Цели и задачи:
- Показ возможности использования нетрадиционных методов при решении задач повышенной сложности.
- Формирование и отработка навыков в применении метода выделения полного квадрата многочлена, в оценке множества значений функций, свойств числовых неравенств.
- Формирование навыков в распознавании координатно-векторного метода решения алгебраических задач.
- Оптимизация методов решения алгебраических задач.
- Расширение методики решения алгебраических задач.
Описание координатно-векторного метода.
1. Координатно-векторный метод
основан на введении прямоугольной
системы координат и создании
геометрически-алгебраической модели решения
задач, тем самым упрощая громоздкие и иногда
достаточно сложные преобразования и выкладки.
2. Шаг 1. Ввести систему координат таким
образом, чтобы координаты точек имели наиболее
оптимальные значения.
Шаг 2. Определить координаты нужных для
решения задачи точек и векторов, используя, если
нужно, при этом планиметрические теоремы или
формулы векторной геометрии.
Шаг 3. Создать алгебраическую
модель для решения задачи.
Описание метода мажорант
Мажорантой данной функции f(x) на
множестве P называется такое число М, что либо f(x) <M
для всех x
P, либо
f(x) > М для всех xP.
Основная идея состоит в следующем:
Пусть мы имеем уравнение f(x) = g(x) и существует такое число М, что для любого x из области определения f(x) и g(x) имеем f(x) <M и g(x) > М. Тогда уравнение f(x) = g(x) эквивалентно системе
Для отыскания числа М основными являются методы
а) выделения полного квадрата многочлена,
б) оценка множества значений функции и
использование её свойств (ограниченность,
монотонность, отыскание производной)
в) использование свойств числовых неравенств, а
именно
и следствий из
этих неравенств, причем в первом неравенстве
равенство достигается при a = b, а во
втором при a = 1.
Удобнее всего продемонстрировать этот метод
при разборе и решении задач.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Решить уравнение:
,
Пусть 
g(x) = sin 
<
1,следовательно данное уравнение равносильно
системе
Система решений не имеет.
Ответ: нет решений.
Пример 2.
Решить уравнение:
.
Оценим левую часть уравнения, выделив полный квадрат из каждого выражения, стоящего в скобках.
перемножив
неравенства, видим,что левая часть уравнения
больше либо равна 6 и равенство 6 достигается при x
= 1 и y = – 3.
Ответ: x = 1; y = – 3.
Пример 3.
Решить уравнение:
3 arcsin 
= 
,
1) При 
т.е 
, воспользуемся
неравенством 
следовательно 
2) оценим левую часть уравнения: =
.
Пусть f(x) = arcsin x – ограничена и монотонно
возрастает на D(f), тогда, учитывая
неравенство и область
определения функции f(x) = arcsin x, имеем
То есть левая часть уравнения больше либо равна
, а правая –
меньше либо равна . Следовательно данное уравнении
равносильно системе
 |
 |
Равенство выполняется при x = 
.
Ответ: x =.
Пример 4.
Решить неравенство
cos2(x + 1)lg(9 – 2x – x2) > 1.
cos2(x + 1) > 0, следовательно для того чтобы неравенство имело решение необходимо, чтобы lg(9 – 2x – x2) > 0.
Оценим выражение 9 – 2x – x2 = 10 – (x +
1)2 < 10, следовательно в силу
монотонного возрастания функции y = lgx, имеем lg(9
– 2x – x2) < lg10 = 1.
Имеем cos2(x + 1) < 1, lg(9
– 2x – x2) < 1, перемножив
неравенства, получим, что левая часть исходного
неравенства < l, следовательно данное
неравенство равносильно системе
система имеет решение при x = – 1.
Ответ: x = – 1.
Пример 5.
Решить уравнение:
Так как каждое слагаемое положительно на ОДЗ,воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом и оценим каждый множитель
Перемножив неравенства, получим
То есть левая часть уравнения больше либо равна 8, следовательно данное уравнении равносильно системе
система имеет решение при x = 1.
Ответ: x = 1.
Пример 6.
Найти все решения системы
Оценим левую и правую части первого неравенства
Следовательно первое неравенство равносильно системе
Система имеет решение при y = – 1, 
Подставим найденные значения во второе неравенство системы
.
Оценим левую часть неравенства:
Но
Ответ: 
Пример 7.
Включает применение координатно-векторного метода и метода мажорант.
Решить систему уравнений:
 |
x2 + y2 – 14x – 10y + 58
= 0,
|
= 2
.Преобразуем выражения, стоящие под знаком корня, выделив полный квадрат двучленов.
|
 |
Рассмотрим второе уравнение системы . В
декартовой системе координат обозначим точки
А(8;6), В(–2;10) и С(x;y).
Найдём расстояние между точками А и В; В и С; С и А.
АВ = 
СВ = 
,
АС = 
.
Следовательно АВ = ВС + АС (см. второе уравнение системы).
То есть точки А, В, С лежат на одной прямой,
причём точка С между точками А и В. x 
Заменим второе уравнение системы уравнением
прямой, проходящей через точки А и В.
4(x –
8) = – 10(y – 6); 2x + 5y = 92.
Вернёмся к системе.
 |
2x + 5y = 92. x2 + y2 – 14x – 10y + 58 = 0, |
решая её методом подстановки и выполняя ограничения наложенные на x и y, получаем
;
Ответ:
Пример 8.
Включает применение координатно-векторного метода и метода мажорант.
Решить уравнение:
Легко заметить, что сумма подкоренных выражений, стоящих слева равна подкоренному выражению, стоящему справа.
Введём векторы 
и 
.
Рассмотрим скалярное произведение этих векторов.
Поэтому, можно выразить векторы таким образом:
Ответ: 1.
На разобранных примерах, мы видим как достаточно сложные задачи достаточно просто решаются с использованием знакомых операций, таких как выделение полного квадрата, оценка выражений с помощью числовых неравенств, использование свойств функций (монотонность, ограниченность) и координатно-векторного метода.
Задачи для самостоятельного решения:
Решить уравнения и неравенства:
