихся к квадратным. Решение уравнений с модулями и параметрами. Решение систем уравнений. Решение задач, сводящихся к квадратным уравнениям.

6. Планиметрия (часть II)

Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения. Замечательные точки треугольника. Подобие треугольников. Признаки подобия прямоугольных треугольников. Свойства биссектрис и высот. Задачи о делении отрезка. Теорема Менелая. Трапеция.

7. Квадратный трехчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений

Квадратный трехчлен. Квадратные уравнения. Теореме Виета. График квадратичной функции. Квадратичные неравенства. Системы уравнений. Иррациональные уравнения.

8. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем

Многочлены. Некоторые приемы решения уравнений. Свойства модуля. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Геометрический смысл модуля.

9. Планиметрия (часть III)

Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и описанные четырехугольники. Задачи на построение.

Приведем некоторые интересные задачи этого курса:

1) Являются ли данные уравнения равносильными:

а)  | x | =  5 и 3х – 2 =  – 17;                             б) | x – 3 | = 1 и (х – 4)(х – 2) = 0

2) Решите уравнение: || x – 5 | – 4 | = 1

3) Постройте график функции: у = | x + 3 |

4) Какие из следующих утверждений верны, какие нет, и почему?

  1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается основания в его середине;
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от вершин треугольника
  3. Существует треугольник, в котором биссектрисы двух углов перпендикулярны друг другу
  4. Если две окружности разных радиусов пересекаются в точках А и В, то линия центров делит отрезок АВ пополам.

5) Постройте график уравнений:

  1. 2х – у  + 3 = 0
  2. (х – 2)(у + 3)(х + у + 2) = 0
  3. y  = 2 – | x + 1 |
  4. | y – 2 | = 2х + 1

6) Решите уравнение 3х + 10у = 59 в натуральных числах.

7) Решите уравнение (2х + 1)(у – 3) = 6 в целых числах.

8) Укажите между какими последовательными натуральными числами лежит число

9)  Найдите значение выражения +

10)  При каких значениях а и  b верно равенство:

  1. =  – а3
  2. =  b3

11)  Не  решая квадратное уравнение х2 – 7х – 6 = 0, найдите значение выражения , если х1 и х2  –  корни данного уравнения.

12)  Решите уравнение при всех допустимых значениях параметра а:

  1. (а + 3) х2 = а2 + а – 6
  2. ах2 + (2а – 1)х – 6 = 0

13) Диагонали трапеции, пересекая среднюю линию, делят ее на три равные части. Чему равно отношение длин оснований?

14) Треугольник АВС – равнобедренный, АВ = ВС = 11, АС = 14. Найти расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис.

15) Найдите все значения параметра а, при которых минимальное значение функции f(x) = 4х2 — 4ах + а2  — 2а + 2 на отрезке [0; 2] равно 3.

Литература

  1. «1001 задача для умственного счета в школе С.А.Рачинского», Москва, Белый город,
  2. П.Б.Ройтман, С.С.Минаев и др. «Повышение вычислительной культуры учащихся», Москва, Просвещение, 1985.
  3. Н.Винокурова «Магия интеллекта», Москва, Эйдос, 1994.
  4. Е.Л. Мардахаева «Занятия математического кружка», Москва, Мнемозина, 2012.