Применение производной в физике, технике, экономике… 10-й класс

«…нет ни одной области в математике,
которая когда-либо не окажется применимой
к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, медицине, экономике, физике, а также и в быту. В связи с этим на уроке можно рассмотреть задачи, которые решаются с помощью производной в различных предметных областях. Данная тема актуальна и своевременна для развития познавательного интереса учащихся для формирования практических навыков применения теоретических знаний через раскрытие практической значимости темы.
На данном уроке есть возможность широкого использования исторического материала, что значительно расширяет кругозор учащихся, учит учащихся использовать различные источники информации.

Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной, и, следовательно, в математике она характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в биологии – скорость размножения микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции. Выполняя задания, учащиеся на практике смогут оценить весь спектр широкого применения производной.

Цель урока: формирование практических навыков применения теоретических знаний и общеучебных компетенций учащихся.

Задачи:

• Обучающие:
  • закрепить и проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Формулы и правила дифференцирования»;
  • формировать навыки практического использования производной в предметах школьного курса, показать применение производной при решении задач;
• Развивающие:
  • формировать умения четко и ясно излагать свои мысли;
  • развивать познавательный интерес у учащихся через раскрытие практической необходимости и значимости данной темы;
  • развивать мыслительную деятельность учащихся, способность самооценки и взаимооценки.
• Воспитательные:
  • воспитывать умение работать с имеющейся информацией;
  • воспитывать умение слушать товарищей, воспитывать уважение к предмету.

План урока:

1. Введение в тему. Организационный этап

2. «Прощупывание» базовых знаний

Этап проверки базовых знаний учащихся, актуализации базовых знаний учащихся.

На данном этапе учащимся предлагается выполнить задание: для каждой функции из левого столбца найти ее производную из правого столбца.

y = f(x)	y = f ' (x)
1. 5	Г.
2. х2 + х + 2	Н. 2
3.	Т. 8
4. sin x	Л. 0
5. 4x4	Ь.
6. 43 + 2х	О. 12x – 1
7. х4 – х2	А. 2х + 1
8. 2cos 3x	Н. 5 cos5x
9. tg x	Ж. 4х3 – 2х
10. 13x2 – 3x	Н. – 6sin 3x
11. 8x	А. 16x3
12. (2x + 3) (3x – 5)	Ю. 26x – 3
13. sin 5x – π	Р. cos x

В результате верного выполнения задания мы выясним, с именами каких ученых связан термин «производная». Ответ: Лагранж, Ньютон

(Термин «производная» – это буквальный перевод на русский derivee. Этот термин ввел Лагранж в 1797 году. А само понятие, задолго до Лагранжа, независимо друг от друга, ввели и активно использовали, заложив фундамент нового исчисления, Лейбниц и Ньютон. Раздел математики, который изучает производные функции и их применения, называется дифференциальным исчислением).

Затем предлагается учащимся ответить на вопросы:

• Угол ее наклона выражает геометрический смысл производной. О чем идет речь? (О касательной).
• Великий немецкий ученый, философ, математик, юрист, физик, языковед, основоположник большой математической школы. (Вильгельм Лейбниц).
• Раздел физики, помогающий понять физический смысл производной (Механика).
• Что называется производной функции в точке? (Производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю).
• В чем заключается геометрический смысл производной? (Значение производной f '(x) при данном значении аргумента равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x) с положительным направлением оси ох в точке М(х; f (x)).

3. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала

Учитель: Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, медицине, экономики, физики, а также и в быту. Мы сегодня на уроке рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной. Мы знаем, что производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В математике производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в биологии – скорость размножения микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции. Среди многих задач наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций.
Сформулируйте тему урока (учащиеся формулируют тему, учитель записывает тему урока на доске).

4. Этап усвоения новых знаний

Если внимательно изучить вопрос применения производной в других областях, то можно составить вот такую таблицу:

• Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).
• Сила тока – производная от заряда по времени I = q' (t).
• Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).
• Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).
• Давление – производная силы по площади P = F'(S)

Можно поставить многоточие … И таблицу можно продолжить, записав в нее свои примеры.

В каждом примере шла речь о связи между тремя величинами:

• Работа, перемещение, сила;
• Заряд, время, сила тока; и т.д.

Во всех примерах одна величина являлась коэффициентом пропорциональности между двумя другими. И в нашей повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с производной.

Решаем несколько прикладных задач.

Задача 1. Два тела движутся прямолинейно соответственно по законам: S₁(t) = 3,5t² – 5t + 10 и S₂(t) = 1,5t² + 3t – 6. В какой момент времени скорости тел будут равны?

Задача 2. Имеется 40 метров проволочной сетки. Требуется огородить три стороны прямоугольного участка земли, примыкающего четвертой стороной к стене здания. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей, если длина стены здания равна 30 метров?

Задача 3. Функция издержек фирмы ТС = Q² – Q + 3, где Q – объем производства. Рыночная цена на продукцию составляет 7 и не зависит от объема продаж этой фирмы. Найти объем выпуска продукции, максимизирующий прибыль фирмы.

4. Этап закрепления новых знаний

На данном этапе можно еще раз ответить на вопросы, где, в каких предметных областях решаются практические задачи с применением производной.
Можно выполнить самостоятельную работу по вариантам с последующей проверкой решения задач.

5. Этап информации учащимся о домашнем задании

Подобрать задачи на применение производной в географии, химии, биологии (презентации приветствуются). Решить задачи (на карточке), которые встречаются в заданиях ЕГЭ по математике. Например, такие:

• Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = t² + 3t – 5 (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
• Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = 5t² – 2t – 3 (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
• Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = – 3t² + 9t – 5 (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени 1 с.
• Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = 2t² – 5t – 12 (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
• Мотоциклист в первые пять секунд движения проезжал расстояние (в метрах), которое можно описать формулой S(t) = t³ + 3t. Найдите его ускорение в момент времени t = 1 (в м/с²).