Цели:
- прививать интерес учащихся к предмету математика,
- расширять кругозор учащихся,
- познакомить учащихся с понятием «Лист Мёбиуса», с его свойствами, применением.
Эпиграф: «Геометрия есть познание всего сущего». Платон. (слайд 2)
Ход занятия
I. Что такое «Лист Мёбиуса»
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.
Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии.
Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в.
В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты.Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса. (слайд 3)
Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.
В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).
II. Получение листа Мёбиуса.
(слайд 4) Перекрутить на пол-оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклеить его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют: «лист Мёбиуса».
Сколько сторон у листа Мёбиуса?
У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!
- Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную - муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!
- Если муравей захочет поползать по одной стороне, он может угодно это делать это, но чтобы попасть на другую сторону, он должен обязательно перелезть через кромку, поэтому, и, говорят, что полоса имеет две стороны.
Гравюра Эсхера (слайд 5)
III. Свойства листа Мёбиуса.
(слайд 6, 7)
Граница у листа Мёбиуса одна, а не распадается на две части, как у обычного кольца.
IV. Сиамский лист Мёбиуса.
(слайд 8)
V. Лист Мёбиуса и техника.
(слайд 9)
Если у релейной передачи ремень сделать в виде ленты Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться в два раза медленнее, чем у обычного кольца, в работе ремня принимает участие вся поверхность, а не только внутренняя ее часть, как у обычной ременной передачи.
VI. Лист Мёбиуса в магнитофоне.
(слайд 10)
Были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты “с двух сторон”, не меняя их местами.
VII. Эксперимент №1.
(слайд 11)
Проделываем в полосе щель и проденем сквозь неё один конец полосы. Склеим как на рисунке и разрежем.
Получили два отдельных листа Мёбиуса.
VIII. Эксперимент №2.
(слайд 12)
Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии
У нас получилась квадратная рамка!
IX. Эксперимент №3.
(слайд 13)
Это кольцо склеено из перекрученной бумажной полоски, если её перекрутить на полтора оборота.
