Цели и задачи:

• Показ возможности использования нетрадиционных методов при решении задач  повышенной сложности.
• Формирование и отработка  навыков в применении  метода выделения полного квадрата многочлена, в оценке множества значений функций, свойств числовых неравенств.
• Формирование навыков в распознавании координатно-векторного метода решения  алгебраических задач.
• Оптимизация методов решения алгебраических задач.
• Расширение методики решения   алгебраических задач.

Описание координатно-векторного  метода.

1. Координатно-векторный  метод  основан  на введении   прямоугольной системы координат и создании геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая  громоздкие и иногда достаточно сложные преобразования и выкладки.
2. Шаг 1. Ввести систему координат таким образом, чтобы координаты точек имели наиболее оптимальные значения.
Шаг 2. Определить координаты  нужных для решения задачи точек и векторов, используя, если нужно, при этом планиметрические теоремы или формулы  векторной геометрии.
Шаг 3.Создать алгебраическую модель для решения задачи.

Описание метода мажорант

Мажорантой данной функции f(x) на множестве P называется такое число М, что либо f(x) <M для всех xP, либо f(x) > М для всех xP.

Основная идея состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение f(x) = g(x) и существует такое число М, что для любого x из области определения f(x) и g(x) имеем f(x) <M и g(x) > М. Тогда уравнение f(x) = g(x) эквивалентно системе

Для отыскания числа М основными являются методы

а) выделения полного квадрата многочлена,
б) оценка множества значений функции и использование её свойств (ограниченность, монотонность, отыскание производной)
в) использование свойств числовых неравенств, а именно

и следствий из этих неравенств, причем  в первом неравенстве равенство достигается при  a = b, а во втором  при a = 1.

Удобнее всего продемонстрировать этот метод при разборе и решении задач.
Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Решить уравнение:

,
Пусть

g(x) = sin < 1,следовательно данное уравнение равносильно системе

Система решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 2.

Решить уравнение:

.

Оценим левую часть уравнения, выделив полный квадрат из каждого выражения, стоящего в скобках.

перемножив неравенства, видим,что левая часть уравнения больше либо равна 6 и равенство 6 достигается при x = 1 и y = – 3.

Ответ: x = 1; y = – 3.

Пример 3.

Решить уравнение:

3 arcsin = ,
1) При т.е , воспользуемся неравенством следовательно

2) оценим левую часть уравнения: =.

Пусть f(x) = arcsin x – ограничена и монотонно возрастает на D(f), тогда, учитывая неравенство  и область определения функции  f(x) = arcsin x, имеем

То есть левая часть уравнения больше либо равна , а правая – меньше либо равна . Следовательно данное уравнении равносильно системе

 Равенство выполняется при x = .

Ответ: x =.

Пример 4.

Решить неравенство

cos²(x + 1)lg(9 – 2x – x²) > 1.

cos²(x + 1) > 0, следовательно для того чтобы неравенство имело решение  необходимо, чтобы  lg(9 – 2x – x²) > 0.

Оценим выражение 9 – 2x – x² = 10 – (x + 1)² < 10, следовательно в силу монотонного возрастания функции y = lgx, имеем lg(9 – 2x – x²) < lg10 = 1.
Имеем cos²(x + 1) < 1, lg(9 – 2x – x²) < 1, перемножив неравенства, получим, что левая часть исходного неравенства <  l, следовательно данное неравенство равносильно системе

 система имеет решение при x = – 1.

Ответ: x = – 1.

Пример 5.

Решить уравнение:

Так как каждое слагаемое положительно на ОДЗ,воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом и оценим каждый множитель

Перемножив неравенства, получим

То есть левая часть уравнения больше либо равна 8, следовательно данное уравнении равносильно системе

система имеет решение при x = 1.

Ответ: x = 1.

Пример 6.

Найти все решения системы

Оценим левую и правую части первого неравенства

Следовательно первое неравенство равносильно системе

Система имеет решение при y = – 1,

Подставим найденные значения  во второе неравенство системы

.

Оценим левую часть неравенства:

Но

Ответ:

 Пример 7.

Включает применение координатно-векторного метода и метода мажорант.

Решить систему уравнений:

x2 + y2 – 14x – 10y + 58 = 0, = 2.

Преобразуем выражения, стоящие под знаком корня, выделив полный квадрат двучленов.

Рассмотрим второе уравнение системы . В декартовой системе координат обозначим  точки А(8;6), В(–2;10) и С(x;y).
Найдём расстояние между точками А и В; В и С; С и А.

АВ =
СВ = ,
АС = .

Следовательно АВ = ВС + АС (см. второе уравнение системы).

То есть точки А, В, С лежат на одной прямой, причём точка С между точками  А и В. x

Заменим второе уравнение системы уравнением прямой, проходящей через точки А и В.
   4(x – 8) = – 10(y – 6);  2x + 5y = 92.

Вернёмся к системе.

2x + 5y = 92. x2 + y2 – 14x – 10y + 58 = 0,

решая  её методом подстановки и выполняя ограничения наложенные на x и y, получаем

;

Ответ:

Пример 8.

Включает применение координатно-векторного метода и метода мажорант.

Решить уравнение:

Легко заметить, что сумма подкоренных выражений, стоящих слева равна подкоренному выражению, стоящему  справа.

Введём векторы  и .

Рассмотрим скалярное произведение этих векторов.

Поэтому, можно выразить векторы таким образом:

Ответ: 1.

На разобранных примерах, мы видим как достаточно сложные задачи достаточно просто решаются с использованием знакомых операций, таких как выделение полного квадрата, оценка выражений с помощью числовых неравенств, использование свойств функций (монотонность, ограниченность) и координатно-векторного метода.

Задачи для самостоятельного решения:

Решить уравнения и неравенства: